Cinemática de Fluidos: Sistemas de Referencia y Descripción del Movimiento

La Cinemática es la rama de la Mecánica de Fluidos que describe el movimiento sin analizar las causas que lo producen. El primer paso para estudiar el movimiento de un fluido es definir el sistema de referencia. Este sistema puede ser inercial o no inercial (en cuyo caso se deben considerar fuerzas de inercia) y, según las coordenadas utilizadas, puede ser cartesiano, cilíndrico, esférico, etc.

Una vez elegido el sistema de referencia, cada punto del espacio se define por sus coordenadas. La principal variable, la velocidad v, es un campo función de la posición y el tiempo, y como cualquier vector, se puede descomponer en cada punto según el triedro ortogonal local, cuyas direcciones solo son fijas en el espacio en el caso cartesiano.

Puntos de Vista de Lagrange y Euler

Existen dos enfoques para describir el movimiento de un fluido:

Punto de vista de Lagrange: Se centra en una partícula fluida específica y sigue su evolución en el tiempo. La posición x de la partícula en un instante t depende de su posición inicial x_o: x = x(x_o, t). Este enfoque es útil para analizar la historia de las magnitudes fluidas asociadas a la partícula.

Punto de vista de Euler: Se especifican las magnitudes del campo fluido en puntos fijos del espacio en diferentes instantes. Las coordenadas x y el tiempo t son variables independientes. Este enfoque es generalmente más adecuado en Mecánica de Fluidos, ya que la información no está ligada a una partícula específica.

La velocidad macroscópica del fluido en un punto y en un instante es la que tiene la partícula fluida que, en ese instante, se encuentra en dicho punto. En el enfoque de Euler, la velocidad v(x, t) es una magnitud primaria que se determina mediante las ecuaciones que gobiernan el movimiento. En el enfoque de Lagrange, la posición de la partícula x = x(x_o, t) es la variable principal, y la velocidad se obtiene por derivación:

donde x_o identifica la posición inicial de la partícula.

Tipos de Movimiento: Estacionario y Uniforme

Movimiento estacionario (o permanente): Las magnitudes fluidas no cambian con el tiempo. En un movimiento estacionario, la velocidad sería:

Un movimiento puede ser estacionario en un sistema de referencia y no serlo en otro.

Movimiento uniforme: Las magnitudes fluidas son las mismas en cada instante para todos los puntos del campo fluido. El concepto de uniformidad puede aplicarse a una zona específica del campo, a una sección o a una línea.

Trayectorias, Sendas y Líneas de Traza

Trayectoria

La trayectoria de una partícula fluida es la posición de dicha partícula en función del tiempo. Es la variable principal en el enfoque de Lagrange. En el enfoque de Euler, se obtiene integrando un sistema de ecuaciones diferenciales. En coordenadas cartesianas:

En otros sistemas de coordenadas, la expresión toma la forma:

Sendas

Eliminando el tiempo de las ecuaciones de la trayectoria se obtienen las sendas, que representan el camino recorrido por las partículas fluidas.

Las ecuaciones de las trayectorias son también las de las sendas en forma paramétrica cuando se utiliza el tiempo como parámetro.

Líneas de Traza

Una línea de traza en un instante t está formada por las partículas fluidas que en instantes anteriores τ ≤ t han pasado por un punto dado x_p. Si las trayectorias están dadas por x = x_T[x_o, t], y si τ es el instante en que las partículas pasan por x_p, entonces 0 ≤ τ ≤ t. La posición inicial de las partículas que en el instante τ pasan por x_p se obtiene de la ecuación de las trayectorias, y las líneas de traza se expresan como:

donde τ es el parámetro que indica la partícula que ocupó la posición x_p en el instante τ, anterior al instante t. También se puede eliminar el parámetro τ y expresar las ecuaciones de la línea de traza como:

Líneas, Superficies y Volúmenes Fluidos

Línea Fluida

Una línea fluida es un conjunto de partículas fluidas que evolucionan manteniendo su continuidad como línea. Si x = x_o(λ) es la ecuación paramétrica de la línea en el instante inicial, su ecuación en cualquier otro instante es:

Una línea fluida inicialmente cerrada permanecerá cerrada.

