Análisis de Probabilidad de Defectos en Televisores
Problema 26: Tiempo de Atención en un Centro de Llamadas
Sea, X: tiempo necesario para atender a los clientes en un teléfono del centro de llamadas
X ~ N (8, 22)
(A) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure menos de 5 minutos?
P (X 1,5) = 1 – P (Z ≤ 1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668
Por lo tanto, la probabilidad de que una llamada dure menos de cinco minutos es 6,68%.
(B) ¿Y más de 9,5 minutos?
P (X > 9,5) = P (Z > (9,5 – 8) / 2) = P (Z > 0,75) = 1 – P (Z ≤ 0,75) = 1 – 0,7734 = 0,2266
Por lo tanto, la probabilidad de que una llamada dure más de 9,5 minutos es 22,66%.
(C) ¿Y entre 7 y 10 minutos?
P (7
P (Z 0,5) = P (Z Así que la probabilidad de que una llamada dure entre 7 y 10 minutos es 53,28%.
(D) 75% de las llamadas de atención requieren por lo menos ¿cuánto tiempo?
P (X > x) = 0.75 => P (Z > (x-8) / 2) = 0,75
x es tal que A(-(x-8) / 2) = 0,75
Así
-(x-8)/2 = 0.67 => x = 8 – 0.67 * 2 = 6.66
Por lo tanto, el 75% de las llamadas requieren por lo menos 6,66 minutos de tratamiento.
Problema 27: Clasificación de Conejos por Peso
Sea, X: El peso de conejos criados en una granja
X ~ N (5, 0,92)
Clasificación matadero
15% | 50% | 20% | 15%
X1 X2 X3
Es,
x1 el valor del peso que separa el 15% más ligero que en otros,
x2 el valor de peso que separa el 65% más ligero que en otros,
x3 el valor del peso que separa el 85% más ligero que el resto.
P (X 1) = 0,15 => P (Z 1-5) / 0,9) = 0,15 => (x1-5) / 0,9 = -1.04 => x1 = 5 -1.04 * 0.9 = 4,06 kg
P (X 2) = 0,65 => P (Z 2-5) / 0,9) = 0,65 => (x2-5) / 0,9 = 0,39 => x2 = 5 + 0.39 * 0.9 = 5,35 kg
P (X 3) = 0,85 => P (Z 3-5) / 0,9) = 0,85 => (x3-5) / 0,9 = 1,04 => x3 = 5 + 1,04 * 0.9 = 5,94 kg
Así que tenemos de los límites de los pesos por cada clasificación es la siguiente:
Son conejos pequeños que tienen un peso inferior a x1, es decir, X
Medianos son los conejos que tienen un peso entre x1 y x2, es decir, 4,06 kg Grandes son los conejos que tienen un peso entre x2 y x3, o 5,35 kg Los extra grandes son los conejos que son más pesados que x3, o X > 5,94 kg
Problema 28: Volumen de Líquido en Botellas
Sea, X: el volumen promedio de líquido en cada botella.
X ~ N (1000, 102)
(A) ¿Qué porcentaje de las botellas que el volumen de líquido es inferior a 990 cm3?
P (X 1) = 1 – P (Z ≤ 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587
Por lo tanto, el 15,87% del volumen de las botellas de líquido es inferior a 990 cm3.
(B) ¿Qué porcentaje de las botellas cuando el volumen de líquido no se desvía de la media en más de dos desviaciones estándar?
σ2 = 102 = 100
μ – 2σ = 1000 – 2 * 10 = 980 y μ + 2σ = 1000 + 2 * 10 = 1020.
P (980
P (Z 2) = P (Z ≤ 2) – [1 – P (Z ≤ 2)] = 2 * P (Z ≤ 2) – 1 = 2 * 0,9772 – 1 = 0,9544 ≈ 95%
Por lo tanto, aproximadamente el 95% de las botellas, el volumen de líquido no se desvía de la media en más de dos desviaciones estándar.
(C) Si el 10 botellas son seleccionados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 tienen el volumen de líquido superior a 1002 cm3?
