PALTAS

Se estima que si se plantan 200 árboles infantiles de paltas en un terreno, la producción estimada será de 300 kg de palta por árbol, pero se estima que por cada árbol no plantado, la producción aumentará en 3 kilos de palta por árbol, puesto que una densificación arbórea muy alta implica un estrecho contacto físico entre las ramas y hojas de los árboles, aumentando la posibilidad de que las plagas se transmitan en forma directa y vertiginosa, como asimismo la estrecha proximidad entre los árboles implica que sus raíces también se encuentren muy próximas, las cuales compiten por el agua del subsuelo, originando el reverdecer de un árbol contra la desecación del otro. Ahora, considerando que cada árbol infantil cuesta 100 dólares, entonces:

a) Minimice el costo

b) Maximice las utilidades considerando que cada kilo de palta se vende en 2 dólares

| 200(arb)-1(arb)/1(amp * x(amp) | 300(kg/a)+3(kg/a)/1(amp)*x(amp) |fo=(200-x)(a)(300+3x)(kg/a) | fo=6*10⁴+300x-3x²(kg) gradiente | d/dx fo= 300-6x , x=50, fo(50)=67.500 kg | A) 200-X=200-50=150 | B) 300+3X=300+3*50=450 KG/A

VENTANA

Una ventana termina en una semicircunferencia como muestra el dibujo. Ahora, para obtener la máxima luminosidad natural, se requiere que la ventana tenga la mayor superficie posible, considerando eso sí de que sólo se disponen de 16 metros lineales de hierro para formar el marco

| (10y+18x)($) s.a 3*x*y=1000(m2) lagrange |  fo=b(m)*h(m) + 1/2π*b2(m2) | 2h(m)+b(m)+π (b/2)(m)=16(m)

CERCA

Se quiere cercar 1.000 metros cuadrados divididos en tres lotes iguales, como se muestra en el dibujo. Si el metro lineal de cerca interior cuesta 2 dólares y el metro lineal de la cerca exterior cuesta 3 dólares, entonces ¿cuáles son las dimensiones de los lotes que produce la cerca más económica?

fo=(2y+6x)(m)*3($/m) + 2y(m)*2($/m) | fo=(10y+18x)($) | 3(lote) x(m)y(m)/1(lote)=1000 (m2) | y(m) 3($/m) exterior,  x(m) 2($/m) interior

PRODUCTO QUÍMICO

Un comerciante puede comprar hasta 17,25 kilos de un producto químico, a un precio igual a 10 dólares por cada kilo. Se puede transformar, a un costo de 3 dólares por cada kilo, un kilo del producto químico en un kilo del producto I. Asimismo, un kilo del producto químico se puede transformar, a un costo de 5 dólares por cada kilo, en un kilo del producto II. Si se producen X1 kilos del producto I, este se venderá a un precio de (30 – X1) dólares el kilo, mientras que si se producen X2 kilos del producto II, este se venderá a un precio de (50 – X2) dólares el kilo. Siendo las variables de decisión iguales a X1 y X2 kilos producidos y vendidos, de los productos I y II respectivamente, determine, mediante el método de Karush-Kuhnt-Tucker, la manera cómo el comerciante puede maximizar sus ganancias.

R | X1(kg), X2(kg) | 1(kgq/kg)*x1+ 1(kgq/kg)/x2(kg) s.a (x1+x2)(kgq)costos 3($/kg)*x1+ 5($/kg)*x2 | kgq=kilo de producto químico | x1 (kg)* (30-x1)($/kg) + x2kg*(50-x2)($/kg) – (3×1+5×2)($) | Ue=30×1-x1²+50×2-x²-3×1-5×2-(x1+x2) | Ue=-x1²-x2²+27×1+45×2-(x1+x2)(kgq)*10($/kgq) s.a (x1+x2)(kgq)

FÁBRICA DE PLÁSTICOS

Una fábrica de plásticos recibe de la alcaldía de la ciudad un pedido de 8.000 tablas flotadoras para el programa de natación del verano. La fábrica posee 10 máquinas, cada una de las cuales produce 50 tablas por hora. El costo de preparar las máquinas para hacer el trabajo es de 800 dólares por máquina. Una vez que las máquinas están preparadas, la operación es automática y pueden ser supervisadas por una sola persona que gana 35 dólares por hora. Ahora, ¿cuántas máquinas hay que usar para minimizar el costo de producción?

R 8000(tabla) | Y

EDIFICIO DE DEPARTAMENTOS

El propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones, puede arrendarlas todas si fija un arriendo mensual de 200 dólares por habitación. Con un arriendo más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento del arriendo en 5 dólares, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de arrendarse. ¿Qué valor de arriendo mensual maximizaría el ingreso total?

R 200($/p-mes) + 5($/p-mes)/1(na)* x(na) | 60(p)-1(p)/1(na)*x(na) | fo=(200+5x)($/p-mes)(60-x)(p) s.a xK2T

REPASO K2T

LAGRANGE

ZIRCONIO

Una compañía puede comprar hasta 6000 kilos de Zirconio (Zr), a un precio igual a 6,4 dólares el kilo. El Zirconio puede ser utilizado para fabricar filamentos para flashes o para fabricar material abrasivo para pulir superficies metálicas. Se requieren 5,2 kilos de Zirconio y 9,4 dólares para obtener un filamento, el cual pesa 0,2 kilos. Asimismo se requieren 2,2 kilos de Zirconio y 4,8 dólares para obtener 0,5 metro cúbico de material abrasivo, el cual (el metro cúbico) pesa 1,5 kilos. Los precios de venta son (34-XF) (USD/Kg) de filamento y (30-XA) (USD/Kg) de abrasivo. Mediante Karush-Kuhn-Tucker, optimice las utilidades económicas de la compañía.