Movimiento Armónico Simple

Introducción

Todo movimiento que se repite a sí mismo en intervalos de tiempo iguales se llama movimiento periódico. Se define como periodo del movimiento a cada uno de aquellos intervalos iguales en que el movimiento se reproduce nuevamente. Entre los movimientos periódicos, uno de los más interesantes es el movimiento armónico simple (MAS).

Imaginemos un punto P que se mueve sobre una circunferencia de centro O y radio OP, con movimiento uniforme, siendo su velocidad angular ω. Si en cada instante proyectamos el punto P sobre un diámetro fijo de la circunferencia, el movimiento descrito por la proyección Q, sobre el citado diámetro, lo llamaremos, por definición, movimiento armónico simple.

Ecuación del Movimiento Armónico Simple

El Oscilador Armónico. Péndulo

El estudio del oscilador armónico es un capítulo muy importante en física, ya que, a pesar de partir de un modelo mecánico sencillo, como es una partícula material que oscila en el extremo de un resorte, responde a ecuaciones idénticas a las que se aplican en el estudio de fenómenos como el péndulo.

El Oscilador Armónico de Trayectoria Recta

Si colgamos una bolita de un resorte, el muelle se alargará y la fuerza elástica F vendrá compensada por el peso P de la bolita. Si tiramos de ella hacia abajo y la soltamos, observamos un movimiento de abajo a arriba, y así sucesivamente, al que llamamos movimiento oscilatorio.

Con el tiempo, las oscilaciones se debilitan poco a poco (se amortiguan) y al final la bolita se para. El motivo de este amortiguamiento es que sobre la bolita está actuando una fuerza externa, que es la del rozamiento con el aire. Si no existiera este rozamiento, la bolita no se pararía nunca. Esto se denomina oscilaciones libres, ya que son las condiciones ideales.

Si otros cuerpos actúan sobre el oscilador, o lo que es lo mismo, actúan fuerzas externas, entonces decimos que las oscilaciones son forzadas.

El valor de la fuerza elástica que provoca el movimiento (ley de Hooke) es proporcional al desplazamiento (x) y de signo contrario a él: F = -Kx, siendo K la constante recuperadora. Al movimiento provocado por tal fuerza lo llamaremos movimiento vibratorio armónico simple (MAS).

Características del MAS:

1. El movimiento es periódico, es decir, en intervalos de tiempo iguales el móvil adquiere la misma posición y las mismas características de movimiento.
2. El movimiento es oscilatorio o de vaivén a ambos lados de una posición central de equilibrio.
3. La máxima separación del cuerpo en su movimiento (amplitud), contada a partir de su posición de equilibrio, es siempre la misma.

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Energía de una Partícula que posee Movimiento Vibratorio Armónico Simple. Intensidad.

La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima [cos(ωt+g)=1], es decir, cuando el móvil pasa por su posición de equilibrio. [T =1/2mA²ω²].

La fuerza productora del movimiento es central y proporcional a la distancia, por tanto, el punto material m posee una energía potencial igual y de signo contrario al trabajo realizado por tal fuerza, al trasladarse el punto material desde la posición de equilibrio a la posición considerada.

La energía potencial es máxima cuando la elongación lo es [sen(ωt+g)=1], es decir, cuando el móvil está en la posición extrema del trayecto U = 1/2mA²ω².

La energía total es la suma de la cinética y la potencial, en cualquier punto del trayecto. En los puntos de retorno x=A y x=-A, la partícula se detiene e invierte su movimiento.

Se llama intensidad del MAS a la energía cinética media de un periodo.

Péndulo Matemático o Simple

Un péndulo matemático es un punto material que oscila suspendido en un hilo inextensible y sin peso. El péndulo matemático o simple es puramente ideal, por no poderse cumplir exactamente las condiciones de su definición.

Apartamos la partícula m de su posición de equilibrio A y vuelve a ella, por la tendencia de los cuerpos a adquirir la mínima energía potencial. Rebasa la posición A, por inercia, y llega a una posición C, a la misma altura que la B, de la que partió, puesto que la energía potencial en B con respecto a un plano horizontal que pasa por A (mgh), se ha transformado en cinética en A (mv²/2), y esta a su vez, en potencial en C.

La fuerza que actúa sobre la partícula es su peso, que podemos descomponer en dos fuerzas: una F’ en la dirección del hilo, que lo mantiene tirante y que es anulada por la reacción del punto fijo; y la F, tangente a la trayectoria, productora del movimiento, y cuyo valor es F = -mgsenθ, siendo θ igual al ángulo que forma el hilo con la vertical. El signo menos indica que la fuerza es de sentido contrario al desplazamiento angular.

La fuerza F es, pues, variable dependiendo de los diversos valores de θ, el movimiento, en consecuencia, es de aceleración variable con el tiempo.

Péndulo Físico

Un péndulo físico es un cuerpo cualquiera que oscila pendiente de un eje horizontal fijo que no pasa por su centro de masa. Supongamos el cuerpo, que oscila alrededor de un eje perpendicular al plano del papel y pasa por O; el valor del módulo del momento de mg respecto de O. K=Mgd.

Movimiento Vibratorio Armónico Amortiguado

Los movimientos vibratorios armónicos que observamos en la realidad, van disminuyendo su amplitud con el tiempo, debido a los rozamientos del cuerpo que vibra con el medio exterior y al rozamiento interno. Los fenómenos de mayor interés son aquellos en que la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es proporcional a la velocidad (-Rv); tales fuerzas son de origen viscoso, denominándose a la constante de proporcionalidad (R) coeficiente de amortiguamiento. La fuerza productora del movimiento es pues la suma de la fuerza recuperadora (-Kx) y la de rozamiento. (formula)

Amortiguamiento Crítico. Oscilación Sobreamortiguada.

ω = √(K/m – R²/4m²). Clasificación de los movimientos vibratorios amortiguados:

• Movimiento subamortiguado: corresponde a ω>0, y responde al estudio hecho.
• Amortiguamiento crítico: es el correspondiente a ω=0, lo que supone un coeficiente de amortiguamiento R_c.
• Movimiento sobreamortiguado: Si R aumenta por encima de R_c.

Vibraciones Forzadas

Nos proponemos estudiar el caso en el que el oscilador está sometido, además, a una fuerza periódica externa; el trabajo que realiza dicha fuerza externa sobre el sistema aporta una energía desde el exterior, impidiendo que las oscilaciones se amortigüen a pesar de las fuerzas de rozamiento. A las oscilaciones resultantes las llamaremos oscilaciones forzadas.

Supongamos un cuerpo al que apartamos de su posición de equilibrio y está sometido a las siguientes fuerzas:

• Fuerza recuperadora = -Kx.
• Fuerza de rozamiento de tipo viscoso = -Rv.
• Fuerza exterior periódica y variable armónicamente, según la ecuación: F=F₀cosωt en la que F₀ es el máximo valor de la fuerza y ω=2π/T=2π*ν; siendo T y ν el periodo y la frecuencia de variación de tal fuerza.

Z = impedancia mecánica