P (X > 1002) = P (Z > (1002 – 1000) / 10) = P (Z > 0,2) = 1 – P (Z ≤ 0,2) = 1 – 0,5793 = 0,4207
Considere la posibilidad de Q (X > 1002) = P (éxito) = p = 0,4207.
Y es el número de botellas, de las 10 seleccionadas al azar, con un volumen de líquido superior a 1002 cm3.
Y ~ B (10, 0.4207)
es decir, la variable aleatoria Y tiene una distribución binomial con parámetros n = 10 y p = 0,4207.
La función de probabilidad de variable aleatoria Y se puede obtener a través de los comandos de Minitab:
MTB > pdf;
SUBC > 0,4207 Bino 10.
Obtenemos el siguiente resultado:
Función de densidad
Binomial con n = 10 y p = 0,420700
x P(X = x)
0 0.0043
1 0,0309
2 0,1010
3 0,1956
4 0,2486
5 0,2167
6 0.1311
7 0.0544
8 0,0148
9 0.0024
10 .0002
Por lo tanto, la probabilidad de que un máximo de 4 botellas tienen un volumen de líquido superior a 1002 cm3 es igual a:
P (Y ≤ 4) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4) =
= 0,0043 + 0,0309 + 0,1010 + 0,1956 + 0,2486 = 0,5804.
Por lo tanto, la probabilidad de que un máximo de 4 botellas tienen un volumen de líquido superior a 1002 cm3 es 58,04%.
(D) Si las botellas están siendo seleccionados para aparecer con un volumen de líquido superior a 1005 cm3, que es la probabilidad de tener que seleccionar por lo menos 5 cilindros?
Es,
P = P (éxito) = P (X > 1005) = P (Z > (1005-1000)/10) = P (Z > 0,5) = 1 – P (Z ≤ 0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085.
(1-p) = P (fracaso) = P (X ≤ 1005) = 1 – 0.3085 = 0.6915.
T es el número de botellas seleccionadas para aparecer con un volumen de líquido superior a 1005 cm3.
P (T ≥ 5) = 1 – P (T
Tenemos:
P (T = 1) = 0,3085 = p
P (T = 2) = (1-p) * p = 0.6915 * 0.3085 = 0.2133
P (T = 3) = (1-p) * (1-p) * p = 0.69152 * 0.3085 = 0.1475
P (T = 4) = (1-p) * (1-p) * (1-p) * p = 0.69153 * 0.3085 = 0.1020
Por lo tanto,
P (T ≥ 5) = 1 – P (T = 1 – (0,3085 + 0,2133 + 0,1475 + 0,1020) = 1 – 0.7713 = 0.2287
La probabilidad de tener que seleccionar por lo menos cinco botellas es 22,87%.
Problema 29: Análisis de Rentabilidad de Televisores
Sea,
XA: Tiempo de aparición de algún defecto grave en los televisores de tipo A
XB: Tiempo de aparición de algún defecto grave en los televisores de tipo B
XA ~ N (10, 22) IngresosA: 1200, PérdidaA: 2500
XB ~ N (11, 32) IngresosB: 2100, PérdidaB: 7000
(A) Calcular las probabilidades de tener televisores en la restitución de tipo A y tipo B.
P (Devolución de A) = P (XA P (Devolución de B) = P (XB
La probabilidad de devolución en los televisores de tipo A y tipo B, respectivamente, son 2,28% y 4,75%.
(B) Calcular la ganancia media para el tipo de televisores A y tipo B televisores.
P (No hay devolución de A) = 1 – P (Devolución de A) = 1 – 0.0228 = 0.9772
P (No hay devolución de B) = 1 – P (Devolución de B) = 1 – 0.0475 = 0.9525
Beneficio promedio de A = 1200 * 0.9772 – 2500 * 0.0228 = 1115,64
Beneficio promedio de B = 2100 * 0.9525 – 7000 * 0.0475 = 1667,75
(C) Con base en los resultados medios, la empresa debe fomentar las ventas de aparatos de tipo A o tipo B?
La empresa debe fomentar las ventas de equipos del tipo B ya que el beneficio medio de B es mayor que la ganancia media de A.