Esto produce un ensanchamiento de la respuesta conocido como ancho de línea y que es equivalente a un ancho de banda 
tal que
Propagación de ondas planas en una ferrita
En la sección previa se ha mostrado el fenómeno a nivel microscópico que ocurre dentro de un material de ferrita polarizado para luego producir un tensor de permeabilidad que caracterice su comportamiento a nivel macroscópico.
Con este parámetro se resolverán las ecuaciones de Maxwell para diversas geometrías que incluyan estos materiales.
Se comenzará con una propagación de ondas planas, ya sea en la dirección de la polarización o transversal a ella.
Propagación en la dirección de la polarización (Rotación de Faraday)
Se comienza por considerar una regíón de extensión infinita completamente llena de material de ferrita y que está polarizada por un campo
DC dirigido a lo largo del eje de las z, 
Las ecuaciones de Maxwell se escriben como:
Adicionalmente, considéresé una onda plana desplazándose en la dirección del eje z de manera que:
Debido a que para una onda de este tipo las operaciones de derivación espacial se reducen a una multiplicación (apropiada) por 
se obtienen las siguientes expresiones al separar las componentes,
Clase 14
Efecto de las pérdidas
En la clase previa se estudió el comportamiento de una señal de microondas que atraviese un medio ferrimagnético; en particular que los elementos del tensor de permeabilidad (o de susceptibilidad) tienden al infinito cuando la frecuencia de la señal iguala a la frecuencia de Larmor.
A este efecto se le conoce como resonancia gyromagnética y ocurre cuando la frecuencia de precesión forzada coincide con la frecuencia de precesión libre.
Este es el mismo comportamiento de un circuito resonante ideal sin pérdidas.
Sin embargo, en la medida que se incrementa la magnetización se entra en la zonas no lineales donde la ferrita tiene pérdidas y esto acota la magnitud de la magnetización resultante como se demuestra en la página 460 del libro
El efecto neto es agregar una parte imaginaria a las componentes m y k del tensor de manera que
Donde, ahora
Obviamente que las componentes longitudinales son nulas en una oda TEM. Las ecuaciones de divergencia son nulas porque no hay cargas libres. La relació entre los campos transversales define una admitancia de onda como:
Combinando ambos conjuntos de ecuaciones se obtienen los siguientes resultados:
Esto requiere que: 
En consecuencia se tiene 
, por lo que hay dos constantes de propagación posibles, correspondientes a los dos modos posibles de polarización circular (RHCP y LHCP).
Y la admitancia 
para la onda con polarización circular dextrógira.
Los resultados para la solución LHCP son:
Como se observa la constantes de propagación tanto en este caso sin pérdidas, como cuando estén presentes pérdidas adicionales.
Si la señal aplicada fuera una onda plana se podrá descomponer en dos ondas polarizadas circularmente en el origen de coordenadas,
Las dos señales de polarización circular se propagan independientemente, cada una con su propia constante de propagación,
=
El resultado es también una onda de polarización plana pero cuya dirección de polarización cambia a lo largo del eje de propagación
A este efecto se le conoce como Rotación de Faraday.
Nótese que la dirección de propagación no cambia con el tiempo, sólo con la posición.
Propagación transversal a la polarización (birrefringencia)
Considéresé ahora el caso en que la polarización es transversal a la dirección de propagación. Por ejemplo asúmase que la ferrita está polarizada en la dirección 
y que la onda se propaga en la dirección 
. Al aplicar las ecuaciones de Maxwell a este tipo de onda y separar las componentes se tiene
De aquí se tiene que 
y que 
ya que no hay variaciones laterales de los campos. De estas ecuaciones se puede definir una admitancia en base a las componentes transversales como:
Manipulando las tres primeras ecuaciones se puede obtener el conjunto de ecuaciones:
Una solución ocurre para 
y 
. Entonces lo campos serán:
Ya que no hay componente 
cuando lo cual a su vez produce 
por lo que el resultado sigue siendo una onda TEM. La admitancia vale:
Como se observa, ni la constante de fase ni la admitancia dependen de 
, es decir la onda no esta afectada de las propiedades magnéticas de la ferrita y por esta razón se le denomina onda ordinaria (o rayo ordinario). Como se ha considerado que la polarización estaba en la dirección de esto quiere decir que las componentes del campo magnético transversales a dicha polarización son nulas. Esto quiere decir que la onda se propaga a lo largo de las direcciones +z y –z con el mismo valor de la constante de propagación, la cual es a su vez independiente de la polarización 
La otra solución ocurre cuando la componente 
, entonces 
en donde se ha definido una permeabilidad efectiva 
Esta onda se le denomina extraordinaria y si está afectada por la magnetización. Como los valores de 
dependen de la frecuencia la permeabilidad efectiva puede tomar valores positivos o negativos.
El campo eléctrico tiene la dirección de la polarización, es decir,
Esto a su vez hace que 
pero las demás componentes no son nulas por lo que la onda resultante es un modo TE. El campo magnético vale
En consecuencia una onda plana polarizada en la dirección y dará origen a un rayo ordinario, en tanto que una onda polarizada en la dirección x producirá una rayo extraordinario, con constantes de propagación diferentes. Este efecto se conoce como birrefringencia.
