Reseña Histórica de la Estadística
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficasy otros símbolosen pieles, rocas, palos de maderay paredes de cuevas para contar el número de personas, animaleso cosas.
Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillasde arcilla para recopilar datossobre la producciónagrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la poblacióny la renta del país.
Los librosbíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israely el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En Chinaexistían registrosnuméricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrarimpuestos. El Imperio romanofue el primer gobiernoque recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad mediasólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa.
Los reyescaloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesiaen los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquistanormanda de Inglaterraen 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registrode nacimientos y defuncionescomenzó en Inglaterra a principiosdel siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality -Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres. Un estudio similar sobre la tasa de mortalidaden la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglésEdmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad.
En el siglo XIX, con la generalización del métodocientífico para estudiar todos los fenómenos de las cienciasnaturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valoresnuméricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valoresde datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.
El trabajodel experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el procesode «interpretación» de esa información. El desarrollode la teoríade la probabilidadha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntosde datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticasy para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.
La Estadística es una cienciamatemáticaque trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica y se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas características de un fenómeno o conjunto de individuos llamado población.
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Método Estadístico
Un estudio estadísticocomprende los siguientes pasos:
- Suele iniciarse con una fijación de objetivoso algunas preguntas como ¿cuál será la media de esta poblaciónrespecto a tal característica?, ¿se parecen estas dos poblaciones?, ¿hay alguna relación entre…?
En el planteamiento se definen con precisión la población, la característica a estudiar, las variables, etc.
Se analizan también en este punto los mediosde los que se dispone y el procedimientoa seguir.
1. Planteamiento del problema
Se establece un modeloteórico de comportamientode la variable de estudio. En ocasiones no es posible diseñar el modelo hasta realizar un estudio previo. Los posibles modelosson distribuciones de probabilidad.
2. Elaboración de un modelo
Se usa alguna técnica de muestreoo un diseñoexperimental para obtener informaciónde una pequeña parte de la población.
3. Extracción de la muestra
En esta fase se eliminan posibles errores, se depura la muestra, se tabulan los datosy se calculan los valoresque serán necesarios en pasos posteriores, como la media muestral, la varianza muestral, proporciones, etc.
Los métodosde esta etapa están definidos por la estadística descriptiva.
4. Tratamiento de los datos
Con determinadas técnicasse realiza una predicción sobre cuáles podrían ser los parámetros de la población.
5. Estimación de los parámetros
Son técnicas que permiten simplificar el modelo.
6. Contraste de hipótesis
7. Conclusiones
Se critica el modelo y se hace un balance. Las conclusiones obtenidas en este punto pueden servir para tomar decisiones o hacer predicciones.
El estudio puede comenzar de nuevo a partir de este momento, en un procesocíclico que permite conocer cada vezmejor la población y características de estudio.
Población y Muestra
El conceptode población en estadísticava más alláde lo que comúnmente se conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.
El tamaño que tieneuna población es un factor de suma importancia en el proceso deinvestigaciónestadística, y este tamaño vienen dado por el número de elementos que constituyen la población, según el número de elementos la población puede serfinitao infinita.
Cuando el número de elementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una población infinita;
Por ejemplo:
El conjunto de todos losnúmeros positivos.
Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de elementos; por ejemplo: el número de estudiantedel Liceo Bolivariano Mariano de Talavera.
Cuando la población es muy grande, es obvio que la observaciónde todos los elementos se dificulte en cuanto al trabajo, tiempoy costosnecesarios para hacerlo. Es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos, sobre todos si estos son muchos. En lugar de examinar el grupoentero llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo llamada muestra.
Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla, esta es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos.
Por ejemplo el estudio realizado a 50 alumnos del Liceo Mariano de Talavera
El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa; cuesta menos y lleva menos tiempo. Por último se ha comprobado que el examen de una población entera todavía permite la aceptación de elementos defectuosos, por tanto, en algunos casos, el muestreo puede elevar el nivel de calidad.
Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.
Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra.
Estadística Descriptiva
Es una de las ramas de la Estadística más accesible a la mayoría de la población. Esta parte se dedica única y exclusivamente al ordenamiento y tratamiento mecánico de la información para su presentación por medio de tablas y de representaciones gráficas, así como de la obtención de algunos parámetros útiles para la explicación de la información. Esta, por lo general, no pasa a ser un análisismás profundo de la información. Es un primer acercamiento a la información y, por esa misma razón, es la manera de presentar la información ante cualquier lector, ya sea especialista o no.
Metodología
- Selección y determinación de la muestra.
- Obtención de los datos.
- Clasificación y organizaciónde los datos.
- Análisis descriptivo de los datos.
- Representación gráfica de los datos.
- Contraste de hipótesis, si procede.
- Conclusiones.
Ejemplosde este tipo de análisis descriptivo pueden encontrarse en la prensadiaria, en la parte de información económico-social: series de tiempo, gráfica de barras, índices de precios, resultados de una encuesta, etc.
Estadística Inferencial
La estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientospara deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra).
La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticos, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto.
La estadística inferencial comprende:
- La Teoríade muestras.
- La estimación de parámetros.
- El Contraste de hipótesis.
- El Diseño experimental.
- La Inferencia bayesiana.
