Simplificación DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de expresiones algebraicas o simplificando una expresión significa, combinar los términos iguales.

Un término es un número o la combinación de un número y uno o más variables, o también un variable al cuadrado, al cubo, u otro poder.

Los factores de un número son los valores que multiplicados juntos, resultan en un número.

En el primer término «5» el factor es que se necesitan los valores del «5» y el «1» multiplicados para obtener el número «5».

En el segundo término «x» el factor es que se necesitan los valores del «1» y el «x» multiplicados para obtener el variable «x«.

El tercer termino «2x» el factor es que se necesita valor del «2» y el variable «x» multiplicados para obtener el término «2x«.

El cuarto término «xy» el factor es que se necesita los variables «x» y «y» multiplicados para obtener el término «xy«.

El quinto término «4x²» el factor es que se necesita el valor del «4» y el variable «x al cuadrado» multiplicados para obtener el término «4x²«.

En una expresión algebraica, un signo positivo o negativo es parte del término que le sigue.

El término es propio del signo que viene antes de este.

Un signo de más o de suma, se entiende que va enfrente de un signo negativo.

Ejemplo:

Esta expresión tiene tres términos.

3x² – 7x + 14
Y esta misma expresión, también se puede escribir así:

3x² + (-7x) + (+14)

Aquí se ve que un signo de más o de suma va antes de un signo negativo, en caso del -7x , y posteriormente va otro signo de más antes del +14, volviendo a lo mismo de que no debes de confundir los números positivos y negativos con los signos de suma y resta.

Los términos iguales tienen el mismo variable o variables, simples o con el mismo exponente, ya sea al cuadrado, al cubo, etc.

Observa y estudia estos ejemplos para identificar, términos iguales.

Ejemplos:

Cuando se combinan términos iguales en una expresión, conteniendo el mismo variable, simplificar la expresión es fácil de evaluar.

Ejemplo:

Simplifica, 4x +6y -3x -4y

El orden de operaciones, dice que primero hay que efectuar las operaciones en paréntesis, pero algunas veces una expresión algebraica no contiene términos iguales y no pueden ser combinados.

Para simplificar una expresión que contiene paréntesis use la propiedad distibutiva para remover el paréntesis.

Para multiplicar un factor por una suma de términos, multiplica el factor por cada término en el paréntesis, luego combina los productos.

Ejemplo:

5(x + y) = 5x + 5y.

Ejemplo 2:

Simplifica, 2x (3x -6) + 5x

Cuadro de Simplificación de Expresiones, Observa cómo se van agrupando los términos iguales.

Factorización

Se entiende por factorización a la expresión algebraica utilizada para encontrar dos o más factores, teniendo en cuenta que cuyo producto debe ser igual a la expresión dada. Este sistema es considerado como la inversa de la multiplicación, ya que el fin vendría siendo prácticamente el mismo que es hallar el producto de dos o más factores del ejercicio propuesto.

Cuando se realiza una expresión de este tipo, se escribe como un producto de sus factores, por ejemplo, piden que se multiplique dos números en este caso 2 y 8, el producto es 2×8= 16. El inverso de esto, que es la esencia de la factorización se escribiría de esta manera 16=2×8.

Para que se entienda un poco más lo que es factor izar, en el siguiente ejercicio se ejemplifica paso a paso lo que se debe de hacer para que el resultado sea el esperado. Se factor iza el número 20, entonces 20=4×5 o 20=10×2.

Se tiene entonces que 20=4×5 

Se tiene entonces que 20=4×5 y 20=10×2 no están factor izados en su totalidad, ya que contienen factores que no son números (éstos están compuestos por 2, 3, 5, 7, 11…). Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, en la primera factorización 4=2×2, de modo que 20= (2×2) x5 mientras que la segunda factorización es 10= (2×5), quedando 20= (2×5) X2, sea cual sea el caso la factorización para 20 es 2x2x5.

La factorización con números primos es quizás una de las más comunes dentro del ejercicio matemático, es por ello que existen diversos métodos para su realización, por ejemplo el método de la tabla o parrilla, el cual consiste en hacer una cruz y colocar el número que se busca descomponer de lado izquierdo e ir colocando a la derecha los divisores más bajos. Otro modo es el siguiente:

15= 3x 5
A
27=3 x 9
A
99 = 9 x 11
A
6 = 3 x 2

La diferencia de cuadrados es otra técnica implementada para factor izar y se realiza del siguiente modo.

