Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:  tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5

4 …. 4,5 ….. 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5

(podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) 

4 …… 4,3 ….. 4,5 

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,3

(podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)

4 ……. 4,1 …… 4,3

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,1

(podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)

4 …… 4,08 …. 4,1

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,08

(podemos tomar 4,001 que está entre 4 y 4,08)

4 ….. 4,001 …. 4,08

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número «4» todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente «4» es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos «acercamos por la derecha«. 

Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos «acercaríamos por la izquierda«. 

El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos «esos» números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que «la cuenta» de 4 (que es nuestro límite).

El valor de x se acerca a «cero» y el valor de «y» (la imagen de la función)
Se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice «se acerca a» sino «tiende a»; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir «tiende a» se pone una flecha. De manera que «x tiende a cero» se indica «x ® 0″ e «y tiende a cuatro» se escribe como «y → 4″.

Ya estamos un poco más cerca de poder leer «matemáticamente». El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que «1», (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a «1», o sea, (x – 1).

Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo «+» (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos «x» por el número a que tiende:  

Indicamos con el signo»–» (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos «x» por el número a que tiende:

Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.

Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

Definición matemática de límite

Hemos visto que el proceso de límite es un «acercamiento perpetuo» a un valor determinado de x (al que llamaremos x_o) en una función, sin importarnos cual sea la imagen de x.

Para poder entender el proceso de límite necesitamos utilizar nuestra imaginación, buscando una metáfora del proceso de límite, podríamos compararlo con la llegada de un tren a la estación. No nos importa que estación sea ni cómo se llame, ni siquiera como es la estación. Lo único que nos interesa cómo se acerca el tren (de cualquiera de los dos lados).

Si bien la definición de límite puede variar mínimamente de un libro a otro, vamos a encontrar la misma estructura en cada uno de ellos y (generalmente) se utilizan las mismas letras para no crear confusión. En este caso utilizaré la definición que se encuentra en el libro de análisis matemático I de la cátedra Thomson de ciencias económicas de la Universidad de Buenos Aires (UBA) (2008)

Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo (a, b), salvo quizás en x_o perteneciente a (a, b). Decimos que f_(x) tiene límite L cuando x se acerca a x_o notándolo (escribíéndolo como) :

Presupongo que para la mayoría que esté leyendo este artículo, leer esta definición se asemeja mucho a tratar de descifrar un texto en sánscrito, por lo que traduciré lo que significa.

La definición nos habla de un intervalo (a, b) dentro del cual hallamos el valor de x_o que buscamos. No nos sirve que esté fuera ya que queremos indicar claramente donde podemos encontrarlo. Si decimos que x_o pertenece al intervalo (1, 2) ella tiene muchos valores posibles pero siempre será mayor que 1 y menor que 2. Así que cuanto más pequeño sea el intervalo, mejor «definido» estará el valor de x_o.  Justamente la distancia entre a y x_o se denomina δ. Como a y b son valores de x esa distancia (que la calculamos como una resta) se escribe x – x_o. Nos interesa el valor de la distancia por lo que la operación se encierra en un módulo (valor absoluto).

Así δ es la distancia entre x_o y cualquiera de los extremos del intervalo que lo contiene. Cuando se escribe  se quiere decir que existe una δ cuyo valor es positivo (mayor que cero) ya que representa una distancia.

Cuando se escribe:  Se está diciendo que ese valor lo calculamos restando los extremos del intervalo con el valor medio que representa x_o. Determinando un entorno reducido cuyo radio es δ.

Lo mismo sucede en la imagen, pero en este caso el radio del entorno reducido se denomina &épsilon;. Así que  se traduce como: para todo épsilon que es mayor que cero. Nuevamente tenemos una distancia pequeña y positiva que corresponde a las imágenes. Donde antes teníamos a x ahora encontramos af_(x), donde estaba x_o ahora nos encontramos con su imagen L, así tenemos que 

Entonces ahora traduzcamos la definición de límites:

Tenemos un límite de x tendiendo a x_o cuyo límite es L, si y sólo si, para todo valor de épsilon mayor que cero, existe un valor delta, también mayor a cero, de manera que la diferencia (recta) entre x y x_o sea positiva y menor a delta, entonces, hallaremos una diferencia entre f_(x) y L de manera que sea menor a épsilon.

