Distribución Normal: Campana de Gauss
Las curvas de la imagen 1 se llaman campana de Gauss y dependen de dos números que se designan por las letras griegas μ y σ. El primero (μ) puede ser cualquier número real y el segundo (σ) cualquier número real positivo.
Cada campana de Gauss tiene las siguientes propiedades:
- Todos sus puntos están por encima del eje de abscisas.
- Es simétrica con respecto a la recta vertical x = μ.
- El área de la región encerrada entre ella y el eje de abscisas es 1.
Distribución Normal
Imagen 2
En las imágenes 2 y 3 está dibujada una campana de Gauss y sombreada una parte de la región encerrada entre ella y el eje de abscisas. En lo que sigue, nos referiremos al área de la parte sombreada en la imagen 2 como A(-∞, x) y al área de la parte sombreada en la imagen 3 como A(x, +∞).
Img. 3
Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ cuando la probabilidad de que su valor sea menor o igual que un número x es el área A(-∞, x) de la campana de Gauss correspondiente a la pareja de números (μ, σ).
Otra forma de decir que la variable aleatoria X «sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ» es decir que «sigue una distribución normal μ, σ» o que «sigue una distribución N(μ, σ)«.
Cálculo de Probabilidades Cuando X Sigue una Distribución N(0, 1)
Estas probabilidades se calculan basándose en una tabla en la que figura las probabilidades de que el valor X sea menor o igual que un número positivo.
1) Cálculo de la probabilidad de que el valor de X sea «menor» o «menor o igual» que un número positivo.
La probabilidad de que el valor de X sea menor o igual que 2,47 es el número de la tabla situado en el cruce de la fila 2.4 y de la columna 0.07:
p(X ≤ 2,47) = 0.9932
La probabilidad de que el valor de X sea menor que 2,47 coincide con la probabilidad de que X sea menor o igual que 2,47:
p(X < 2,47) = p(X ≤ 2,47)
2) Cálculo de la probabilidad de que el valor de X sea «mayor» o «mayor o igual» que un número positivo.
p(X > 0,23) = 1 – p(X ≤ 0,23) = 1 – 0,5910 = 0.4090
p(X ≥ 0,23) = p(X > 0,23) = 0.4090
3) Cálculo de la probabilidad de que el valor de X sea «menor» o «menor o igual» que un número negativo.
Para estos cálculos se utilizan el hecho de que la campana de Gauss correspondiente a la pareja de números (0, 1) es simétrica con respecto al eje de ordenadas y que de esa simetría, tal y como se ve en la imagen 4, se deduce que las áreas A(-∞, –x) y A(X, +∞), son iguales: p(X ≤ -2,47) = A(-∞,-2,47) = A(2,47, +∞) = 1 – A(-∞,2,47) = 1 – p(X ≤ 2,47) = 1 – 0,9932 = 0,0068
p(X < -2,47) = p(X ≤ -2,47)
4) Cálculo de la probabilidad de que el valor X sea «mayor» o «mayor o igual» que un número negativo.
p(X > -0,23) = 1 – p(X ≤ -0,23) = 1 – A(-∞, -0,23) = 1 – A(0,23 , +∞) = A(-∞, 0,23) = p(X ≤ 0,23) = 0,5910
p(X ≥ -0,23) = p(X > -0,23) = 0,5910
5) Cálculo de la probabilidad de que el valor de X esté entre 2 valores.
p(-1,56 < X ≤ 0,23) = p(X ≤ 0,23) – p(X ≤ -1,56) = 0,5910 – A(-∞, -1,56) = 0,5910 – A(1,56, +∞) = 0,5910 – (1 – A(-∞, 1,56)) = 0,5910 – 1 + A(-∞, 1,56) = -0,4090 + p(X ≤ 1,56) = -0,4090 + 0,9406 = 0,5316
p(-1,56 < X < 0,23) = p(-1,56 < X ≤ 0,23) = 0,5316
p(-1,56 ≤ X < 0,23) = p(-1,56 < X ≤ 0,23) = 0,5316
p(-1,56 ≤ X ≤ 0,23) = p(-1,56 < X ≤ 0,23) = 0,5316
Cálculo de Probabilidades Cuando X Sigue Otra Distribución Normal
En este caso se utiliza la siguiente propiedad de las distribuciones normales:
Si X sigue una distribución N(μ, σ), Z = sigue una distribución N(0, 1).
Veamos con unos ejemplos cómo se utiliza esta propiedad. Ejemplos:
1) Calcula p(X ≤ 8,98) teniendo en cuenta que X sigue una distribución normal 6, 2.
Como X sigue una distribución N(6, 2), Z = sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 1.
p(X ≤ 8,98) = p( ≤ ) = p(Z ≤ 1,49)
Y como Z sigue una distribución N(0, 1), p(Z ≤ 1,49) se encuentra en la tabla:
p(X ≤ 8,98) = p(Z ≤ 1,49) = 0,9319
2) Sabiendo que X sigue una distribución N(110, 10), calcula p(X > 105).
Como X sigue una distribución normal de media 110 y desviación típica 10, Z = sigue una distribución normal 0, 1.
p(X > 105) = p( > ) = p(Z > -0,5) = 1 – p(Z ≤ -0,5) = 1 – A(-∞, -0,5) = 1 – A(0,5, +∞) = A(-∞, 0,5) = p(Z ≤ 0,5) = 0,6915
3) Los kilogramos de peso de los soldados de un reemplazo siguen una distribución normal. La media de la distribución es de 66 kilogramos y la desviación típica de 8 kilogramos. Calcula la probabilidad de que el peso de uno de los soldados esté entre 50 y 60 kilogramos. Si representamos por X el peso en kilogramos de un soldado, X sigue una distribución N(66, 8). Entonces
Z = sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 1.
p(50 ≤ X ≤ 60) = p(50 < X ≤ 60) = p(X ≤ 60) – p(X ≤ 50) = p( ≤ ) – p( ≤ ) = p(Z ≤ -0,75) – p(Z ≤ -2) = A(-∞ -0,75) – A(-∞ -2) = A(0,75, +∞) – A(2, +∞) = [1 – A(-∞,0,75)] – [1 – A(-∞, 2)] = 1 – p(Z ≤ 0,75) – 1 + p(Z ≤ 2) = – p(Z ≤ 0,75) + p(Z ≤ 2) = – 0,7734 + 0,9772 = 0,2038