X² – Y² = (X -Y) (X + Y)

4X² – 9Y² = (2x + 3y) (2x – 3y)
a
25X² – 49Y² = (5x – 7y) (5x + 7y)
a
c² – 9Y² = (c + 3y) (c – 3y)

Factorización:

Es expresar un número o una expresión algebraica como producto de factores primos que al multiplicarlos, dan como resultado dicho número o expresión.
Un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que con la parte literal  “letras” se toma la que tenga el menor exponente de todas y en la parte numérica se saca el Máximo común Divisor.

Por ejemplo, 2x es un factor común en 4xy + 2xz.

Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común por agrupación de términos

La factorización por agrupación se realiza mediante la colocación de los términos en el polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo se puede factor izar mediante un método conocido. Los resultados de estas factorizaciones parciales se pueden combinar a veces para dar una factorización de la expresión original.

Diferencias de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Trinomios de la forma x² + bx + c son trinomios como:

X² + 5x + 6, a² – 2 a – 15, m² + 5m –14,  y² – 8y +15

Regla para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) Se buscan dos números que sumados algebraicamente e den como resultado el coeficiente del segundo término b, y multiplicados den el tercer término c.

Ejemplo:

Factorizar x² + 5 x + 6

1) (X) (x)

2) los número 3 y 2 , sumados dan 5 y multiplicados dan 6

Así x² + 5 x + 6 = (x+3) (x+2)

Ejemplo:

Factorizar  a² – 2 a –15

1) (a) (a )

2) los números – 5 y +3, sumados algebraicamente dan –2 y multiplicados dan –15

Así a² – 2 a –15 = (a – 5) (a + 3)

Nota

Los números – 3 y +5, multiplicados dan –15, pero sumados algebraicamente no dan –2, por tanto (a + 5)(a – 3) no son factores de

A2– 2 a – 15 (a + 5)(a – 3) = a² + 2 a – 15

Ejemplo:

Factorizar n² – 6 n – 40

1) (n  )( n )

2) los número -10 y 4 , sumados dan -6 y multiplicados dan 40

Así  n² – 6 n – 40 = (n -10) (n + 4)

 Trinomio de la forma ax²+bx+c

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).  Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “a ” por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b (ax)”, y en el término “a ” de la manera .
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término   la que sería “ax”.
3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios.

Modelos Matemáticos

Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos, por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre sí.

Básicamente, en un modelo matemático advertimos 3 fases:

* La construcción, proceso en el que se convierte el objeto a lenguaje matemático;
* el análisis o estudio del modelo confeccionado;
* la interpretación de dicho análisis, donde se aplican los resultados del estudio al objeto del cual se partíó.

La utilidad de estos modelos radica en que ayudan a estudiar cómo se comportan las estructuras complejas frente a aquellas situaciones que no pueden verse con facilidad en el ámbito real. Existen modelos que funcionan en ciertos casos y que resultan poco precisos en otros, como ocurre con la mecánica newtoniana, cuya fiabilidad fue cuestionada por el propio Albert Einstein.

Puede decirse que los modelos matemáticos son conjuntos con ciertas relaciones ya definidas, que posibilitan la satisfacción de proposiciones que derivan de los axiomas teóricos. Para ello, se sirven de diversas herramientas, como ser el álgebra lineal que, por ejemplo, facilita la fase de análisis, gracias a la representación gráfica de las distintas funciones.

Clasificaciones según diversos criterios

De acuerdo a la proveniencia de la información en que se basa el modelo, podemos distinguir entre modelo heurístico, que se apoya en las definiciones de las causas o los mecanismos naturales que originan el fenómeno en cuestión, y modelo empírico, enfocado en el estudio de los resultados de la experimentación.

Asimismo, con respecto al tipo de resultado pretendido, existen dos clasificaciones básicas:

* 
Modelos cualitativos, que pueden valerse de gráficos y que no buscan un resultado de tipo exacto, sino que intentan detectar, por ejemplo, la tendencia de un sistema a incrementar o disminuir un determinado valor;

* 
Modelos cuantitativos, que, por el contrario, necesitan dar con un número preciso, para lo cual se apoyan en fórmulas matemáticas de variada complejidad.