Esta definición relaciona los radios de los entornos reducidos entre sí y nos permite «elegir» cuan pequeños queremos que sea ese intervalo. δ se halla sobre el eje x, mientras que &épsilon;se halla sobre el eje y.

Otra pregunta frecuente es ¿para que nos sirve todo esto?….

Para contestar esta pregunta, nuevamente, necesitas imaginación, ya que δ, &épsilon;, x, f_(x) carecen de significado, y pueden representar muchas cosas.

Imaginemos que estamos investigando la acción de una droga en pacientes oncológicos (que padecen cáncer).x puede representar la cantidad administrada de un medicamento, mientras que y (f_(x)) representa la presión sanguínea generada por el medicamento. Así pues, x_o es la dosis que produce una presión Lque puede producir un derrame cerebral en el paciente, pero que elimina eficazmente las células cáncerígenas. Aquí adquiere gran importancia δ y &épsilon;, queremos acercarnos pero no llegar. Para eso sirve el proceso de límite (en este caso un límite desde la izquierda que tiende a valores menores de x_o).

Aplicaciones de límites en diversas funciones matemáticas

Los límites tienen muchas aplicaciones, una de ellas se ejemplifica en las funciones Homográficas cuya ecuación canónica puede escribirse como:

De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.

Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos «a«) por izquierda y por derecha tiende a infinito; carácterística que define a la asíntota vertical.

 Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda «– ¥» y por derecha «+ ¥») tiende a un valor que depende de la función, por eso la llamamos «b«; carácterística que define a la asíntota horizontal.

Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos 

(ver desarrollo en función homográfica)

Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones exponenciales de tipo  que nos permitirá hallar el valor de e, la base de los logaritmos neperianos o naturales.

Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué). 

A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ® +¥) la imagen «se acerca a un valor» 2,718281828 … (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x ® – ¥) la imagen también «se acerca al mismo valor» e.

Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f_(x) = (1 + x)^1/x. 

Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido)  también dará como resultado e.

¿Cómo resolver un ejercicio de límite?

Generalmente los límites pueden hallarse fácilmente, pero pueden aparecer indeterminaciones, o sea, cuantas que matemáticamente no tienen solución. Las más comunes son 0/0 (cero sobre cero) e ∞/∞ (infinito sobre infinito) pero puede hallarse el 0 . ∞ (cero por infinito) ∞ ─ ∞ (infinito menos infinito) 1^∞ (Uno elevado a la infinito, que aunque parezca difícil creerlo, no es uno). Para «salvar» estas indeterminaciones y hallar el verdadero valor que se halla escondido dentro de la operación del límite, necesitamos operar matemáticamente, aplicando diversos métodos, desde polinomios hasta logaritmos, inclusive aplicandoderivadas (que posiblemente aún no hayas visto). Veremos un ejemplo básico de cada uno de los casos que se te puedan presentar y trataré de explicarlo lo más claro posible… Pero como siempre, luego necesitas practicar para poder «dominar» este tema.

Límite tipo 0/0

Empecemos por un limite de polinomios. Para poder resolver y «salvar» la indeterminación lo que necesitas es factorizar el polinomio (tanto el numerador como el denominador) para poder simplificar el binomio que hace cero tanto el numerador (arriba) como el denominador (abajo)

Pasemos al ejercicio.     

Ahora debemos  ver que el limite sea una indeterminación.

Reemplazamos cada x por el valor al que tiende, 1, y hacemos las cuentas para asegurarnos que tanto el numerador como el denominador nos den cero.

Este procedimiento te evitará trabajar de más (que es lo que todo estudiante desea evitar… 🙂 )

Ahora le toca el turno a las raíces.

Lo primero es ver si hay indeterminación. Reemplacemos cada una de las x por 2 y hacemos las cuentas

Un vez que hemos comprobado que hay indeterminación, para salvarla, necesitamos operar matemáticamente.

El procedimiento es bastante sencillo. Primeramente podemos factorizar el binomio del denominador (abajo).

