Independencia de Sucesos

Dados dos sucesos A y B con las siguientes probabilidades:

P[A‘] = 0,48          P[A È B] = 0,82          P[B] = 0,42

a) ¿Son A y B independientes?

b) ¿Cuánto vale P[A / B]?

Solución:

a) Primero, calculamos P[A]:

P[A‘] = 1- P[A] = 0,48   ®   P[A] = 0,52

Luego, calculamos P[A Ç B]:

    P[A È B] = P[A] + P[B] – P[A Ç B]   ®   0,82 = 0,52 + 0,42 – P[A Ç B]

®   P[A Ç B] = 0,12

Comprobamos si A y B son independientes:

P[A] · P[B] = 0,52 · 0,42 = 0,2184

Como P[A Ç B] ≠ P[A] · P[B], los sucesos A y B no son independientes.

b) Calculamos la probabilidad condicional P[A / B]:

P[A / B] = P[A Ç B] / P[B] = 0,12 / 0,42 ≈ 0,2857

Probabilidad de Elegir el Mismo Número

a)  Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

b)  Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?

Solución:

a) Suponemos que la primera persona ya ha elegido un número. La probabilidad de que la segunda persona elija el mismo número es 1/5.

b) Suponemos que las dos primeras personas ya han elegido el mismo número. La probabilidad de que la tercera persona elija el mismo número es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es (1/5) * (1/5) = 1/25.

Probabilidad con Baraja Española

Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:

a)  Las dos de oros.                      b)  Una de copas u otra de oros.

c)  Al menos una de oros.            d)  La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P(Dos oros) = (10/40) * (9/39) = 3/52

b) P(Una de copas u otra de oros) = P(Copas y Oros) + P(Oros y Copas) = (10/40)*(10/39) + (10/40)*(10/39) = 5/39

c) P(Al menos una de oros) = 1 – P(Ninguna de oros) = 1 – (30/40)*(29/39) = 19/52

d) P(Primera de copas y segunda de oro) = (10/40) * (10/39) = 5/78

Probabilidad de Conocer Temas de Oposición

En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?

Solución:

Calculamos la probabilidad de que el opositor no sepa ninguno de los tres temas y luego usamos el complemento:

P(No sabe ninguno) = (50/85) * (49/84) * (48/83) ≈ 0,198

P(Sabe al menos uno) = 1 – P(No sabe ninguno) ≈ 1 – 0,198 = 0,802

Probabilidad de Números Diferentes

Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Suponemos que la primera persona ya ha elegido un número. La probabilidad de que la segunda persona elija un número diferente es 9/10.

Probabilidad de Cartas en Sobres Correspondientes

Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al azar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?

Solución:

Hay 6 posibles ordenaciones de las cartas en los sobres. De estas, solo 2 ordenaciones tienen todas las cartas en sobres incorrectos. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una carta esté en el sobre correcto es 1 – (2/6) = 2/3.

Probabilidad de Audiencia de Programas de Televisión

En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?

c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?

Solución:

a) P(Película y Debate) = (1150/2500) = 23/50

b) P(Película | No Debate) = (950/1000) = 19/20

c) P(Debate | Película) = (1150/2100) = 23/42

Probabilidad de Aprobados en Matemáticas e Inglés

En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.

Elegimos al azar un alumno de esa clase:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?

b) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?

c) ¿Son independientes los sucesos «Aprobar matemáticas» y «Aprobar inglés»?

Solución:

a) P(Inglés y Matemáticas) = (8/30) = 4/15

b) P(Inglés | Matemáticas) = (8/18) = 4/9

c) Los sucesos no son independientes porque P(Inglés | Matemáticas) ≠ P(Inglés).

Probabilidad de Idiomas en un Viaje

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución:

a) P(Inglés È Francés) = (48/120) + (36/120) – (12/120) = 7/10

b) P(Francés | Inglés) = (12/48) = 1/4

c) P(Solo Francés) = (24/120) = 1/5

Probabilidad de Género y Tenis

En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven  de esa localidad al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?

b) Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?

Solución:

a) P(Chico) = (55/100) = 11/20

b) P(Chica | Tenis) = (35/75) = 7/15

c) P(Chico y No Tenis) = (15/100) = 3/20

Probabilidad de Gustos de Lectura y Televisión

Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

– A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

– A 92 personas les gusta leer.

– A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Solución:

a) P(No Tele) = (73/120)

b) P(Leer | Tele) = (32/47)

c) P(Leer) = (92/120) = 23/30

Probabilidad con Urnas y Moneda

Una urna,  A,  contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna,  B,  hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna  A  y, si sale cruz, la extraemos de  B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna  A?

Solución:

a) P(Par) = P(Cara) * P(Par | A) + P(Cruz) * P(Par | B) = (1/2)*(3/7) + (1/2)*(2/5) = 29/70

b) P(A | Par) = (P(Cara) * P(Par | A)) / P(Par) = ((1/2)*(3/7)) / (29/70) = 15/29

Probabilidad con Bolsas y Dado

Una bola bolsa,  A,  contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa,  B,  contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa  A;  y si no sale un uno, la extraemos de   B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja?

b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de  A?

Solución:

a) P(Roja) = P(1) * P(Roja | A) + P(No 1) * P(Roja | B) = (1/6)*(3/8) + (5/6)*(6/10) = 1/2

b) P(A | Roja) = (P(1) * P(Roja | A)) / P(Roja) = ((1/6)*(3/8)) / (1/2) = 1/8

Probabilidad con Urnas y Bolas de Colores

Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?

Solución:

a) P(Blanca) = P(Urna 1) * P(Blanca | Urna 1) + P(Urna 2) * P(Blanca | Urna 2) = (1/2)*(3/10) + (1/2)*(3/8) = 9/40

b) P(Urna 1 | Blanca) = (P(Urna 1) * P(Blanca | Urna 1)) / P(Blanca) = ((1/2)*(3/10)) / (9/40) = 2/3

Probabilidad con Bolsas y Bolas Blancas y Rojas

Tenemos dos bolsas,  A  y  B.  En la bolsa  A  hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa  B  hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de  A  y la pasamos a  B.  Después extraemos una bola de  B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de  B  sea blanca?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

Solución:

a) P(Blanca de B) = P(Blanca de A) * P(Blanca de B | Blanca de A) + P(Roja de A) * P(Blanca de B | Roja de A) = (3/10)*(7/9) + (7/10)*(6/9) = 7/10

b) P(Dos blancas) = P(Blanca de A) * P(Blanca de B | Blanca de A) = (3/10)*(7/9) = 7/30

Probabilidad de Enfermedad y Prueba de Diagnóstico

El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?

b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?

Solución:

a) P(Enfermo y Positiva) = P(Enfermo) * P(Positiva | Enfermo) = 0,01 * 0,97 = 0,0097

b) P(Enfermo | Positiva) = (P(Enfermo) * P(Positiva | Enfermo)) / P(Positiva) = 0,0097 / (0,0097 + 0,0196) ≈ 0,3322