Funciones como Vectores

Funciones como Vectores en un Espacio Vectorial

Las funciones pueden ser consideradas como vectores en un espacio vectorial. Los valores de la función en diferentes puntos actúan como coordenadas, o los coeficientes de expansión de la función en una base, formando los componentes del vector a lo largo de los ejes de coordenadas en el espacio correspondiente.

Hermitiana Adjunto

El adjunto hermitiano de un vector o una matriz es el complejo conjugado de la transpuesta del vector o matriz. La hermitiana adjunta de la matriz A se escribe como Â^†.

Dirac Bra-Ket Notación

│f›, llamado «ket», representa el vector de la función f en el espacio. El hermitiano adjunto de este vector es «bra», ‹f│.

Producto Interno

El producto interno en el espacio de funciones de dos funciones f y g es el producto vectorial f x g, que generalmente es un número complejo. Tenemos:

(f, g) = ‹f│g›

El producto interno de un vector consigo mismo da el cuadrado de su longitud y siempre resulta una cantidad real. El producto interno es lineal en las sumas de funciones y en la multiplicación de funciones por constantes.

Vectores de Estado

Cuando una función f representa el estado de la mecánica cuántica de un sistema, el vector f se conoce como el vector de estado del sistema.

Vector (o Función) de Espacio

Un espacio vectorial o de función es un espacio matemático que contiene los vectores que representan las funciones existentes.

Espacio de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto interno. Es similar a un espacio geométrico convencional de tres dimensiones, con dos diferencias importantes:

• El espacio puede tener cualquier número de dimensiones, incluyendo un número infinito.
• Debido a que los coeficientes pueden ser complejos en el espacio de Hilbert, el producto interno es generalmente complejo.

Es un espacio vectorial adecuado para representar vectores que son lineales en la adición y en la multiplicación por una constante.

Operadores

Un operador es una entidad que transforma una función en otra. El valor de la nueva función en cualquier punto depende de los valores de la función original sobre cualquiera de los valores de su argumento o argumentos.

Operadores Lineales

Los operadores lineales son lineales tanto en la adición de funciones como en la multiplicación por una constante. Los operadores lineales pueden ser representados por matrices que operan sobre los vectores en el espacio de funciones y que obedecen a las mismas reglas del álgebra matricial.

Elementos de la Representación Matricial de un Operador

Para una matriz que representa un operador lineal en el espacio de Hilbert, los elementos de la matriz se representan en la base ψ_n como:

A_ij = ‹ψ_i│A│ψ_j›

Rastro de un Operador

El rastro de un operador A, escrito como tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal de un operador. Es independiente de la base en la que se expresa el operador.

Operadores Unitarios que Cambian el Vector de Estado

Los operadores unitarios que representan procesos físicos pueden cambiar el vector de estado del sistema de la mecánica cuántica. Son útiles para representar procesos de la mecánica cuántica, como la evolución temporal del estado de una partícula, en la que la partícula se conserva (y por lo tanto, la longitud del vector de estado es constante).

Degeneración

Si hay múltiples funciones propias que corresponden a un valor propio particular, esta condición se conoce como «degeneración». El número de tales funciones propias es la «degeneración».

Propiedades de los Operadores Hermitianos

Para los operadores hermitianos en mecánica cuántica:

• Los valores propios son reales.
• Las funciones propias que corresponden a valores propios diferentes son ortogonales.
• La degeneración de los valores propios finitos dados es finita.
• El conjunto de funciones propias de un operador hermitiano es completo.
• Los elementos diagonales son reales.

Para funciones arbitrarias f y g, tenemos, para un operador hermitiano M:

(f, Mg) = (Mf, g) = ‹f│M│g› = ‹g│M│f›˚

Condiciones de Frontera Periódicas

Un conjunto de condiciones de contorno utilizadas en mecánica cuántica por conveniencia matemática son las condiciones de frontera periódicas para una caja de longitud L. En estas condiciones, la función debe ser la misma en un punto z = L que en el punto z = 0.

Se utilizan a menudo cuando las funciones de interés son exponenciales de ondas planas. En este caso, se implica:

exp(ikz) = exp[ik(z + L)]

lo que lleva a la condición:

k = 2mπ/L

y una densidad de estados:

g = L/2π

Estas condiciones de contorno, aunque a menudo no del todo correctas físicamente, permiten el uso de funciones exponenciales, en lugar de senos o cosenos, al considerar cajas de tamaño finito, y pueden simplificar las matemáticas.

Posición de las Eigenfunciones

: Las funciones propias de la posición z son las funciones delta δ(z-Z₀) para cada posible valor de z₀. Estas funciones propias se normalizan a una función delta.                  Expansión en funciones propias posición: Una de las funciones ɸ(z) de posición, esta en su propio conjunto de coeficientes de expansión en la expansión de las funciones propias.                 Los operadores de los desplazamientos y las funciones propias: Los operadores que comparten a la vez el mismo conjunto de funciones propias, y los operadores que comparten a la vez el mismo conjunto de funciones propias.