Producto de Matrices Propiedades
Asociativa (A· B)· C = A· (B·C)
Distributiva A· (B + C) = A· B + A·C
No tiene la propiedad conmutativa A·B ≠ B· A
Traspuesta de una Matriz (Propiedades)
i) (A + B)t = At + Bt
ii) (At)t = A
iii) (k·B)t = k·Bt (k escalar)
iv) (A·B)t = Bt·At
Matriz Inversa (A-1)
(B-1·A-1)· (A·B) = (A·B) · (B-1·A-1) = I
(B–·A–· (A·B) = B–· (A–·A)·B = B–·I·B = B–·B = I
(A·B)· (B-1·A-1) = A· (B·B-1)·A-1 = A·I·A-1 = A·A-1 = I
Matriz Ortogonal
A-1 = At
Sistemas
Ran(A) = Ran (A‘) = Ni àscd
Ran (A) = Ran (A‘) = 2 < ni àsci
Ran (A) no Ran (A`) àsi
Ejercicio 1: Sea una matriz de orden fxc. Demuestre que si en una matriz todos los determinantes de orden k, con k menor que f y c, son 0, entonces no existe ningún determinante de orden k+1 que sea distinto de 0.
Suponer:
Demostraremos mediante un ejemplo de determinante de esta matriz que si todos los determinantes de orden k (en nuestro caso 2) son 0, todos los de orden k+1 también son 0. Esto es fácil de ver si nos fijamos en el método para calcular el determinante, ya que cuando calculamos el determinante de orden k+1, se utilizan los determinantes de orden k en la multiplicación (y un producto por 0 es 0). Entonces, si todos los de orden k son 0, los de orden k+1 también son 0.
Observamos que lo descrito en el punto 2 se produce en todas las matrices posibles 3×3 de la matriz ejemplo del punto 1, y además, que se puede aplicar a cualquier matriz. Además, también sabemos que gracias a este hecho podemos calcular el Rango de una matriz con los determinantes.
Ejercicio 2: Tenemos una transformación lineal en la que primero hacemos una cizalla, después giramos +30 grados y finalmente estiramos al doble según el eje X.
EJERCICIO 3: Sabemos que i1 = ia + 2 ja; j1 = 2ia – 1.5 ja. Esto nos permite escribir directamente una matriz de transformación. ¿Cuál, la de Sa a S1 o la de S1 a Sa?
i1 = 1 vez la componente i, 2 veces la componente j del vector unitario de Sa.
J1= 2 veces la componente i, -1.5 veces la componente j del vector unitario en S1.
La matriz de transformación es de S1 a Sa
Vector Fijo
Un vector fijo viene determinado por una pareja ordenada de puntos A y B que se indica como AB
Al punto A se le llama origen y al punto B se le llama extremo.
La representación de un vector en el plano o en el espacio de 3 dimensiones se hace mediante segmentos orientados acabados en una punta de flecha en el punto extremo.
Así pues, un vector fijo viene caracterizado mediante:
– las coordenadas del punto origen y
– las coordenadas del punto extremo.
En un contexto geométrico, las 3 características de un vector fijo son:
– el módulo: es la longitud del segmento
– la dirección: la de la recta a la que pertenece
– el sentido: queda determinado al ir del origen al extremo; indicado por la punta de la flecha.
También es necesario saber el origen o punto de aplicación
4 Vectores Libres
Se definen a partir de lo que tienen en común todos los vectores fijos
Equivalentes. Un vector libre queda por tanto definido únicamente por las componentes de todos los vectores fijos a los que representa sin importar donde esté el origen.
1ª forma: conociendo: módulo, dirección, sentido
2ª forma: conociendo: las componentes.
El módulo o longitud, igual que en los vectores fijos, es la longitud del segmento.
Su dirección queda definida por el ángulo que forma con la dirección positiva del eje OX.
Su sentido queda definido igualmente por el ángulo citado.
Combinación Lineal
Dados los vectores, llamamos combinación lineal al resultado de efectuar la operación donde a, b son escalares (reales).
