Clase 9(resonadores)

En microondas los resonadores se utilizan en una variedad de aplicaciones que incluyen filtros, osciladores, frecuencímetros y amplificadores sintonizados. En este estudio se establecerán comparaciones con los circuitos resonantes realizados con parámetros concentrados para después pasar a la implementación práctica utilizando elementos distribuidos tales como líneas de transmisión, guías de onda rectangulares y circulares, así como cavidades dieléctricas.

Consideremos en primer lugar un circuito resonante serie como el de la gráfica:

La impedancia de entrada es evidentemente,

 Y la potencia compleja entregada al resonador por una fuente externa es,

De aquí se tiene que la potencia promedia disipada por el resistor vale:

Y las energías promedio almacenadas magnética y eléctrica respectivamente son:

La potencia compleja de entrada se puede escribir entonces como:

Y la impedancia se puede reescribir como:

Conceptualmente, la resonancia ocurre cuando las energías almacenadas en los campos eléctrico y magnético son iguales por lo que la impedancia de entrada es puramente resistiva es igual a R.

Al igual las energías de los campos se encuentra que el valor de la frecuencia de resonancia es:

El factor de calidad Q se define como el cociente de la energía promedio almacenada entre la pérdida de energía por ciclo:

Si bien en este circuito la pérdida de energía está relacionada con la resistencia serie R, cualquier red externa conectada al circuito producirá pérdida adicional lo cual producirá una disminución de la Q.

El factor de calidad debido única y exclusivamente a los componentes del resonador sin efectos se denomina Q₀. En la condición de resonancia del circuito serie mostrado se tiene que:

Interesa conocer el comportamiento del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia, es decir consideremos un variación pequeña alrededor de dicha frecuencia.

El numerador vale  de manera que

La expresión no sólo es útil para el caso de circuito realizados con parámetros concentrados sino que también puede servirnos para hallar un equivalente circuital en el caso de resonadores realizados con parámetros distribuidos.

Otra forma de interpretar esta expresión es considerar a un resonador con pérdidas como uno sin pérdidas pero cuya frecuencia de resonancia  ha sido reemplazada por una frecuencia de resonancia compleja efectiva. Esto a su vez permite representar la en el plano complejo de raíces, s,  o root locus.

Para la mayoría de las situaciones prácticas de microondas las pérdidas son pequeñas por lo que se puede usar un método perturbacional que comience con la solución del caso sin pérdidas y luego agregue el efecto de las pérdidas a la impedancia de entrada reemplazando la frecuencia real por la compleja.

Otro parámetro importante de un resonador es el ancho de banda fraccional de media potencia y su relación con el factor de calidad. Si se considera una frecuencia en la cual  entonces la potencia real promedio entregada al circuito será la mitad que en resonancia. Si BW es el ancho de banda fraccional, entonces  en el borde superior de la banda (el negativo de este valor en la inferior). Entonces,

De aquí se obtiene

Circuitoresonanteparalelo:

Factor de calidad del circuito cargado:

El valor de Q₀ calculado anteriormente es una carácterística del resonador aislado, pero al conectarlo a cualquier otro circuito práctica aparecerán pérdidas adicionales que tienen el efecto de disminuir la Q. Estos efectos se pueden asociar a una resistencia equivalente conectada a la salida del circuito, la cual se conectaría en serie, en el caso de un resonador serie, o en paralelo sino el resonador fuera de este segundo tipo.

En todo caso el Q_L del circuito cargado se puede hallar de

donde Q_e vale:

Resonadores de línea de transmisión:

Como se ha discutido anteriormente usualmente en alta frecuencia se utilizan líneas de transmisión como elementos reactivos en lugar de parámetros concentrados. Estos elementos se puede utilizar para construir resonadores. Como interesa estudiar la Q de estos circuitos vamos a considerar líneas de transmisión con pérdidas. Línea lambda media en cortocircuito. Consideremos un trozo de línea de transmisión terminada en un cortocircuito. La línea tiene impedancia carácterística Z₀, una constante de propagación b y una de atenuación (alpha).

A la frecuencia de resonancia  la longitud de la línea es  (o un múltiplo). Como la línea tiene pérdidas, la impedancia de entrada vale:

Si consideramos líneas de bajas pérdidas tenemos que  por lo

Consideremos una variación incremental de frecuencia y que estamos trabajando con líneas TEM, entonces

La velocidad de fase es v_f. Como la línea tiene un largo de lambda medios a la frecuencia de resonancia, el primer término vale p. Entonces,

Al sustituir se tiene

Este resultado se sustituye en la expresión de la impedancia y produce:

Este resultado es equivalente al de un circuito resonante serie donde

En este caso la resistencia equivalente vale  y la inductancia equivalente vale

La capacitancia equivalente vale

El factor de calidad en vacío vale

En primer lugar se calcula la resistividad superficial del cobre a 5 GHz a partir de la conductividad. Con este valor se calcula la atenuación utilizando las fórmulas para la línea coaxial, tanto para el dieléctrico de aire como con el Teflón. Sin embargo, a esta atenuación debida al conductor de cobre hay que añadir, la pérdida en el dieléctrico en el segundo caso, la cual se halla a partir de la tangente de pérdidas. Los resultados numéricos son

Línea de un cuarto de lambda en corto circuito:

Así como una línea de lambda medios es equivalente a un circuito resonante serie, una de lambda cuartos es equivalente a un circuito resonante paralelo. La deducción se halla en el libro texto por lo que sólo nos remitiremos al resultado.