Otro factor que divide los tipos de modelos matemáticos es la aleatoriedad de la situación inicial; así distinguimos entre los modelos estocásticos, que devuelven la probabilidad de que se obtenga un cierto resultado y no el valor en sí, y los deterministas, cuando los datos y los resultados se conocen, por lo que no existe incertidumbre.

Según el objetivo del modelo, podemos describir los siguientes tipos:

* 
Modelo de simulación, que intenta adelantarse a un resultado en una determinada situación, sea que ésta se pueda medir en forma precisa o aleatoria;

* 
Modelo de optimización, que contempla distintos casos y condiciones, alternando valores, para encontrar la configuración más satisfactoria;

* 
Modelo de control, a través del cual se pueden determinar los ajustes necesarios para obtener un resultado particular.

Los modelos matemáticos como sostén del consumismo

Dados distintos factores culturales y educativos, las Matemáticas resulta la ciencia menos atractiva para un gran porcentaje de personas, que la relacionan con recuerdos nefastos de su época estudiantil. Muchas de ellas dedican sus vidas a tareas humanísticas o artísticas, y creen vivir al margen de los números y de las complejas funciones que un día amenazaran con el fracaso escolar; pero estas fórmulas son los pilares del sistema y, si se presentaran de una manera amigable y cercana, no generarían ese típico rechazo, a menudo justificado en una falta de capacidad.

Los teléfonos móviles con pantallas táctiles, la televisión paga con cientos de canales y servicios virtuales de alquiler de películas, o Internet mismo, con su infinidad de posibilidades, son las formas de entretenimiento favoritas de la actualidad a nivel global. Ahora bien, si visitáramos las compañías que fabrican los dispositivos, o que diseñan y desarrollan los servicios antes mencionados, nos encontraríamos con grandes departamentos de control de calidad, que no hacen otra cosa que analizar, a través de modelos matemáticos, posibles interacciones entre usuarios y sistemas, potenciales fallas, y que buscan mejorar el producto final, tan sólo basados en pruebas y sus números resultantes.

Supongamos que disponemos de un servicio de video bajo demanda, y que, a la hora de pagar por una determinada película, se nos pregunta si tenemos un cupón de descuento. En ese momento, asimismo, se nos comunica que, dado que estamos en una semana de promoción, se aplicará una bonificación de una equis cantidad. Todo esto, si tuviéramos que hacerlo a mano, para un cliente en particular, no sería muy complicado; con papel, lápiz y una calculadora, resolveríamos el precio final. Pero en el caso de una plataforma con la que interactúan millones de personas por día, es necesario confeccionar y testear rigurosamente todas las posibles combinaciones para evitar, por ejemplo, que un cupón se utilice más de una vez, o después de su vencimiento, entre otras potenciales violaciones al sistema.

Producto cartesiano

Antes de entrar de lleno en el establecimiento del significado producto cartesiano, se hace necesario que procedamos a determinar el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma:
-Producto deriva del latín, de “productus”, que es equivalente a “producido” y que es fruto de la suma del prefijo “pro-”, sinónimo de “hacia delante”, y el adjetivo “ductus”, que puede traducirse como “guiado”.
-Cartesiano, por su parte, de “Cartesius” que era el nombre en latín del filósofo francés René Descartes, que fue el que dio forma al cartesianismo o dualismo cartesiano. Esta doctrina o ideario venía a establecer, entre otras muchas cosas más, que el ser humano estaba compuesto de dos sustancias: la extensa y la pensante.

La noción de producto cartesiano se emplea en el ámbito de la matemática, más precisamente en el campo del álgebra
. El producto cartesiano revela una relación de orden entre dos conjuntos, constituyéndose como un tercer conjunto.

El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto Bes el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B.

Veamos un ejemplo
. Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3, m), (3, r), (5, m), (5, r), (7, m), (7, r), (9, r), (9, r)}

El producto cartesiano, por lo tanto, está formado por todos los pares ordenados que se pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos
. Cada par ordenado se constituye por dos elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro. Si seguimos con nuestro ejemplo, en el par ordenado (3, m)
, 3 es el primer elemento (corresponde al conjunto A)
Y m es el segundo elemento (perteneciente al conjunto B)
.

