Análisis de Modulación Digital y FM
Introducción
Este documento analiza diferentes aspectos de la modulación digital y la modulación de frecuencia (FM), incluyendo el cálculo del ancho de banda, la eficacia espectral, la probabilidad de error y el diseño de filtros.
Modulación Digital
El ancho de banda ocupado entre los primeros nulos en torno a la frecuencia central de la portadora para señales tipo M-PSK y M-QAM está dado por B = 2/Ts, con Ts el tiempo de símbolo. Un sistema de transmisión digital cuya portadora es de fc = 2,43 [GHz], considera que cada símbolo contiene 270 periodos de la portadora independientemente del tipo de modulación que adopta según las condiciones de SNR.
a) Flujo Binario con 64-QAM
¿Cuál es el flujo binario D si se transmite con 64-QAM?
b) Eficacia Espectral con 16-QAM
¿Cuál es la eficacia espectral si se cambia a 16-QAM?
c) Modulación Digital en Presencia de No Linealidad
Si la SNR es buena pero existe una no linealidad en alguna parte del canal de transmisión. ¿Qué modulación digital debiera utilizarse y por qué?
La modulación adecuada es Q-PSK puesto que al ser de amplitud constante tiene mayor inmunidad al ruido además de ser más eficiente.
d) Capacidad Máxima de Flujo Binario
La ley de Hartley-Shannon establece que el flujo binario máximo teórico está dado por:
Calcule dicha capacidad máxima de flujo binario si la relación S/N es de 30 dB.
Modulación de Frecuencia (FM)
Sabiendo que la forma compleja de la señal FM es:
a) Espectro de la Señal FM
Dibuje el espectro resultante de la señal FM considerando A = 1 y un índice de modulación igual a 4 y despreciando aquellas componentes cuya potencia sea igual o menor que el 5% de la potencia de la componente de mayor amplitud.
A partir de la tabla de coeficientes de Bessel es necesario identificar las componentes asociadas a un índice de modulación igual a 4. Luego, se debe obtener la potencia de cada una de esas componentes con el objeto de identificar aquellas que deban eliminarse, es decir, aquellas cuya potencia sea menor al 5% de la mayor potencia.
Cuadro 1: Datos calculados para las componentes Jn con índice de modulación 4.
A partir de la tabla 1 es evidente que las componentes J1, J6 y J7 son menores al 5% de la componente mayor J3 y por tanto, han de ser despreciados. Para determinar la expresión en el tiempo de la señal FM es necesario utilizar las relaciones definidas para las componentes Jn las cuales son:
- J-n = Jn para n par
- J-n = -Jn para n impar
Con esto, la expresión en el tiempo para la señal de FM es la siguiente:
φFM(t)= -0,4cos(ωct)+0,36 cos((ωc +2ωm)t)+0,36 cos((ωc – 2ωm)t)+0,43 cos((ωc+3ωm)t) – 0,43 cos((ωc – 3ωm)t)+0,28 cos((ωc +4ωm)t)+0,28 cos((ωc-4ωm)t) +0,13 cos((ωc +5ωm)t) – 0,13 cos((ωc – 5ωm)t)
Para obtener el espectro, se desarrolla la TF para la ecuación anterior la cual es:
ΦFM(ω)= π(0,36(δ(ω + ωc +2ωm)+ δ(ω – ωc – 2ωm)+ δ(ω + ωc – 2ωm)+ δ(ω – ωc +2ωm))+0,43(δ(ω + ωc +3ωm)+ δ(ω – ωc – 3ωm) – δ(ω + ωc – 3ωm) – δ(ω – ωc +3ωm))+0,28(δ(ω + ωc +4ωm)+ δ(ω – ωc – 4ωm)+ δ(ω + ωc – 4ωm)+ δ(ω – ωc +4ωm))+0,13(δ(ω + ωc +5ωm)+ δ(ω + ωc – 5ωm) – δ(ω + ωc – 5ωm) – δ(ω – ωc +2ωm))-0,4(δ(ω + ωc)+ δ(ω – ωc)
Finalmente, el espectro obtenido se indica en la figura
b) Potencia a la Salida del Amplificador
Las componentes del punto anterior pasan por un amplificador cuya ganancia de potencia es de 4 dB. Calcule la potencia total a la salida de dicho amplificador indicando cual es la condición de funcionamiento de dicho dispositivo en la que se basa para realizar dicho cálculo.