Propiedades de la Suma de Vectores:
1. (u + v) + w = u + (v + w) Ley asociativa
2. u + w = w + u Ley conmutativa
3. u + 0 = 0 + u = u Elemento neutro de la suma
4. u + (-u) = (-u) + u = Vector opuesto
Propiedades del Producto de Vector por Escalar (P.V.E)
5. a (u + w) = a u + a w L. distributiva de (P.V.E) respecto a la suma de vectores
6. (a + b) u = a u + b u L. distributiva de (P.V.E) respecto a la suma de escalares
7. (a·b) u = a (b u) L. asociativa del producto entre escalares y vectores
8. 1 u = u Elemento unidad
Distancia entre dos puntos A y B
Fórmula
Vectores Ortogonales u·v = 0
Proyección Ortogonal de un Vector v sobre otro u
Producto Vectorial
LD diferente 0 / LI = 0
Sistema Generador: un vector tiene que poder expresarse como CL
Base: diremos que el conjunto de vectores es base de E si
a) x1, x2,………….., xn es sistema generador de E
b) Es L.I.
Ejercicio 4: Demuestre que el paralelismo es transitivo, es decir, que dados tres vectores u, v y w, si u es paralelo a v y v es paralelo a w, entonces necesariamente u es paralelo a w. Demuestre también que dados dos vectores u y v, con u paralelo a v, entonces u+v es paralelo a ambos.
Aplicar la definición de paralelismo de vectores. Sabemos que dos vectores son paralelos si, aplicamos el enunciado y tenemos. Ahora despejamos v y tenemos que. Igualamos y operamos despejando un vector:. Así vemos claramente que los vectores u y w siguen la condición de paralelismo descrita en el apartado 1. Por tanto, hemos demostrado que ‘si u es paralelo a v y v es paralelo a w, entonces necesariamente u es paralelo a w’.
Ejercicio 5: Sean los vectores conocidos u y v, un vector desconocido x, un escalar conocido a y uno desconocido y. Ni los vectores conocidos ni el escalar conocido son 0. Las siguientes ecuaciones, ¿tienen solución siempre? No se olvide de justificar sus respuestas.
Sí, tienen solución siempre porque siempre existe la diferencia entre vectores. Lo que puede pasar es que los vectores sean iguales y, por tanto, el resultado sea 0. 2) Por definición, sabemos que dos vectores son paralelos cuando cumplen que v = λu. Por tanto, en el caso de la segunda ecuación, tiene solución solo cuando sean paralelas. 3) Sí, tiene solución porque siempre existe la diferencia entre vectores. Además, si descomponemos cada componente, nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podríamos sacar las dos soluciones.
Ejercicio 6: Definición de Linealmente Independiente
Primero escribimos la definición de vectores linealmente independientes que se plantea en el mismo enunciado. Consta de dos partes: ????1 · v1 + ????2 · v2 + ⋯ + ???????? · vn = 0 ????1 = ????2 = … = ???????? = 0 2. Suponemos que un valor de a no es 0, por ejemplo, a1. ????1 ≠ ????2 = … = ???????? = 0 3. Con esta suposición se puede despejar la primera ecuación del apartado 1 y queda así: -a1/a2·v2… -an/a1·vn
Si todos los valores de a son 0 (como dice la definición), no se podría despejar la ecuación, como se ha hecho en el punto 3. Por tanto, no se podría escribir un vector como combinación lineal de los otros (como se ha hecho en el punto 3). También observamos que no solo es suficiente que 1 valor de a sea 0 para la dependencia lineal, tiene que haber al menos dos. Esto es debido a las fracciones de tipo ????2/????1, donde al menos en un caso, el numerador y denominador no tienen que ser 0 para escribir un vector como combinación lineal. Hemos demostrado que si como mínimo dos valores de a1, a2, …, an son distintos de 0, entonces se puede poner uno de los vectores como combinación lineal de los demás.
Ejercicio Campos Elíseos
El rango de la matriz no podrá ser 4 o 5, ya que para que se puedan dar estos casos tiene que haber un determinante menor distinto de 0. Si dos columnas o filas son iguales, el determinante es 0. Si toda una fila o columna es de 0, el determinante es 0. Si los elementos de una fila son múltiplos de otra, el determinante es 0. Si en el determinante A, una fila o columna es combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es 0.
1.2. Si tengo un SCD y añado una ecuación más, será un sistema incompatible.
1.3. Sabemos que el área de un círculo es πr^2, ya que su distancia horizontal y vertical son iguales. Sin embargo, en la elipse no lo son, por lo tanto, su área = πab. Con esto nos damos cuenta de que el círculo es un tipo específico de elipse.