Es importante establecer, además de todo lo expuesto, que cuando hablamos de productos cartesianos tenemos que hacer referencia a dos casos o tipos de generalizaciones posibles. Así, por un lado, se encuentra el llamado caso finito, que es aquel que parte de un número finito de conjuntos (A1, A2, A3…An). Del mismo su producto cartesiano vendría a ser el grupo de listas numeradas cuyo elemento está en A1, el segundo en A2…

El caso infinito sería aquel en el que, partiendo de una gran familia de conjuntos con toda la probabilidad infinita y de carácter arbitrario, a la hora de definir el pertinente producto cartesiano se sustituiría lo que es la definición de las mencionadas listas numeradas por otra.

Supongamos que, en una casa, hay tres personas (Carlos, Juan y Antonia) y dos libros (Rayuela y Cien años de soledad). El producto cartesiano de ambos conjuntos (personas y libros
) estará formado por todos los repartos posibles de las obras literarias entre los individuos.

P x L = {(Carlos, Rayuela), (Carlos, Cien años de soledad), (Juan, Rayuela), (Juan, Cien años de soledad), (Antonia, Rayuela), (Antonia, Cien años de soledad)}

Representación gráfica de un producto cartesiano

Los pares ordenados representarán puntos coordenado en el plano cartesiano, tomando como primera coordenada un elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento del segundo conjunto, independientemente que sean números u otras entidades.

Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B

Ejemplo:

Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene: 
AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}

El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA

Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a, a), se les llama elementos diagonales.

Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma simbólica como A².

Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al último.

Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B,los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.

Ver la representación del ejemplo

Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol

Tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B

Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen

Card (AXB….Z)=card(A) card (B)…..Card(Z)

Correspondencias entre conjuntos

Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra f, a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB.

Una correspondencia presenta los siguientes elementos

Elementos homólogos

Se dice que dos elementos a, b son homólogos en la correspondencia f cuando el par (a, b) pertenece al subconjunto. Es decir:

Siendo G el subconjunto.

La primera componente del par (a,b) que pertenece a G se llama elemento original, mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen. Cuando b es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)

Conjunto inicial

Llamaremos así al conjunto A

Conjunto final

Es el conjunto B

Conjunto original

Se llama conjunto original, y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f.

Conjunto imagen

Se llama conjunto imagen, y se representa por imagen (f) al conjunto formados por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la correspondencia f.

Grafo de la correspondencia

Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto.

Correspondencia inversa

Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden de los conjuntos AXB por BXA

La correspondencia inversa la designaremos por f^-1

Ejemplo:

Sea f la correspondencia definida por el grafo:

G={(a,1),(a,2),(b,3),(c,5)}

La correspondencia inversa f^-1 será:

G-1={(1,a),(2,a),(3,b),(5,c)}

Aplicaciones

Se llama aplicación entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que:

Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento es único

Aplicación suprayectiva

Se llama así una aplicación donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen: esto es, cuando todos los elementos de B son elementos imágenes de algú elemento de A.

f suprayectiva equivale a Card(A) es mayor o igual a Card(B)

Aplicación inyectiva

Se llama así a una aplicación de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo original.

f inyectiva equivale a Card(A) es menor o igual a card(B)

Aplicación biyectiva

Se llama así a una aplicación de A en B donde es al supreyectiva e inyectiva.

Para que una aplicación sea biyectiva es necesario que ambos conjuntos tengan el mismo número de elementos.

Aplicación inversa

Si la aplicación es biyectiva la correspondencia inversa siempre será una aplicación

Aplicación Compuesta

Si tenemos una aplicación f de A en B y otra aplicación g de B en C, tal que imag (f) =o rig (g); llamaremos aplicación compuesta y denotaremos por  a una nueva aplicación de A en C definida del siguiente modo:

Relaciones binarias

Se llama relación binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A

Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:

Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva

Reflexiva

Se llama relación reflexiva cuando un elemento está relacionado con sigo mismo y se escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto.

Simétrica

Se llama relación simétrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta relacionado con el elemento b, entonces el elemento b esta relacionado con el elemento a.

Antisimétrica

Se llama relación antisimétrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta relacionado con el elemento b, entonces el elemento b esta relacionado con el elemento a, y además, se deduce que a = b.

Transitiva

Se llama así cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y el elemento b esta relacionado con el elemento c; entonces el elemento a esta relacionado con el elemento c.