Ejemplo:Para estimar el voltaje requerido para provocar fallas en un dispositivo eléctrico, una muestra de estos dispositivos puede someterse a voltajes crecientes hasta que falle cada uno de ellos. Con base en estos resultados muestrales puede estimarse la probabilidad de falla a varios niveles de voltaje de los demás dispositivos de la población muestreada .
Distribución de Frecuencias
Para estudiar el comportamiento de un fenómeno se requiere información y ¿Cómo recopilarla?
1. Por medio de encuestas(interrogatorio oral o escrito que se aplica a varias personas acerca del problema)
2. Por medio del registrode las observaciones que se hacen de él
La información obtenida debe presentarse en forma organizada. ¿Cómo?
Se puede utilizar una distribuciónde frecuencias(o también llamada tabla de frecuencias), en donde se asocia a cada dato o subgrupo de datos (llamado intervalo de claseo clase) una frecuencia (número de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos).
La presentación de los datos puede hacerse en forma ordenada, si son datos:
Cualitativos
– Orden alfabético
– Escribir, primero el que más se repite, luego el que sigue y así sucesivamente.
Cuantitativos
– Forma creciente (menor al mayor).
– Forma decreciente (mayor al menor)
Ejemplo:
A. Se preguntó a un grupo de alumnos de Ingeniería Industrialsu materiapreferida.
Distrib. de frecuencia
En este caso los datos se colocaron en orden alfabético.
B. Se preguntó a un grupo de alumnos su estatura en cms.
Distrib. de frecuencia
Los datos por ser cuantitativos los datos se han ordenado en forma creciente.
Medidas de Tendencia Central
Supóngase que Pedro obtiene 32 puntos en una prueba de lectura. La calificación por sí misma tiene muy poco significado a menos que usted conozca cuál es el total de puntos que obtiene una personapromedio al participar en esa prueba, cuál es la calificación menor
y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones. Es decir que para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos.
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. Digamos por ejemplo que la calificación promedio en la prueba que hizo Pedro fue de 20 puntos. De ser así podemos decir que la calificación de Pedro se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 60 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, dado que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase.
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:
- Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
- Sirve como un métodopara comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.
- Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.
- Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Media Aritmética
La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valoresde la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por 
y se calcula mediante la expresión:
xirepresenta el valorde la variable o en su caso la marcade clase.
Propiedades:
- Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo número, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero.
- Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará en dicha cantidad.
- Además de la media aritmética existen otros conceptos de media, como son la media geométrica y la media armónica.
Mediana
La mediana es el punto central de una serie de datos, para datos agrupados la mediana viene dada por:
Ejemplo:
Hallar la mediana en los siguientes datos: 25,30,28,26,32
Solución:
Se ordenan en forma creciente o decreciente y se toma el valor central. 25,26,28,30,32
mediana = 28
Ejemplo:
Hallar la mediana en los siguientes datos 7, 10,15,13,10,12
Solución:
Al ordenar se tiene: 7, 10,10,12,13,15 pero como el número de datos es par se toma la media aritmética de los dos internos.
Moda
La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralizaciónque tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo.
Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal según el caso.
Para distribuciones de frecuencia la moda viene dada por:
Ejemplo:
Hallar la moda en los siguientes datos.
16,18,15,20,16
Solución:
Moda = 16
De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda.
Representaciones Gráficas
Graficas de barras
Se utilizan rectángulos separados, que tienen como base a cada uno de los datos y como altura la frecuencia de ese dato.
Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra el total de vacunasaplicadas durante el verano de l991 en un estadode la República Mexicana.
El diagramade barras o gráfica de barras suele elaborarse con algunas variantes; por ejemplo, se pueden utilizar líneas en vez de rectángulos ó barras (o líneas) horizontales en vez de verticales.
Si se tienen datos cuantitativos se grafica en el eje de las x los valores centrales (marcasde clase), cuyas alturas son proporcionales a sus frecuencias. Así en la distribución de frecuencias de las alturas de 35 alumnos se tiene:
Histograma
El histograma es un gráfico para la distribución de una variable cuantitativa continua que representa frecuencias mediante el volumende las áreas. Un histograma consiste en un conjunto de rectángulos con:
a. bases en el eje horizontal, centros en las marcas de clase y longitudes iguales a los tamaños de los intervalos de clase
b. áreas proporcionales a las frecuencias de clase.
En el caso de un histograma para intervalos desiguales sólo se señalizan los valores sobre el eje horizontal, el eje vertical no tiene sentido porque las frecuencias corresponden al área de cada rectángulo.
Si en la distribución se toman clases de la misma longitud, las frecuencias son proporcionales a las alturas de los rectángulos del histograma ya que el área se obtiene multiplicando la base por la altura por lo que queda similar a un diagrama de barras, solo que ahora las barras van una junto a otra por tratarse de una variable continua
Polígonos de frecuencia
El polígono de frecuencias es una representación gráfica de la distribución de frecuencias que resulta esencialmente equivalente al histograma y se obtiene uniendo mediante segmentos los centros de las bases superiores de los rectángulos del histograma (es decir, los puntos de las marcas de clase).
Para cerrar la figura, se une la línea quebrada con lo que sería la marca de clase (sobre la superficie del eje horizontal) anterior a la primera y posterior a la última registrada
Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojiva
La misma idea de unir los centros de las bases superiores de los rectángulos de la distribución del histograma de frecuencias acumuladas, da lugar al polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.