De esta manera:

De igual manera que en el caso serie,

Línea en circuito abierto de (landa)/2:

En circuito microstrip es más fácil realizar circuitos abiertos que cortocircuitos. Esta línea se comporta como un circuito resonante paralelo en (landa)/2 o sus múltiplos, en tanto que se comporta como un circuito serie en (landa)/4 o sus múltiplos impares.

Cavidades resonantes en guías de onda:

Otra forma de construir resonadores a frecuencias de microondas es por medio de trozos de guía de onda. Sin embargo, debido a que una guía de ondas abierta se comporta como una abertura radiante (una antena) va a tener unas pérdidas altas y en consecuencia una baja Q. En su lugar, la guía se cortocircuita en ambos extremos y forma una cavidad. Las pérdidas ocurren por disipación en las paredes metálicas y en el material dieléctrico que pueda haber dentro de la cavidad. El acoplamiento con los circuitos externos se hace por medio de una pequeñas abertura o por medio de sondas o lazos. Es posible que se produzcan muchas resonancias debido a las variaciones del campo en las tres dimensiones de la estructura. Se comenzará deduciendo las frecuencias resonantes para modos TE y TM en una cavidad resonante para después hallar la Q para el modo TE_10l

Frecuencias resonantes:

La geometría se una cavidad resonante rectangular se muestra en el siguiente gráfico. Nótese el comportamiento estacionario a lo largo del eje de las x y el eje de las z. Se muestran dos modos denominados TE₁₀₁ y TE₁₀₂Se comenzará calculando la frecuencia de resonancia en la condición sin pérdidas y luego se hallará la Q por el método perturbacional descrito anteriormente.

En una guía rectangular con propagación a lo largo del eje de las z’s el campo eléctrico para cualquier modo (sea TE o TM) se puede escribir como

En estas expresiones  es la variación transversal del modo y las  y  son amplitudes arbitrarias de las ondas viajeras. La constante de propagación para cualquier modo en la guía rectangular vale:

A continuación se aplica la condición de frontera de que el campo transversal sea cero en los cortocircuitos, es decir, en z=0 y z=d. La primera de ellas produce  en tanto que la segunda produce

La solución no trivial es    para es decir que la longitud de la cavidad es un múltiplo entero de medias longitudes de onda. Por tanto se puede escribir un número de onda en función de las tres dimensiones de la guía como

Factor de calidad de un modo TE10l:

Sustituyendo la condición  en la expresión de los campos para el modo TE_10l se tiene:

Las cuales eventualmente se simplifican a

Para hallar el factor de calidad en vacío deberán halarse las energías almacenadas en los campos eléctrico y magnético así como las pérdidas en las paredes conductoras y en el dieléctrico.

Las energías almacenadas se hallan calculando las integrales de volumen

La cantidad en paréntesis se simplifica a

Lo cual demuestra que en resonancia las energías almacenadas son iguales.

Para pérdidas pequeñas podemos aplicar el método perturbacional para hallar la potencia disipada en las paredes. El resultado es

Donde como siempre  es la resistividad superficial de las paredes metálicas y H_t es el campo magnéticos tangencial en las paredes. El resultado final es:

El valor de Q en vacío considerando solamente las pérdidas en las paredes vale:

A continuación se calculan las pérdidas en el dieléctrico.

La Q de una cavidad de paredes conductoras perfectas pero con pérdidas dieléctricas es

La Q total se halla sumando ambas pérdidas por lo que

Resonadoresconguíadeondacircular:

Similarmente al caso anterior, en este caso se termina un trozo de guía de onda circular en corto circuito en ambos extremos.Como elmodo dominante en la guía de ondas cilíndrica es el TE₁₁, el modo dominante de resonancia será el TE₁₁₁.Los procedimientos son esencialmente los mismos que para la guía rectangular y se hallan detallados en el libro texto.Las cavidades circulares se usan frecuentemente en frecuencímetros de microondas como el mostrado en la lámina siguiente.LasfrecuenciasderesonanciaparalosTEyTMrespectivamente son

Factor de calidad en vacío del modo circular TEnml:

Resumiendo los cálculos del libro, el valor de la Q debida única y exclusivamente a las paredes conductoras imperfectas es:

Las pérdidas en el dieléctrico tienen el mismo valor  que en la guía rectangular

La Q total se halla combinando ambos valores como se hizo en el caso rectangular