Defina entorno reducido de Centro en P0 (x0,y0) y radio δ. Dar un ejemplo
Defina punto interior de un conjunto y conjunto abierto. Dar un ejemplo
Conjunto abierto:
se forma con todos los puntos interiores
El punto interior de un conjunto:
es un punto que está completamente contenido dentro del conjunto y que no está en el límite o borde del conjunto. De manera más formal, dado un conjunto A en un espacio métrico X, un punto x se considera punto interior de A si existe un radio positivo &épsilon; tal que la bola abierta de radio &épsilon; centrada en x está completamente contenida en A.
Un ejemplo para ilustrar esto es el conjunto A de todos los números reales mayores que 0 y menores que 1. Este conjunto es abierto porque para cada punto x en A, puedes elegir una vecindad, por ejemplo, un intervalo abierto centrado en x y de radio menor a la distancia entre x y los límites 0 y 1. Esa vecindad estará completamente contenida en A, por lo tanto, todos los puntos de A son puntos interiores y el conjunto es abierto.
Defina punto exterior y punto aislado de un conjunto. Dar un ejemplo
Un punto exterior de un conjunto es un punto que no pertenece al conjunto pero que tiene una vecindad que está completamente contenida fuera del conjunto. De manera más formal, dado un conjunto A en un espacio topológico X, un punto x se considera punto exterior de A si existe un conjunto abierto U tal que x pertenece a U y U está completamente contenido fuera de A.
Un punto aislado de un conjunto es un punto que pertenece al conjunto y que no tiene puntos del conjunto en su vecindad, excepto él mismo. En otras palabras, es un punto que no tiene otros puntos del conjunto cerca de él. Formalmente, dado un conjunto A en un espacio topológico X, un punto x se considera punto aislado de A si existe una vecindad de x tal que la intersección de esa vecindad con A solo contiene a x.
Un ejemplo para ilustrar estos conceptos es el conjunto A de los números enteros. En este caso, cualquier número entero es un punto aislado de A, ya que no hay otros números enteros en su vecindad. Por ejemplo, el número 0 es un punto aislado de A porque no hay otros enteros entre -1 y 1.
Por otro lado, considera el conjunto B de los números reales mayores que 0 y menores que 1. En este caso, cualquier número real fuera del intervalo (0, 1) es un punto exterior de B. Por ejemplo, el número -1 es un punto exterior de B, ya que podemos elegir una vecindad alrededor de -1 que está completamente contenida fuera del intervalo (0, 1).
Defina un punto de frontera de un conjunto y conjunto cerrado. Dar un ejemplo
Conjunto cerrado:
se forma con los puntos interiores y los puntos de frontera
Un punto de frontera de un conjunto es un punto que cumple dos condiciones: pertenece al conjunto y cualquier vecindad del punto contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto del complemento del conjunto. En otras palabras, es un punto que se encuentra en el límite o borde del conjunto, ya que tiene elementos tanto dentro como fuera del conjunto en su entorno.
Un ejemplo para ilustrar esto es el conjunto A de los números reales mayores o iguales que 0. En este caso, el punto 0 es un punto de frontera de A porque cualquier vecindad alrededor de 0 contiene puntos tanto de A (números mayores o iguales a 0) como de su complemento (números negativos). Además, el conjunto A es cerrado porque incluye todos sus puntos de frontera, incluido el punto 0.
Por otro lado, considera el conjunto B de los números reales mayores que 0 y menores que 1. En este caso, tanto el punto 0 como el punto 1 son puntos de frontera de B, ya que cualquier vecindad de estos puntos contiene elementos tanto de B (números entre 0 y 1) como de su complemento (números negativos y números mayores que 1). El conjunto B también es cerrado porque contiene todos sus puntos de frontera.
Defina punto de acumulación de un conjunto. Dar un ejemplo
Un punto A, perteneciente o no a un conjunto S, es de acumulación de dicho conjunto cuando en todo entorno reducido suyo existe algún punto de S.A es un punto de acumulación de S⇔ ∀ E* (A) / E* (A)∩S ≠φ .
El punto A es interior al conjunto S y es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él siempre hay otros puntos del conjunto S.
El punto B está sobre la frontera, también es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él se encuentra al menos otro punto del conjunto S.
Pero el punto C no es de acumulación porque hay entornos del punto en el cual no se encuentran otros puntos del conjunto S, es exterior.
Defina conjunto conexo y simplemente conexo
Conjunto conexo:
un conjunto es conexo si dos de sus puntos pueden ser unidos por una poligonal íntegramente contenida con en el conjunto.
Conjunto simplemente conexo:
es un conjunto donde cualquier poligonal cerrada trazada en el se puede reducir a un punto por deformación continua sin salirse del conjunto.
DESARROLLO: Defina un campo escalar de dos variables, dominio e imagen. En cuanto a su representación gráfica: ¿A qué se denomina gráfico de una función de dos variables?
