Semejanza Física: Conceptos Fundamentales
La semejanza física es una generalización de la semejanza geométrica aplicada a problemas con múltiples magnitudes, no solo longitud. La semejanza geométrica se da cuando la relación entre magnitudes lineales homólogas en dos objetos es constante (la escala). Adimensionalizando con una longitud característica, los valores adimensionales de longitudes, superficies y volúmenes son idénticos.
En dos o más fenómenos físicos geométricamente semejantes que dependen de n valores característicos, si adimensionalizamos variables, parámetros, coordenadas, tiempo y condiciones iniciales y de contorno, el problema se plantea de forma única. Por lo tanto, la solución adimensional será idéntica en ambos casos. Según el teorema π, la solución depende únicamente de n-k valores adimensionales independientes (siendo k el número de magnitudes dimensionalmente independientes en los parámetros y variables originales).
La condición necesaria y suficiente para la semejanza física entre fenómenos es que las ecuaciones diferenciales que los definen, las condiciones iniciales y de contorno (todo en forma adimensional), más los n-k parámetros adimensionales independientes, sean idénticos.
Semejanza Física en Mecánica de Fluidos
Las ecuaciones que determinan un problema físico con fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes:
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junto con las ecuaciones de estado:
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y las leyes constitutivas del fluido:
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Para completar el planteamiento, se necesitan las condiciones iniciales y de contorno. Para adimensionalizar, se definen valores característicos:
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Las variables con subíndice cero son los valores característicos (con dimensiones), y las primadas son las variables y parámetros adimensionales. Para que las ecuaciones adimensionales de dos situaciones sean iguales, se requieren:
- Semejanza geométrica
- Igualdad de los números adimensionales
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- Igualdad de las funciones de estado y leyes constitutivas adimensionales
- Igualdad de las condiciones iniciales y de contorno adimensionalizadas
Si todo esto se cumple, existe semejanza física completa.
Parámetros Adimensionales en Mecánica de Fluidos
A continuación, se presentan los parámetros adimensionales más usuales:
Número de Strouhal
«> Se interpreta como la relación entre el tiempo de residencia (tr) y el tiempo característico de variación (to). Si St < 1, …
Número de Reynolds
«> Expresa la relación entre el término convectivo y el viscoso. Re > 1: Movimiento con viscosidad despreciable (en principio).
Número de Froude
«> Expresa la relación entre la energía cinética y la potencial debida a la gravedad.
Relación de calores específicos
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Número de Mach
«> Relación entre la velocidad del flujo y la velocidad del sonido. Mide la relación entre energía cinética y energía térmica. Si M > 1, …
Números de Prandtl y Péclet
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El número de Péclet (
«>) relaciona la convección térmica y la conducción. El número de Prandtl (
«>) es el cociente entre la difusividad viscosa y térmica. Las condiciones de contorno pueden introducir otros parámetros adimensionales.
Número de Euler
«> Compara la presión atmosférica con el doble de la energía cinética del flujo.
Número de Eckert
«> Compara la energía cinética y la diferencia de entalpía (temperatura).
Número de Weber
«> Compara la energía cinética (o presión dinámica) con la energía potencial debida a la tensión superficial.
Número de Bond
«> Relaciona la longitud característica del problema con la longitud capilar.
La flotación y la transmisión de calor introducen otros números adimensionales:
Número de Rayleigh
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Número de Grashof
«> Ambos relacionan el término de flotabilidad con la viscosidad y la conductividad térmica.
Número de Nusselt
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Número de Stanton
«> Relacionados con la transferencia de flujo de calor (q).
Experimentación con Modelos: Semejanza Física Parcial
La semejanza física permite ensayar en modelos y predecir resultados en casos reales. Para una semejanza completa, todos los coeficientes adimensionales deben ser iguales, lo cual es prácticamente imposible. La semejanza física parcial se da cuando algunos parámetros adimensionales difieren, pero no alteran el resultado. Se ajustan los parámetros importantes y se dejan diferentes los que no afectan el resultado, siempre dentro del rango correspondiente.
Solución de Semejanza
Relacionado con el análisis dimensional y la semejanza física está el concepto de solución de semejanza. Se produce cuando la solución de un problema no depende de variables independientes separadas, sino de una combinación de ellas en una variable de semejanza.
Se detecta cuando al aplicar el teorema π no se mantiene el mismo número de variables independientes adimensionalizadas que las originales. También se puede encontrar si el problema es invariante ante transformaciones (ej. homotecias).
Ejemplo: El movimiento impulsivo de una placa plana (
«>) resulta en u/U = φ(y/√(vt)). La solución no depende de forma independiente del espacio y el tiempo, sino de una variable de semejanza.
Semejanza en Máquinas de Fluidos
Como aplicación, se muestra la obtención de las curvas características de una bomba hidráulica. Las variables y parámetros son:
- Longitud típica de la máquina (D)
- Forma geométrica (longitudes Li y ángulos αi)
- Rugosidad (h)
- Propiedades del líquido (densidad ρ y viscosidad μ)
- Presión motriz (p + ρUP)
- Caudal (Q)
- Velocidad angular (Ω)
La solución del campo de velocidad y presiones es función de:
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Variables globales (independientes de la posición x):
- Variación de la energía mecánica específica (
«>, expresada en altura manométrica Hm para bombas o altura neta Hn para turbinas,
«>)
- Par (T) en el eje
- Potencia (W) en el eje (W = T × Ω)
- Rendimiento (η): En bombas rotativas,
«>; en turbinas,
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Aplicando el teorema π con D, ρ y Ω como magnitudes independientes, se obtiene:
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Simplificando para una familia de bombas, considerando que el número de Reynolds es muy grande y la rugosidad no afecta significativamente, se obtiene:
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