Propagación en una guía de ondas rectangular cargada con ferrita
Los análisis anteriores se supusieron sobre medios de extensión infinita cargados con el material de ferrita. Sin embargo, en la práctica, se utilizan guías de onda u otras líneas de transmisión cargadas con ferritas. Estas geometrías son muy difíciles de tratar en el caso general, pero el caso de la guía de ondas rectangular permite un análisis relativamente sencillo lo cual permitirá demostrar la operación y el diseño de algunos dispositivos prácticos.
Modos TEm0 en una guía cargada con una barra sencilla de ferrita
Primeramente se considerará el caso de una barra de ferrita polarizada en la dirección 
, ya que muchos dispositivos prácticos están basados en esta geometría. Para esta polarización el tensor de permeabilidad tiene la forma
Las ecuaciones de Maxwell serán
En términos de sus componentes transversales y longitudinales, los campos eléctrico y magnético valen,
Sustituyendo esto en las ecuaciones anteriores y separando las ecuaciones por componente se obtienen las siguientes expresiones,
En el caso particular de los modos TEm0 no hay componente longitudinal 
ni tampoco hay variaciones a lo largo de la dirección vertical 
. Esto significa que 
(ya que 
en una guía de ondas). El resultado es:
Finalmente se obtiene
La sustitución en las ecuaciones anteriores finalmente produce
O,
El valor de kf , el número de onda de corte vale
En el caso del aire 
, 
y 
es el número de onda de corte para las regiones de aire
El campo magnético en la regíón de aire viene dado por
Las soluciones generales del campo ey en la regíón aire-ferrita-aire son
Adicionalmente,
Al aplicar las condiciones de frontera a ambos lados de la barra se obtienen cuatro ecuaciones en las constantes A, B, C y D. Finalmente se obtiene una ecuación trascendente para la constante de propagación 
la cual se resuelve en forma numérica (los pasos intermedios están en el libro texto).
Lo importante de la solución es que depende de la componente tensorial 
por lo que al cambiar la dirección de propagación cambia el signo de esta componente lo cual produce un valor diferente para la constante de propagación, es decir, se tendrán dos valores 
.
De la misma manera se pueden hallar las constantes de atenuación directa y reversa en términos de las partes imaginarias de las susceptancias
Modos TEm0 en una guía de ondas cargada con dos barras de ferrita
El siguiente caso a estudiar es el de una guía con dos barras de ferrita ubicadas simétricamente pero polarizadas en direcciones opuestas como se muestra en el dibujo. Los detalles del análisis se muestran en el libro texto y son similares al caso anterior.
Aplicaciones Aislador de ferrita
Habiendo estudiado los aspectos teóricos relacionados con las ferritas es hora de analizar dispositivos prácticos.
Uno de los dispositivos prácticos más útiles es el aislador, el cual es una de dos puertos que tiene carácterísticas de transmisión uní-direccional. Su matriz de dispersión es
Esto indica que ambos puertos están acoplados pero que la transmisión de energía ocurre en una sola dirección. El dispositivo se usa para evitar que un generador de alta potencia pueda dañarse por causa de un onda reflejada de la carga. Sin embargo, debe notarse que esta onda reflejada será disipada por el aislador por lo que debe estar adecuadamente refrigerado.
En el texto se consideran varios tipos de aisladores en detalle
Cambiadores de fase
Estos dispositivos son importantes en aplicaciones prácticas. Son redes de dos puertos que proporcionan un cambio de fase variable que depende del campo de polarización de la ferrita. Su principal utilidad es en los arreglos de antena conocidos como phase arrays, en los cuales se puede alterar la dirección del patrón de radiación por medio de la fase relativa entre las señales de alimentación a los distintos miembros del arreglo de radiadores.
Esencialmente hay dos tipos de desfasadores, los recíprocos y los no recíprocos. La figura muestra un tipo de desfasador no reciproco de tipo “latch”
Desfasador Reggia-Spencer
Un desfasador de tipo recíproco es el Reggia-Spencer y mostrado en la figura
El girador
Es un dispositivo importante en redes de microondas. Su matriz de dispersión es
Por tanto es una red sin pérdidas, acoplada y no recíproca. Se utiliza como un componente de redes más complejas. Su símbolo es
Un ejemplo de una red compleja se muestra en la figura donde se ha construido un aislador utilizando un girador y dos híbridos de cuadratura
Circuladores de ferrita
Como ya se ha discutido anteriormente, un circulador es una red sin pérdidas, de tres puertos que puede estar acoplada en todos los puertos. Su matriz de dispersión es
La transferencia de energía entre dos puertos adyacentes es no recíproca. La dirección de “giro” depende de la dirección del campo magnético de polarización. Aunque la mayoría de los circuladores utilizan imanes permanentes, se puede utilizar un electro magneto para la polarización de manera de cambiar a voluntad la dirección de giro.