Campos escalares de dos variables independientes
F: R2->R / Z=F(x,y)
X,y: variables independientes
Z: variable dependiente o función.
Una función de dos variables independientes “x” e “y” es una relación que hace corresponder a cada par P(x,y) del dominio un único valor para la función Z.
Dominio:
es el conjunto de pares P(x,y) para los cuales existe o está definida la función.
Imagen:
es el conjunto de valores que puede asumir la función Z
Representación GRÁFICA:
El lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que satisfacen la ecuación Z=F(x,y) se llama gráfica de una función de dos variables independientes. La gráfica es una superficie en el espacio tridimensional.
¿Cuándo una función esta expresada en forma explícita o implícita? Dar ejemplos
La proyección de la superficie t=F(x,y) sobre el plano oxy nos da el dominio de la función.
La función puede ser explícita:
Z=F(x,y)
EJ: Z=X2+Y2 PARABOLOIDE
La función puede ser implícita:
(x,y,z)=0
EJ: 2x+3y-2z-6=0 PLANO
Defina curva de nivel. Dar un ejemplo
Una curva de nivel de una superficie Z=F(x,y) es el conjunto de puntos P(x,y) para los cuales la función alcanza el mismo valor.
Defina superficie de nivel. Dar un ejemplo
Una superficie de nivel de una función W=F(x,y,z) es el conjunto de puntos P(x,y,z) para los cuales la función alcanza el mismo valor.
Defina existencia y unicidad de una función de dos variables. De un ejemplo de una superficie donde se cumple la existencia, pero no la unicidad.
Desarrolle la definición de limite doble con épsilon y delta. Realice el gráfico del límite doble en el espacio
Esto quiere decir que por más pequeño que sea (diferencia entre los valores que toma la función en un entorno de (x0;y0) y L) siempre existe h, radio del entorno reducido dentro del cual están los (x;y) que cumplen con la condición de que la diferencia en valor absoluto entre los valores de la función y el límite se pueda hacer tan pequeña como se quiera.
Si dado cualquier siempre existe h, entonces la función tiene límite finito en el punto. El radio h depende de porque si tomamos valores de menores, los pares (x;y) se encontrarán más cerca del punto (x0;y0) y por lo tanto el radio del entorno es menor.
El punto debe ser de acumulación del dominio porque de lo contrario no existirían los (x;y) que cumplan con la condición establecida, ya que alrededor del punto no habrían otros puntos pertenecientes al dominio de la función.
Desarrolle la definición de limite doble con épsilon y delta. Realice el gráfico del límite doble en el espacio
Defina punto de acumulación de un conjunto. Dar un ejemplo
Un punto de acumulación de un conjunto es un punto en el cual cualquier vecindad alrededor de él contiene al menos un punto del conjunto distinto al punto en sí. En otras palabras, es un punto alrededor del cual el conjunto tiene una «acumulación» o una densidad de puntos.
Un ejemplo para ilustrar esto es el conjunto A = {1/n | n ∈ N}, que consiste en todos los números reales positivos que son la inversa de un número natural. En este caso, el punto de acumulación del conjunto A es el número 0. Cada vecindad alrededor de 0 contiene infinitos puntos de A, ya que para cualquier &épsilon; positivo, podemos encontrar un número natural n tal que 1/n sea menor que &épsilon;, lo que implica que 1/n estará en la vecindad alrededor de 0. Por lo tanto, 0 es un punto de acumulación de A.
Defina las propiedades de los limites dobles
Para las funciones de dos variables valen las mismas propiedades que para
los límites de una variable. Es decir que el límite, si existe, es único. El límite
de la suma, resta, producto o cociente de funciones es igual a la suma, resta,
producto o cociente de los límites. En este último caso si el límite del denominador
es ≠ 0.
El producto entre un infinitésimo y una función acotada es otro infinitésimo.
El cálculo de los límites reiterados y radiales ayudan a determinar la existencia
del límite doble. Veamos las relaciones que se verifican entre ellos.
1) Si ∃L, L1, L2, Lr y Lp, estos deben ser iguales, es decir L = L1= L2= Lr= Lp.
2) Si L1 ≠ L2 o L1 = L2 ≠ Lr o L1 = L2 = Lr ≠ Lp ∃/ L, es decir que si algunos de los límites que encontramos son distintos, el límite doble no existe.
3) L1 = L2 = Lr = Lp no se sabe si existe el límite doble L.
4) Puede ∃L y no existir L1 o L2.
Teorema de la unicidad: Si existe el límite doble, éste es único.
Defina las condiciones de continuidad de z=f(x,y) en un punto P(a,b) e indique cuando una función es discontinua evitable.
Defina como analiza el límite doble por limites sucesivos y su conclusión
Defina como resuelve el límite doble por análisis de funciones
Defina como analiza el límite doble por el límite radial y su conclusión
Se llama así al límite cuando el camino elegido son las rectas que pasan por el punto. Si tenemos en cuenta la ecuación de la recta que pasa por un punto: y = m (x – x0) + y0, donde m es la pendiente de la recta queda:
Defina como analiza el límite doble por el límite radial y su conclusión
Para analizar el límite doble por el límite radial, se realiza el siguiente procedimiento:
1. Se convierten las coordenadas cartesianas del punto en coordenadas polares. Esto implica expresar el punto en términos de su radio (r) y su ángulo (θ).
