República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

«V.E.S» Vicente Emilio Sojo

San Juan de los Morros-Guárico

Año: 3ero Sección: «E»

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Profesor: Cordero Enrique

Alumno: Leonardo Herrera #19

Definición

• Introducción

• Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a₁₁ · x₁ + a₁₂ · x₂ + a₁₃ · x₃ + ··· + a_1n · x_n = b₁
a₂₁ · x₁ + a₂₂ · x₂ + a₂₃ · x₃ + ··· + a_2n · x_n = b₂
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a_m1 · x₁ + a_m2 · x₂ + a_m3 · x₃ + ··· + a_mn · x_n = b_m

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales a_ij se denominan coeficientes y los x_i se denominan incógnitas (o números a determinar) y b_j se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x₁ y x₂, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x₁, x₂ y x₃ pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Expresión Matricial de un Sistema

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

⎡ a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n
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. … .
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a_m1 a_m2 a_m3 … a_mn ⎢_mxn · ⎡ x₁
x₂
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x_n ⎢_nx1 = ⎡ b₁
b₂
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b_m ⎢_mx1

La matriz A = ⎡ a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n
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. … .
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a_m1 a_m2 a_m3 … a_mn ⎢ se llama matriz de coeficientes, la matriz X = ⎡ x₁
x₂
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x_n ⎢ se llama matriz de incógnitas, y la matriz B = ⎡ b₁
b₂
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b_m ⎢ se llama matriz de términos independientes.

La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
(A|B) = ⎡ a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n
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. … .
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a_m1 a_m2 a_m3 … a_mn ⎢ b₁
b₂
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b_m ⎢ se llama matriz ampliada del sistema y se representará por (A|B) o bien por A*.

Ejemplo: El sistema:
x + y − z = 5
x + y = 7
2x + 2y − z = 12

escrito matricialmente es:

⎡ 1 1 −1
1 1 0
2 2 −1 ⎢ ⎡ x
y
z ⎢ = ⎡ 5
7
12 ⎢

Tipos de Sistemas

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, éstos se pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solución) → S.I.
* COMPATIBLES (Tienen solución) * DETERMINADOS (Solución única) → S.C.D.
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones) → S.C.I.

Sistemas con dos Incógnitas

Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

* Reducción
* Igualación
* Sustitución

en los que ya no nos entretendremos.

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el sistema: x + 2y = −3
−2x + y = 1
.

Por reducción:
2x + 4y = -6
-2x + y = 1
5y = -5

de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.

Es decir, la solución del sistema es única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio: Estudiar la solución de los siguientes sistemas e interpretarla geométricamente:

a) x + y = 5
2x − y = 7

b) 2x + y = 1
3x + 2y = 4

c) x + 2y = 3
x − y = 4

Discusión de Sistemas de 2 Ecuaciones con 2 Incógnitas

Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,
ax + 3y = 5
2x − y = 6, no estamos ante un sólo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema será distinto en función del valor que tome dicha letra (llamada parámetro).

Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por ejemplo, por reducción:
ax + 3y = 5
6x – 3y = 18
ax + 6x = 23

por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos una ecuación del tipo 0 = 23, es decir, imposible.

Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.

En cualquier otro caso, podemos despejar x, x = 23 / (6 + a), y se puede sacar y sustituyendo, por tanto, si a = −6, el sistema es compatible determinado.

Ejercicio: Discutir los sistemas en función del parámetro desconocido:

a) x + y = 5
ax + 2y = 10

b) ky + x = 1
2y − 3x = 5