1. Introducción

Este documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, abarcando desde las operaciones básicas hasta conceptos como el orden y el valor absoluto.

2. Axiomas de los Números Reales

2.1 Propiedades de la Suma

1. Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
2. Existencia del cero: 0 + a = a
3. Existencia de opuestos: Para cada a ∈ R existe -a ∈ R tal que -a + a = 0
4. Conmutativa: a + b = b + a

2.2 Propiedades del Producto

1. Asociativa: a(bc) = (ab)c
2. Existencia de la unidad: 1a = a
3. Conmutativa: ab = ba
4. Distributiva: a(b + c) = ab + ac
5. Existencia de inversos: Para cada a ∈ R (a ≠ 0), existe a⁻¹ ∈ R tal que a⁻¹a = 1

2.3 Propiedades del Orden

Existe un subconjunto P ⊂ R (números positivos, R+) tal que:

1. Cerrado para sumas y productos: a, b ∈ P ⇒ a + b ∈ P y ab ∈ P
2. Ley de Tricotomía: Para cada a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes: a ∈ P, a = 0, o -a ∈ P
3. Ley del Supremo: Cada subconjunto no vacío A ⊆ R acotado superiormente tiene un supremo.

3. Definición de Orden

a < b o b > a indica que b – a ∈ R⁺.

a ≤ b o b ≥ a indica que b – a ∈ R₀⁺.

3.1 Lema 1: Orden Total de R

La relación a ≤ b define un orden total en R.

4. Propiedades Algebraicas

4.1 Lema 2: La Unidad es Positiva

0 ≠ 1 = 1² ∈ P

4.2 Corolario 1

0 < 1 y por inducción 0 < n para todo n ∈ N.

4.3 Teorema 1: Propiedad Arquimediana

Para todo a ∈ R, existe un natural n ∈ R tal que a < n.

4.4 Lema 3: Equivalencias para la Cancelativa del Producto

En un anillo conmutativo y unitario, son equivalentes:

1. (a ≠ 0, b ≠ 0) ⇒ ab ≠ 0
2. ab = 0 ⇒ a = 0 o b = 0
3. (ab = ac, a ≠ 0) ⇒ b = c

Estas propiedades son ciertas en R.

5. R como Cuerpo Ordenado

5.1 Teorema 2: R es un Cuerpo Ordenado

Para a, b, c ∈ R:

1. Si a < b entonces a + c < b + c
2. Si a < b y 0 < c entonces ac < bc

5.2 Lema 4: Otras Propiedades del Orden

1. Si a < b y c < d entonces ad + bc < ac + bd
2. Si a < b y c < 0 entonces ac > bc
3. Si 0 < a entonces 0 < 1/a
4. Si a y b tienen el mismo signo, entonces a < b equivale a 1/b < 1/a

5.3 Lema 5: Ley del Ínfimo

Cada subconjunto no vacío A ⊂ R acotado inferiormente tiene un ínfimo.

6. Media Aritmética

6.1 Definición 2

M(a, b) = (a + b) / 2 es la media aritmética.

6.2 Lema 6

Para todo ε ∈ R⁺, existe un n ∈ N tal que (b – a) / 2ⁿ < ε.

7. Valor Absoluto

7.1 Definición 3

El valor absoluto de a ∈ R es |a|.

7.2 Lema 7: Desigualdad Triangular

∀ a, b ∈ R, se tiene |a + b| ≤ |a| + |b|.

7.3 Corolario 2

∀ a, c ∈ R, se tiene |c| – |a| ≤ |c – a|.