Centro de Masa, Centro de Gravedad y Centroide

Centro de Gravedad

El centro de gravedad es el punto donde se considera que se concentra el peso de un cuerpo. No necesariamente coincide con un punto de masa física en el cuerpo. En un sistema de varios cuerpos, el centro de gravedad es el punto donde se puede aplicar una fuerza única que reemplace el efecto de los pesos individuales. Este principio también se aplica a áreas y líneas.

El cálculo se realiza utilizando la teoría de momentos. Un momento es el producto de la fuerza por la distancia. La suma de los momentos de las fuerzas individuales con respecto a un sistema de referencia es igual al momento de la fuerza resultante multiplicado por la distancia de esta fuerza al sistema de referencia. Este sistema reemplaza el efecto del momento de las fuerzas conjuntas. La fuerza debe ser perpendicular al vector posición, y el producto del vector fuerza por el vector posición da como resultado un nuevo vector que representa el momento.

Caso de una fuerza aplicada sobre una barra:

Si la aplicación de las fuerzas se da en un plano, se tiene lo siguiente:

ΣMxo = Σ(f . xi) = F . X (1)

Como la fuerza F es la resultante, entonces F = Σ(fi) (2)

Al reemplazar (2) en (1) y despejar X, se obtiene que la ubicación de la fuerza resultante F en la dirección X es:

X = Σ (fi . xi)/Σ(fi) (3)

De manera análoga, para la coordenada en Y se tiene:

Y = Σ (fi . yi)/Σ(fi) (4)

Por lo tanto, las ecuaciones (3) y (4) definen las coordenadas de la ubicación de la resultante F.

Al calcular los momentos, se debe considerar el sentido de giro que produce. Se puede adoptar como positivo si es antihorario y negativo si es horario, respecto a cada eje.

El sistema de referencia no debe pasar por una posición que anule el efecto del momento.

Ejemplo: Para el gráfico anterior, los datos de las fuerzas que actúan sobre la placa son: F1 = 500 N, F2 = 300 N, F3 = 600 N y F4 = 400 N. Las posiciones son x1 = 10 m, x2 = 20 m, y1 = 10 m, y2 = 20 m. Hallar la posición de la fuerza resultante y el lugar donde se aplica esta fuerza que reemplaza el efecto de las fuerzas dadas sobre la placa.

Aplicando las ecuaciones (3) y (4) se tiene:

X = (-3000)/(-600) = 5 m

Y = (-14000)/(-600) = 23,33 m

Gráficamente se muestra abajo la ubicación de la fuerza resultante F que genera el mismo efecto que las fuerzas dadas originalmente.

Diferencias entre Centro de Masa, Centro de Gravedad y Centroide

• Centro de masa: Es el punto donde se concentra la masa de un cuerpo. La masa es invariable y su ubicación depende de la distribución de la materia.
• Centro de gravedad: Es el punto donde se concentra el peso de un cuerpo. El peso depende de la gravedad y, por lo tanto, puede variar.
• Centroide: Es un concepto geométrico que depende de la forma del cuerpo. Se puede hallar el centroide de un área o de una línea.

Relaciones entre los Conceptos

• El centro de masa coincide con el centroide cuando la densidad del cuerpo es uniforme.
• El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme y la dirección de la fuerza de gravedad es constante.

Centroide de un Área

Un área con espesor uniforme se puede descomponer en diferentes áreas. La posición del centroide del área total es directamente proporcional a la suma de cada área multiplicada por la distancia desde su centro geométrico hasta el sistema de referencia, dividido por el área total.

( 5 ) ( 6 )

La ubicación de los centroides de áreas simples o básicas respecto al sistema de referencia señalado se encuentran ubicados en:

Centroide de una Línea

Si una línea está compuesta por diferentes líneas, el centroide de toda la línea es directamente proporcional a la sumatoria de las longitudes de cada línea multiplicada por la distancia de su centro geométrico hasta el sistema de referencia, dividido por la longitud total.

( 7 ) ( 8 )

Cuerpos Compuestos

Para un cuerpo con formas diversas, se debe descomponer en formas conocidas y aplicar el mismo principio para buscar el efecto de cada parte respecto al cuerpo total, considerando en este caso su peso.

( 9 ) ( 10 ) ( 11 )

Ejemplos de Cálculo de Centroides

Ejemplo 1: Cálculo del Centroide de una Figura Compuesta

Localice el centroide de la figura dada a continuación:

1. Consideremos la ubicación del sistema de referencia X, Y, y descompongamos la figura en 3 figuras simples:

• Figura 1: Triángulo OAB
• Figura 2: Rectángulo ABCD
• Figura 3: Círculo hueco (área negativa)

2. Para cada figura, se obtiene la ubicación del centroide respecto a los ejes del sistema de referencia. Se calcula el área y se obtiene el producto de la distancia del centroide por el área. Los datos se resumen en la tabla siguiente:

La ubicación del centroide en base a las formulas (5) y (6) es:

X = (1076602 / 19143.36) = 56.24 mm

Y = (2152071 / 19143.36) = 112.42 mm

Ejemplo 2: Cálculo del Centroide de un Alambre Doblado

Localice el centroide de un alambre doblado según se indica en la figura siguiente:

Consideremos la ubicación del sistema de referencia X, Y, y consideremos la existencia de 3 alambres: AB, BC y AC. Determine la ubicación del centroide de cada alambre, el mismo que está ubicado en la mitad de cada alambre.

Para cada línea, se obtiene la ubicación del centroide respecto a los ejes del sistema de referencia. Se calcula la longitud y el producto de la distancia del centroide por la longitud. Los datos se resumen en la tabla siguiente:

Sen (θ) = ED/EB = AC/BC de donde ED = AC*EB/BC = 10*13/26 = 5 = Y2

Cos (θ) = BD/EB = AB/BC de donde DB = AB*EB/BC = 24*13/26 = 12 = X2

La ubicación del centroide en base a las ecuaciones (7) y (8) es:

X = 600/60 = 10 mm

Y = 180/60 = 3 mm