La potencia total a la salida del amplificador se determina bajo la suposición de que el amplificador utilizado tenga un comportamiento lineal en todo el espectro utilizado por la señal de FM, de esta manera, la potencia total de entrada es:
PTOT-IN = P0 +2(P2 + P3 + P4 + P5)=0,488[W]
Luego, la ganancia en potencia del amplificador es:
G[dB] = 10 log(GP)
Por lo tanto, a la salida del amplificador, la potencia es:
Probabilidad de Error en Señal Binaria
Sabiendo que para una señal binaria corrompida por AWGN la probabilidad de interpretar un bit erróneamente en el Rx se define como:
a) Valor Óptimo del Umbral
¿Cuál es el valor óptimo del umbral VT que otorga la mínima probabilidad de error en el bit?
Con s01 > VT > s02
b) Potencia del Ruido
Suponga un sistema en donde s01 = -s02 = 1 y la SNR es de 6 dB. ¿Cuál es la potencia del ruido?
Sabiendo que:
Y considerando que la amplitud de la señal es igual a 1 dado que s01 = -s02 = 1, se obtiene la potencia de la señal como:
Luego, usando la ecuación de a) se obtiene:
c) Probabilidad de Error con Umbral Optimizado
Usando las mismas condiciones que en el punto b), conociendo la relación
y además aplicando el valor según tablas de 
, considere que el umbral de decisión VT se ha optimizado y calcule la probabilidad de error en la detección.
Aquí se debe tomar en cuenta que la potencia del ruido se define como la varianza, es decir 
por lo tanto:
La probabilidad de error es entonces:
Reemplazando ahora se tiene:
La función de error complementario está relacionada con la función de error de la siguiente manera:
Por lo tanto, la probabilidad de error se obtiene finalmente
d) Evaluación de la Probabilidad de Error
¿La probabilidad de error obtenida en c) es buena? Justifique.
La probabilidad de error es de un 2,275% la cual es muy mala en relación a las probabilidades de error usadas comúnmente en las transmisiones digitales las cuales son del orden de 10^-5.
Multicanalización por División Ortogonal en Frecuencia (OFDM)
La figura 1 muestra un sistema de multicanalización por división ortogonal en frecuencia (OFDM) para transmitir N canales de información digital. Según este estándar de modulación, las portadoras deben localizarse a la mínima distancia frecuencial que haga que sean ortogonales en frecuencia, esto es: el máximo de la densidad espectral de potencia (PSD) de una portadora debe coincidir con el nulo que determina el ancho de banda principal de la portadora adyacente y viceversa.
Para evaluar el sistema se considera el envío del mismo bit p(t), de amplitud V = 1 volt y duración Tb = 1[μs] por cada uno de los N canales simultáneamente. La relación entre la frecuencia portadora más baja Wc y el ancho de banda principal de un canal definido por la TF del pulso p(t) ⟺ P(ω) debe ser: Wc = 1000 * BWP.
a) Transformada de Fourier del Pulso
Obtenga la expresión general para la T.F. P(w) correspondiente al pulso p(t) cuando este se encuentra centrado en el origen como una función par y considera el mismo ancho total Tb.
Considerando la función pulso rectangular p(t) centrada en el origen como:
La T.F. se obtiene mediante la definición de la T.F. según:
b) Valor de ΔW para Ortogonalidad
¿Cuál debe ser el valor de 
para lograr la condición de ortogonalidad?
Para que se cumpla la condición de ortogonalidad indicada en el enunciado de la pregunta, es necesario que: sinc(ΔWTb/2) = 0, para ello el argumento de la función debe ser igual a π, de esta manera:
c) Ancho de Banda para N Portadoras
Determine una expresión general para el ancho de banda principal ocupado por N portadoras si se considera desde el primer nulo de la portadora 1 hasta el segundo nulo de la portadora N-ésima.
El espectro de OFDM para N portadoras se indica en la figura.
De acuerdo a la figura es posible inferir que por cada portadora que se agrega al espectro, el ancho de banda total BWN se incrementa en la mitad del ancho de banda principal de una sola portadora
, de esta manera se tiene:
d) Diseño del Filtro Pasa Banda
Para un sistema con N=52 portadoras, diseñe h(t) como un filtro pasabanda ideal, que limite el ancho de banda principal de Soh(W) tal como fue definido en c).