Leyes de composición

Se dice que en A se ha definido una ley de composición interna u operación cuando se define una aplicación del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de elementos (a,b) genere otro elemento c, tal que c también pertenece al conjunto A.

Para representar el elemento imagen del par (a, b) se utiliza la notación c=afb donde f es cualquier símbolo. Por ejemplo 

Se dice que en A se a definido una ley de composición externa sobre el conjunto B cuando se define una aplicación del producto cartesiano BXA en A

A los elementos del conjunto B se les llama escalares.

Llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb, donde c pertenece al conjunto A

Propiedades de las leyes de composición

Asociativa

Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica:

(a * b) * c = a * (b * c)

Conmutativa

Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica:

a * b = a * b

Elemento neutro

Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento n de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica:

a * n = a

Elemento simétrico

Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a’ de A tal que:

a*a’=n

Donde n es el elemento neutro

Distributiva entre dos operaciones

Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación ¤ cuando cualesquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica:

a * (b ¤ c)= a * b ¤ a * c

Estructuras algebraicas

Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias leyes de composición

Estructuras algebraicas con una ley de composición

Semigrupo

Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de semigrupo si la ley es asociativa.

Si la operación * posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez, el semigrupo se llama conmutativo, con elemento neutro o conmutativo con elemento neutro, respectivamente.

Grupo

Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de grupo si la ley es asociativa, posee elemento neutro y es simetrizable.

Si la operación * posee la propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano.

Estructuras algebraicas con dos leyes de composición

Semianillo

Se llama semianillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

Anillo

Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna una que tiene estructura de grupo y la otra de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

Cuerpo

Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de grupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

Espacio vectorial

Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que satisfacen las siguientes condiciones:

A con la ley * es un grupo conmutativo

Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la interna * en A

Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la enterna * en B

Asociativa mixta

Neutralidad de la ley externa

Sumas y restas de polinomios

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1
P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + (x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x² + 6x − 2 − 1 =

= x³ + x² + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

4
2P(x) − R (x) =

= 2

 · 

(4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5
S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) + (3/2 x² + 5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5 + 2 =

= 3x² + 11

6
S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) − (3/2 x² + 5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 4 − 3/2 x² − 5 + x² + 2 =

= 1

Sumas y restas combinadas de polinomios

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ − 2 x − 2

Calcular:

1
P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x⁴ − 2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ − 2 x − 2) =

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x⁴ + 2x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + x³ − 2x² − 6x² − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x⁴ + x³ − 8x² − 4x + 5

2P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x⁴ − 2x² − 6x − 1) + 2

 · 

(x³ − 6x² + 4) − (2x⁴ − 2x − 2) =

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 + 2x³ − 12x² + 8 − 2x⁴ + 2x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + 2x³ − 2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x⁴ + 2x³− 14x² − 4x + 9

3Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + (2x⁴ − 2x − 2) − (x⁴ − 2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x⁴ −2x − 2 − x⁴ + 2x² + 6x + 1=

= 2x⁴ − x⁴ + x³ − 6x² + 2x² −2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x⁴ + x³ − 4x² + 4x + 3

Multiplicar:

1(x⁴ − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

= x ⁶ − 2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x² − 4x + 6=

= x ⁶ − 2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x + 6 =

= x ⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

3(2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5 x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 12x⁴ + 8x³ − 6x² −

− 15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ − 20x² + 15x +

+18x⁴ − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 15x⁵ − 12x⁴ + 25x⁴ + 18x⁴ +

+8x³ − 30x³ + 30x³ − 6x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 25x⁵ + 31x⁴ + 8x³ − 62x² + 39x −

Dividir:

1(x⁴ − 2x³ − 11x² + 30x − 20) : (x² + 3x − 2)

2(x ⁶+ 5x⁴ + 3x² − 2x): (x² − x + 3)

3P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

Ejercicios de cada caso de factorización

1er caso de factorización factor común.

15y³ + 20y² – 5y

15 = 3.5.1

20 = 2².5.1

5 = 5.1

5y (15y³/5y  + 20y²/5y -5y)

5y (3y² + 4y – 1).

2do caso de factorización agrupación de términos semejantes.

