Flujo Convectivo de una Magnitud Fluida

El flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva Φ (por unidad de volumen) a través de una superficie Σ fija al sistema de referencia, es la cantidad de esa magnitud que atraviesa con el fluido dicha superficie en la unidad de tiempo. Si Φ es la magnitud fluida extensiva por unidad de volumen, (Φdσ)(v×n)dt es la cantidad de Φ que atraviesa la superficie dσ durante el tiempo dt. Por unidad de tiempo será: Φ(v×n)dσ, y para una superficie finita:

Si Φ es un escalar, la cantidad Φv se llama vector flujo de Φ.

Si Φ es un vector, la cantidad Φv se llama tensor flujo de Φ.

Si la superficie Σ es cerrada y Φv es continuo en el interior y en la superficie, el teorema de Gauss-Ostrogradsky nos permite escribir:

Con lo cual la divergencia del vector flujo, es el resultado neto del flujo hacia el exterior en cada diferencial de volumen, y se obtiene el flujo hacia el exterior de todo el volumen de la magnitud Φ. Si la superficie Σ se mueve con una velocidad normal de avance vn tal que vn = vc × n, donde vc es la velocidad del punto de la superficie que estamos considerando, el flujo de Φ está dado por:

De esta expresión se pueden obtener dos conclusiones inmediatas:

• El flujo de Φ a través de una superficie de corriente es nulo puesto que vc=0 y v*n=0.
• El flujo de f a través de una superficie fluida es también nulo puesto que v = vc.

Derivación de Integrales Extendidas a Volúmenes Fluidos: Teorema del Transporte de Reynolds

La derivada sustancial nos permite calcular la variación de una magnitud fluida intensiva siguiendo a una partícula fluida. Cuando lo que se pretende es seguir la evolución de una magnitud determinada integrada en un volumen fluido, pero el análisis se hace en un volumen de control que no lo es, es necesario establecer la relación entre la derivada de la magnitud fluida en uno y otro. Sea Φ una magnitud fluida extensiva por unidad de volumen ligada al fluido. La cantidad de esa magnitud asociada a un volumen de control cualquiera Vc(t) variable con el tiempo está dado por, y la variación en la unidad de tiempo de esa cantidad es:

Para determinar esta derivada escribiremos con Vc(t + Δt)= Vc(t)+ δV2 – δV1,

Tenemos dV=+/-v_ndσ y despreciando (Δt)² frente a Δt cuando es pequeño,

donde Σc(t) es la superficie que encierra el volumen Vc (t). Esta superficie se ha descompuesto en dos partes, la primera es por donde el volumen disminuye y la segunda por donde aumenta. La velocidad vn es en este caso la componente normal de la velocidad de avance de la superficie de control: vn = vc × n. Sustituyendo en la ec., dividiendo por Δt y tomando límites, y Vc (t) fuese un volumen fluido Vf(t)(con vn=v×n)

La Ec.(3.8) nos permite calcular la variación en la unidad de tiempo de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido como la variación de esa magnitud fluida dentro de un volumen de control más su flujo convectivo a través de la superficie que limita dicho volumen de control.

Principio de Conservación de la Masa: Ecuación de Continuidad en Forma Integral y Diferencial

El requerimiento de conservación de la masa de un fluido impone ciertas restricciones al campo de velocidades, que por tanto no puede ser cualquiera. Estas restricciones cinemáticas estarán ligadas a la distribución de masa, y por tanto al campo de densidades.

El principio de conservación de la masa nos dice que la masa de un volumen fluido (sistema cerrado) no cambia con el tiempo, y mediante la ecuación del transporte de Reynolds podemos generalizar la ecuación anterior para volúmenes de control, es decir:

para sistemas abiertos, indicándonos que la variación en la unidad de tiempo de la masa contenida en un volumen de control se debe al flujo (convectivo) de masa a través de sus paredes. Ésta es la ecuación de la continuidad en forma integral.

Si el volumen de control es fijo respecto al sistema de referencia, y si ρv es continua en el interior de V_o y sobre la superficie Σ_o, el teorema de Gauss-Ostrogradsky permite escribir,

dado que la integral es nula para cualquier volumen de control Vo fijo al sistema de referencia, esto sólo puede ser posible si,

que constituye la ecuación de conservación de la masa (o ecuación de la continuidad) en forma diferencial.
La variación con el tiempo de un volumen fluido corresponde a la velocidad de dilatación cúbica unitaria y es

Caso de Fluidos Incompresibles

Para fluidos incompresibles, aquellos que su densidad permanece constante, la ecuación de la continuidad en forma integral toma la forma,

donde la integral de superficie representa el flujo volumétrico, Q(t), a través de las paredes del volumen de control. La ecuación de la continuidad para fluidos incompresibles se reduce a ,

Caso de Movimientos Estacionarios

En el caso del movimiento estacionario de un fluido compresible la ecuación de la continuidad se reduce a,

En este caso, el flujo másico G a través de cualquier sección de un tubo de corriente es constante. Para ver esto se toma un volumen de control limitado por la superficie del tubo de corriente ST y dos secciones transversales del tubo S1 y S2, y la ecuación de la continuidad en forma integral nos proporciona,

pero por la propia definición de tubo de corriente se tiene,

con G1=G2 siendo G1 y G2 los flujos másicos a través de las secciones Σ1 y Σ2 respectivamente.
Podemos concluir por tanto que en el movimiento estacionario de un fluido compresible, el flujo másico a través de cualquier sección transversal al tubo es constante, si no hay singularidades en el recinto limitado por las paredes del tubo y las secciones transversales consideradas.

Movimientos Planos y Bidimensionales: Función de Corriente

En el caso del movimiento de un fluido incompresible o del movimiento estacionario de un fluido compresible, la ecuación de la continuidad se reduce a la divergencia nula de un vector.

->Fluido incomprensible

->Movimiento estacionario fluido comprensible:

Si además suponemos que el movimiento es bidimensional o axilsimétrico, la divergencia se reduce a la suma de dos términos, en cuyo caso la ecuación de la continuidad se puede hacer cumplir mediante una función escalar Ψ de la que se obtienen las componentes de v o ρv por derivación.

El procedimiento de obtención de y lo haremos para el movimiento bidimensional de un fluido incompresible, pero de modo análogo se podría hacer para los demás casos en que la ecuación de la continuidad se pueda escribir como suma de dos derivadas parciales.

En un movimiento bidimensional v=(u,v,0) donde u y v son independientes de la coordenada z. La ecuación de la continuidad para un fluido incompresible se reduce a,

Utilizando la función y, se cumple automáticamente la ecuación de la continuidad y se reduce el número de incógnitas, de dos variables dependientes: u y v, a una sola función escalar desconocida. A la función y se le denomina función de corriente porque las líneas Ψ=constante son las líneas de corriente. En efecto,