De acuerdo a la ecuación el ancho de banda para N = 52 portadoras es:
La frecuencia central del filtro se obtiene al evaluar el promedio de la primera portadora y la última, es decir:
Luego, se sabe que Wc = 1000*BWP, es decir 
por lo tanto, la ecuación puede expresarse en función de Wc como:
Se considera ahora el filtro de banda base en el dominio de la frecuencia como:
de acuerdo a la propiedad de dualidad de la T.F.
de acuerdo a la propiedad de dualidad de la T.F.
y dado que g(w) es función par, se tiene:
por lo tanto, utilizando la T.F. de la función pulso rectangular en el tiempo definida, además de que BWN = Wm y realizando un cambio de variables adecuado se tiene que:
Es necesario ahora trasladar en frecuencia el filtro en banda base diseñado con el fin de obtener un filtro pasa banda centrado a la frecuencia central de la señal de OFDM definido anteriormente como wo, para ello es necesario usar la propiedad de modulación de la T.F. la cual es
Reemplazando f(t) por G(t) en se tiene entonces:
Finalmente es posible definir el filtro pasa banda h(t) de ganancia unitaria como:
El filtro diseñado de esta manera se indica en la figura
Análisis de Señal FM con Coeficientes de Bessel
Sabiendo que la forma compleja de la señal FM es:
a) Función φFM(t) con Componentes Relevantes
Escribir por extensión la función 
considerando solo aquellas componentes cuyas potencias registren una relación mayor o igual a -6 dB respecto de la potencia de la componente de mayor amplitud que aparece en la tabla.
A partir de la tabla de coeficientes de Bessel es necesario identificar las componentes asociadas a un indice de modulación igual a 5. Luego, se debe obtener la potencia de cada una de esas componentes con el objeto de identificar posteriormente aquellas que no han de ser consideradas en la expresión de φFM(t)
Cuadro 1: Datos calculados para las componentes Jn con índice de modulación 5.
A partir de la tabla 1 es evidente que las componentes J0, J2, J6, J7 y J8 tienen una relación menor a -6 dB respecto a la componente de mayor potencia que es J4, por lo tanto no se consideran en la expresión final de φFM(t). Para determinar la expresión en el tiempo de la señal FM es necesario utilizar las relaciones definidas para las componentes Jn las cuales son:
- J-n = Jn para n par
- J-n = -Jn para n impar
Con esto, la expresión en el tiempo para la señal de FM es la siguiente:
φFM(t) = √(2)(-0,328 cos((ωc + ωm)t) + 0,328 cos((ωc – ωm)t) +0,365 cos((ωc + 3ωm)t) – 0,365 cos((ωc – 3ωm)t) +0,391 cos((ωc + 4ωm)t) + 0,391 cos((ωc – 4ωm)t) +0,261 cos((ωc + 5ωm)t) – 0,261 cos((ωc – 5ωm)t))
b) Espectro de las Componentes Seleccionadas
Dibuje el espectro |Φ(W)| resultante para las componentes seleccionadas en a).
Para obtener el espectro, se desarrolla la TF para la ecuación la cual es:
ΦFM(ω) = π*√(2)(0,328(-δ(ω + ωc + ωm) – δ(ω – ωc – ωm) + δ(ω + ωc – ωm) + δ(ω – ωc + ωm))+0,365(δ(ω + ωc + 3ωm) + δ(ω – ωc – 3ωm) – δ(ω + ωc – 3ωm) – δ(ω – ωc + 3ωm))+0,391(δ(ω + ωc + 4ωm) + δ(ω – ωc – 4ωm) + δ(ω + ωc – 4ωm) + δ(ω – ωc + 4ωm))+0,261(δ(ω + ωc + 5ωm) + δ(ω + ωc – 5ωm))+0,261(-δ(ω + ωc – 5ωm) – δ(ω – ωc + 2ωm))
Finalmente, el espectro obtenido se indica en la figura
c) Potencia a la Salida del Amplificador
Las componentes halladas en el punto a) pasan por un amplificador cuya ganancia de potencia es de 3 dB. Calcule la potencia total de la señal a la salida de dicho amplificador. Señale cual es la condición de funcionamiento de dicho dispositivo que es necesario asumir para realizar este cálculo.
La potencia total a la salida del amplificador se determina bajo la suposición de que el amplificador utilizado tiene un comportamiento lineal en todo el espectro utilizado por la señal de FM, de esta manera, la potencia total de entrada es:
PTOT-IN = 2(P1 + P3 + P4 + P5) = 0,9234 [W]
Luego, la ganancia en potencia del amplificador es:
Por lo tanto, a la salida del amplificador, la potencia es:
PTOT-OUT = GP * PTOT-IN = 2 * 0,9234 = 1,8468[W]