4am³-12amn-m²+3n

(4am³ – m²) + (3n – 12amn)

m²(4am³ /m²– m²/m²) + 3n( 3n/3n – 12amn/3n)

m²(4am – 1) + 3n(1 – 4am)

m²(4am – 1) – 3n(4am – 1)

 (4am – 1)(m²-3n)

 (4am – 1)(m² – 3n)

3er caso de factorización trinomio cuadrado perfecto.

a² – 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

 (a – b)²

4to caso de factorización diferencia de cuadrado perfecto.

x² – y²

a – b² = (a + b) * (a – b) = a² – ab + ba – b² = (a² – b²)

X² – y² = (x – y) * (x + y)

5to caso de factorización trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

a⁴ + a² + 1

(a² + 1) = (a²)² + 2*a²*(1) + (1)²

 (a²)² + a² + 1

a⁴ + a² + 1+ a² = a⁴ + 2a² + 1

 (a⁴ + 2a² + 1) – a² =  (a²+1)²-a²

a²- b² = (a – b)*(a + b)

(a² + a + 1)(a² – a + 1)

6to caso de factorización de la forma x²+bx+c.

y² – 9y + 20

y² – 9y + 20

20 * 1 = 20

(5 * 4= 20)

10*2= 20

(y-5) (y-4).

-5-4= -9    y 5*4 = 20

7mo caso de factorización de la forma ax²+bx+c.

2x² + 3x – 2

2x² + 3x – 2  = 2(2x²) + 2(3x) – 2(2)

4x² + 3(2x) – 4

(4)( 1)= 4 y (2)(2) = 4

 (2x+4) (2x-1)

4-1= 3  y (4)(1) = 4

 (2x+4) (2x-1) /2  = (x+2) (2x-1)

8vo caso de factorización cubo perfecto de binomio

a³ + 3a² +3a + 1

a³ + 3a² +3a + 1

(a + 1)³= a³ + 3a²*(1) + 3a * (1)² + (1)³

a³ + 3a² +3a + 1

 (a + 1)³

9no caso de factorización suma o diferencia de cubos perfectos.

1 + a³

 (1³ + a³) = (1 + a) * (1 – (a) (b) + a²)

(1 + a) * (1 – a + a²)

 (1 + a) * (a² – a + 1)

10mo caso de factorización suma o diferencia de dos potencias iguales.

a⁵ + 1⁵

= a⁴(1)⁰ – a³ (1)¹ + a² (1)² – a¹ (1)³ + a⁰ (1)⁴

 (a⁴ – a³ + a² – a + 1)

a⁵ + 1⁵ = (a + 1) * (a⁴ – a³ + a² – a + 1

Caso especial de factorización suma de cuadrados.

x⁴ + 64y⁴

x⁴ + 64y⁴

x² + 8y²

(x² + 8y²)² = (x²)² + 2(x²) * (8y²) + (8y²)²

x² + 16x²y² + 64y⁴

 (x² + 16x²y² + 64y⁴) – (16x²y²)

(x² + 8y²)² – 16x²y²

a² – b² = (a + b) * (a – b)

(x² + 8y²)² – 16x²y²

(x² + 8y²) y  (4xy)

 (x²+8y²)(x²-8y²)

Ejercicios de producto cartesiano

Bibliografía

http://www.Gabrielgarcia.Net/números/algsimplificacion.Html

http://definicionyque.Es/factorizacion/

http://mp.Antioquiatic.Edu.Co/Matemáticas/6695-FACTORIZACION/miclase/Definición-de-Factor-Común-con-ejemplos-de-la-vida-cotidiana-y-presentación-de-un-video.Html

http://alegbra.Blogspot.Com/2012/05/definición-de-factor-común.Html

ttps://es.Wikipedia.Org/wiki/Factorización#Factor_común

http://www.Aulafacil.Com/cursos/l10954/ciencia/matemáticas/álgebra/diferencia-de-cuadrados

http://tareasuniversitarias.Com/trinomio-de-la-forma-x2-bx-c.Html

ww.Aulafacil.Com/cursos/l10953/ciencia/matemáticas/álgebra/trinomio-cuadrado-de-la-forma-ax2-bx-c

https://definición.De/modelo-matemático/

https://definición.De/producto-cartesiano/

http://www.Profesorenlinea.Cl/matemática/Producto_cartesiano.Html

http://www.Salonhogar.Net/matem/01carteok.Html