Dominio, Recorrido y Propiedades de las Funciones

Dominio (Dom f): Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.

Recorrido (Im f): Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Propiedades de las funciones:

Puntos de corte con el eje X: de la forma (a,0), donde el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f(x)=0.
Puntos de corte con el eje Y: de la forma (0,b), donde el valor de b se obtiene hallando f(0).
Continuidad: Si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Los puntos donde se interrumpe la gráfica son puntos de discontinuidad de la función.
Crecimiento y decrecimiento: Dada la función f(x), definida en el intervalo (a,b), si para cualquier par de puntos del intervalo (x₁,x₂), tales que x₁<>₂, se cumple que:

la función es creciente en el intervalo (a,b).

la función es decreciente en el intervalo (a,b).

la función es constante en el intervalo (a,b).

Máximo: en x=a cuando en ese punto pasa de ser creciente a decreciente.
Mínimo: en x=a si en ese punto pasa de ser decreciente a creciente.
Simetría: En la función se distinguen dos tipos de simetrías:

Función simétrica respecto del eje Y: Una función es simétrica respecto del eje Y cuando f(-x)= f(x). Este tipo de función se llama función par.

Función simétrica respecto del origen: Una función es simétrica respecto del origen cuando f(-x)= -f(x). Este tipo de función se llama función impar.

Periodicidad: Cuando los valores de y se repiten cada cierto intervalo. La amplitud, T, del intervalo es el período. F(x)= f(x+T) = F(x+2T)=…= f(x+k . T) siendo K un número entero.

Funciones racionales:

Funciones del tipo y=k/x-a: Las gráficas de las funciones racionales de la forma y= k/x-a son hipérbolas que se obtienen trasladando la gráfica de la función de proporcionalidad inversa y= k/x. En estas hipérbolas, el nuevo eje vertical es x=a. Se obtiene trasladando el eje x=0 a unidades a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo de a. En el eje horizontal es el mismo, y=0.

Funciones del tipo y=(k/x-a)+b. Las gráficas de las funciones racionales de la forma y= (k/x-a)+b son hipérbolas que se obtienen trasladando la gráfica de la función racional de la forma y=k/x-a. En estas hipérbolas, el nuevo eje vertical es x=a. Se obtiene trasladando el eje x=0, a unidades a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo de a. El nuevo eje horizontal, y =b, se obtiene trasladando el eje de ordenadas, y=0, hacia arriba o hacia abajo, según sea el signo de b.

Funciones exponenciales. Aplicaciones.

Función polinómica: es una función cuya expresión algebraica es un polinomio.

Funciones polinómicas de primer grado:

Son funciones de la forma f(x)= mx +n, y su gráfica es una recta, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

Funciones polinómicas de segundo grado:

Son funciones cuya expresión algebraica es de la forma f(x)= ax²+bx+c, con a = 0. Su gráfica es una curva con dos ramas, una creciente y otra decreciente, que se llama parábola. Las funciones polinómicas de segundo grado son continuas en todo R. Una parábola tiene estos elementos y características:

Vértice: es el punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa.
Eje de simetría: es una recta que pasa por el vértice, y es paralela al eje Y, que divide a la curva en dos partes simétricas. Si a>0, las ramas de la parábola van hacia arriba, si b<0, van hacia abajo. Cuanto mayor sea a, más cerradas estarán sus ramas.
Funciones del tipo y = ax²: El vértice de las parábolas del tipo y = ax² es el punto (0,0) y su eje de simetría es el eje Y.
Funciones del tipo y=ax²+bx: Las parábolas del tipo y=ax²+bx se obtienen trasladando de forma oblicua la parábola y = ax². El punto (-b/2a,-b/4a) es su vértice y x=-b/2ª es su eje de simetría.
Funciones del tipo y= ax²+bx+c: En cualquier parábola se cumple que: Su vértice es el punto (-b/2a,-b+4ac/4a). Si b=0, su eje de simetría es la recta x=-b/2ª. Si a y b tiene el mismo signo, el vértice está situado a la izquierda del eje Y. Si tienen distinto signo, el vértice está a la derecha.

Funciones de proporcionalidad inversa:

Relación dos magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión es de la forma y= k/x, con k= 0, donde k es la constante de proporcionalidad inversa de y respecto de x. La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva que se llama hipérbola.

Características de las funciones de proporcionalidad inversa:

El dominio lo forman todos los números reales menos el 0.
La función no es continua en x=0.
La gráfica no corta a los ejes de coordenadas.
A medida que x se acerca a cero, y toma valores cada vez mayores. Decimos que la gráfica tiene una asíntota vertical en x=0.
A medida que los valores de x crecen o decrecen, la función se acerca a y=0. Decimos que la gráfica tiene una asíntota horizontal en y=0.
La función y=k/x es simétrica respecto del origen de coordenadas. Si k>0, la función es decreciente y la gráfica está situada en los cuadrantes 1º y 3º. Y si k<0, la función es creciente y la gráfica está situada en los cuadrantes 2º y 4º.

Función exponencial:

Es una función de la forma f(x)=a^x donde a es un número real positivo (a>0) y distinto de 1 (a=1). La función exponencial f(x) = a^x verifica que:

La imagen de 0 siempre vale 1: f(0)=a⁰=1.
La imagen de 1 siempre vale a: f(1)=a¹=a.
La función es siempre creciente si a>1.
La función es siempre decreciente si a <1.

Funciones del tipo y = a^k.x.

La función de la forma y= a^k.x, con k un número distinto de 0, son de tipo exponencial donde la base es a^k. y=a^k.x= (a^k)^x.

Otras funciones exponenciales:

Las funciones Y=a^x+b, cuya gráfica se obtiene trasladando la gráfica de y=a^x en b unidades hacia arriba si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si es negativo.
Las funciones y=a^(x+b), cuya gráfica se obtiene trasladando la gráfica de y=a^x en b unidades hacia la izquierda si es positivo, y en b unidades hacia la derecha si es negativo.