2. Se escribe la función en términos de las coordenadas polares, reemplazando las coordenadas cartesianas por r y θ.
3. Se estudia el comportamiento de la función a medida que el radio se aproxima a cero (r -> 0), manteniendo el ángulo constante. Esto implica tomar el límite de la función cuando r tiende a cero.
4. Si el límite obtenido en el paso anterior existe y es independiente del ángulo θ, entonces se concluye que el límite doble existe y tiene ese valor. En caso contrario, si el límite depende del ángulo θ o no existe, se concluye que el límite doble no existe.En resumen, al analizar el límite doble mediante el límite radial, se estudia cómo se comporta una función a medida que se acerca al origen en coordenadas polares, manteniendo el ángulo constante. Si el límite obtenido existe y es independiente del ángulo, se concluye que el límite doble existe; de lo contrario, no existe.
DESARROLLO: Defina derivada parcial de la función z=f(x,y) con respecto a x. Indique su interpretación geométrica. Realice el grafico en el espacio.
Dada Z=F(x,y) una función continua de dos variables, se tiene dos derivadas parciales de primer orden resultantes de incrementar a la función respecto a una variable manteniendo la otra variable constante.
DESARROLLO: Defina derivada parcial de la función z=f(x,y) con respecto a x. Indique su interpretación geométrica. Realice el grafico en el espacio.
Al calcular la derivada parcial respecto de x, se
considera a y = y0, lo que equivale a trazar el plano
y = y0, paralelo al plano (x z).
La intersección de la superficie con el plano y = y0
es una curva z = f (x;y0) que representa a una función
de x. Si aplicamos a esa curva la interpretación
geométrica de la derivada para funciones de
una variable concluimos que la derivada parcial respecto de x en (x0;y0) mide
la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie con
el plano y = y0 en P0 = (x0;y0;z0).
DESARROLLO: Defina derivada parcial de la función z=f(x,y) con respecto a x. Indique su interpretación geométrica. Realice el grafico en el espacio.
DESARROLLO: Defina derivada parcial de la función z=f(x,y) con respecto a y. Indique su interpretación geométrica. Realice el grafico en el espacio.
Ahora consideramos a x = x0, lo que equivale a intersecar a la superficie con el plano x = x0, paralelo al plano (y z). Esta intersección es una curva z = f (x0;y) que representa a una función de y.
Si ahora aplicamos a esta curva la interpretación geométrica de la derivada para funciones de una variable concluimos que la derivada parcial de z respecto de y en (x0;y0) mide la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie con el plano x = x0 en P0 = (x0;y0;z0).
Dada z=f(x,y) defina sus derivadas sucesivas hasta el orden 3. Indique cuales son iguales. Enuncie el teorema de Schwarz.
Teorema de Schwarz:
Si Z=F(x,y) es una función continua y derivable en P(a,b), entonces:
Las derivadas mixtas o cruzadas son siempre iguales.
Si las derivadas sucesivas son continuas el orden de derivación no altera la derivada, siempre que la cantidad de veces que se deriva respecto a cada variable sea la misma.
TEOREMA DE SCHWARZ
Si las derivadas parciales ‘
x f , ‘
y f y »
f xy de una función z = f (x;y) existen en
un entorno del punto P0 = (x0;y0) interior al dominio de f, y además »
xy f es
continua en ese punto, entonces también existe »
yx f (P0) y es igual a »
xy f (P0).
Dada z=f(x,y) demuestre como a partir del diferencial total de primer orden se obtiene el diferencial de orden 2
Dada z=f(x,y) demuestre como a partir del diferencial total de primer orden se obtiene el diferencial de orden 2
Dado z=f(x,y), defina diferenciales sucesivos de orden “n”.
Dado z=f(x,y), defina diferenciales sucesivos de orden “n”.
DESARROLLO: Realice la interpretación geométrica del diferencial total de primer orden de un campo escalar z=f(x,y).
DESARROLLO: Realice la interpretación geométrica del diferencial total de primer orden de un campo escalar z=f(x,y).
Geométricamente el diferencial total de primer orden es la diferencia de alturas entre la altura en el punto inicial “Z0” y la altura en el punto incrementado hasta el plano tangente “Z”, DZ=Z-Z0, mientras que el incremento total ΔZ es la diferencia de alturas entre la altura en el punto inicial “Z0” y la altura en el punto incrementado hasta la superficie “Z1”: ΔZ=Z1-Z0
Dada z=f(x,y) ¿Como se calcula el error máximo aproximado utilizando diferenciales?
Dado z=f(x,y) indique como se calcula el vector normal y versor normal positivo en un punto de la superficie