3x – 6 = 3 (x – 2)  Siempre nos conviene factorizar, cuando podemos, ya que nos permitirá simplificar más tarde.

Como hay una raíz, necesitamos racionalizar, para ello multiplicamos el numerador (arriba) y el denominador (abajo) por la misma expresión. (Hay que recordar que mientras se mantenga la igualdad en matemática se puede hacer lo que uno quiere, como es una multiplicación el uno no altera el resultado, bien, la fracción con el numerador y el denominador iguales nos dará 1, así que podemos hacer «desaparecer» la raíz sin que se altere el resultado) 

En el numerador (arriba) hacemos distributiva lo que posteriormente nos permitirá factorizar y hallar el binomio que está anulando (haciendo cero) la operación. Es el (x – 2) que aparece arriba y abajo una vez factorizado.

Ojo, siempre necesitamos simplificarlos para que la indeterminación se vaya.

Después volvemos a reemplazar x por 2 y, haciendo la cuenta, obtenemos el verdadero valor al que tiende el límite.

Ahora veamos que sucede cuando x tiende a cero.

Comencemos con un ejercicio fácil.

     Verifiquemos la indeterminación      

La propia x es, en este caso, la causante de la indeterminación, así que podemos factorizarla para poder simplificarla posteriormente.

Límite tipo ∞/∞

Para poder resolver este tipo de límites debemos recordar que: 

Veamos un ejemplo sencillo.

     Veamos si hay indeterminación     

Para resolver este tipo de límites podemos factorizar, pero en este caso (para que se entienda el por qué) iremos por el camino difícil…

Primeramente recordemos que en matemática, mientras mantengamos la igualdad, podemos hacer lo que queramos. En la multiplicación el 1 es el elemento neutro, o sea que multiplicar por uno no modifica nuestro resultado. El dividir entre sí a 1/x nos da 1, así que podemos multiplicar por el cociente (división) de 1/x (en el cuadrado amarillo del ejercicio) lo que nos permitirá (distribuyendo y simplificando) obtener una operación equivalente que nos permitirá salvar la indeterminación.

Compliquemos un poco más las cosas.

      Verifiquemos la indeterminación     

Muy bien…. ¿Y ahora como procedemos? Cuando nos encontramos frente a un ejercicio que no hicimos antes buscamos uno parecido que hallamos resuelto y nos fijamos que hicimos. En el ejercicio anterior dividimos todo por x, así que volvamos a hacerlo.

O sea que dividir por x no basta ya que el grado del polinomio en dos, y nos sigue quedando una indeterminación. Así que intentémoslo nuevamente pero esta vez con x².

Así que, sencillamente, necesitamos utilizar el grado mayor de cada uno de los polinomios para salvar la indeterminación. Probemos nuestra «teoría» con otro ejercicio. (Ojo, para mantener la igualdad debemos utilizar el mismo grado)

Procedemos, entonces a salvar la indeterminación dividiendo (arriba y abajo) por una x con el grado máximo del polinomio (x⁵ en este caso)

Creo que habrán notado que hasta ahora sólo hemos utilizado polinomios de igual grado en nuestra cuentas, es tiempo de dar otro paso adelante y ver que sucede cuando los polinomios son de distintos grados. Tenemos dos opciones, que el de mayor grado esté en el numerador ó que esté en el denominador.

Veamos la primera opción: mayor grado esté en el numerador.

Como el mayor grado es 5, dividamos por x⁵, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo que nos queda.

Ahora veamos que sucede cuando el mayor grado está en el denominador.

Como el mayor grado es 3, volvamos a repetir lo que ya hicimos con anterioridad; dividamos por x³, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo que nos queda.

Así que tenemos tres posibilidades cuando resolvemos limites que tienden a infinito:

A) Si los polinomios son de igual grado, el límite será finito, (o sea nos dará un número)

b) Si los polinomios no son de igual grado, y el numerador (arriba) es el de mayor grado, tendremos como límite a infinito.

c) Si los polinomios no son de igual grado, y el denominador (abajo) es el de mayor grado, tendremos como límite a cero.