Superficie Fluida

Una superficie fluida es un conjunto de partículas fluidas que evolucionan manteniendo su continuidad como superficie. Si x_o = x_o(α, β) es la ecuación paramétrica de la superficie inicial, la ecuación general de la superficie fluida es:

Volumen Fluido

Si una superficie fluida es inicialmente cerrada, permanecerá cerrada. El fluido encerrado por esta superficie se denomina volumen fluido.

Líneas, Superficies y Tubos de Corriente

Utilizando el concepto de campo de velocidades en un instante dado, se pueden definir otros conceptos útiles para describir el flujo desde el punto de vista de Euler.

Líneas de Corriente

Las líneas de corriente son el lugar geométrico de los puntos cuya tangente es paralela a la velocidad local del fluido en un instante dado. En coordenadas cartesianas, sus ecuaciones son:

En estas ecuaciones, el tiempo actúa como un parámetro.

Superficie de Corriente

Las líneas de corriente que se apoyan en una línea dada en el espacio, x = x_o(λ), forman una superficie de corriente, cuya ecuación es:

Tubo de Corriente

Si la línea de partida es cerrada, se forma un tubo de corriente. La velocidad es tangente a la superficie lateral en cada punto, pero atraviesa cualquier sección transversal del tubo.

Las líneas de corriente, las sendas y las líneas de traza coinciden en un movimiento estacionario. Las sendas y las líneas de corriente también coinciden en un movimiento no estacionario cuando el cociente entre las componentes de la velocidad no depende del tiempo.

Puntos de Remanso, Manantiales y Sumideros

En general, solo puede pasar una línea de corriente por un mismo punto. Si se cortaran dos o más líneas de corriente, la velocidad en ese punto no sería única, lo que implica que la velocidad es cero o infinita.

Manantiales y sumideros: Son puntos de velocidad infinita donde se cortan infinitas líneas de corriente. Por simetría, se puede deducir el campo de velocidad que producen a una distancia r del punto.

• En un plano bidimensional con coordenadas polares, la velocidad es v_r = Q / 2πr, donde Q es el caudal generado en el manantial (Q > 0) o que desaparece en el sumidero (Q < 0).
• En un espacio tridimensional con coordenadas esféricas, la velocidad es v_r = Q / 4πr², donde Q es el caudal generado en el manantial (Q > 0) o que desaparece en el sumidero (Q < 0).

Puntos de remanso: Son puntos de velocidad nula, que se obtienen del sistema de ecuaciones: v(x, t) = 0.

Velocidad Normal de Avance de una Superficie

Sea f(x, t) = 0 la ecuación de una superficie que cambia con el tiempo, pero que no es necesariamente una superficie fluida. Para que un punto siga perteneciendo a la superficie al modificar su posición dx y el instante dt, se deben elegir estos incrementos de modo que:

Esta ecuación diferencial describe la velocidad normal de avance de la superficie.

Derivada Sustancial y Aceleración

En el enfoque de Lagrange, x = x_T(x_o, t) es la posición de una partícula fluida en el instante t que en el instante t = 0 estaba en x_o. Una magnitud fluida intensiva Φ ligada a esa partícula, en el instante t, tendrá el valor:

En el enfoque de Euler, x = x_o, por lo que ∂Φ / ∂t no representa toda la variación temporal de Φ asociada a la partícula que en el instante t está en la posición x. Al cabo del tiempo dt, la partícula se habrá desplazado a x + vdt, y la magnitud Φ habrá variado en:

El primer sumando es la derivada local, que representa la variación de Φ en puntos fijos del espacio. El segundo sumando es la derivada convectiva, que representa la variación de Φ debido al cambio de posición de la partícula.

El operador:

se denomina derivada sustancial. Cuando la magnitud fluida es la velocidad v, su derivada sustancial es la aceleración de la partícula. En un sistema de coordenadas generalizado, la aceleración se puede escribir como:

En un sistema de referencia no inercial, la aceleración absoluta se obtiene sumando la aceleración relativa a la aceleración del sistema de referencia:

donde a₀ es la aceleración del origen del sistema de referencia y Ω es la velocidad angular.

En un sistema de referencia no inercial, la aceleración absoluta se obtiene sumando la aceleración relativa a la aceleración del sistema de referencia:

donde a₀ es la aceleración del origen del sistema de referencia y Ω es la velocidad angular.