Lógica Proposicional y Tablas de Verdad

Cuadro de verdad

• La disyunción inclusiva (V), es todo V, excepto cuando ambas proposiciones son falsas (F + F = F).
• La conjunción (Λ), es todo F, excepto cuando ambas proposiciones son verdaderas (V + V = V).
• La implicación (→), es todo V, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (V + F = F).

Ejemplos:

• «Si conduces no bebas»
• Los triángulos S y T… – Sería una falacia.
• París, América… – Es lógicamente válido.
• Domingo, campo, compras… – Es una falacia.
• Amigo marciano… – En Marte nunca llueve.
• Cine, palomitas… – Es una falacia.
• Marx, Engels o Lenin… – Es válido, aplicando modus ponens.

Ejemplo de razonamiento lógicamente válido:

p

¬p

∴q

• {Galicia, Cantabria}…

Teoría de Conjuntos y Aplicaciones

• La preimagen de un conjunto: ar. tiene como preimagen arma.
• s^-1({1}) = {10^k | k = 0, 1, 2, 3, …}
• Aplicación bien definida – No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.
• Aplicación inyectiva – No, porque hay palabras distintas con la misma abreviatura.
• Suma de cifras, ¿dominio N y rango N? – Sí.
• No es inyectiva porque s(12) = s(21) = 3.
• N = {0, 1, 2, 3…} – Es sobreyectiva. / No es biyectiva, porque no es inyectiva.
• 3n + 1 – Es inyectiva porque no coinciden. / No es sobreyectiva, ningún elemento de N. / No es biyectiva, porque no es sobreyectiva. / Es correcto que f(15) = 10. / Es correcto que f(13) = 13. / Es correcto que f(548) = 8.
• f^-1({10, 15, 22}) = {3, 7}
• Sobreyectiva – #(A) ≥ 5
• Inyectiva – #(B) ≥ 4
• Biyectiva – #(A) = #(B)

• #(A ∩ B) – 4
• #(B – A) = 6
• #(A ∩ B) – 3
• #(A) = 6
• #(A ∩ B) = 8
• #(A) = 21

Números y Operaciones

• Sí, aunque precisa de 21 dígitos distintos.
• (243)₄ no significa nada.
• Es incorrecto decir en c = a.b, que a es múltiplo de c.
• 432 / 9 = 48
• Los divisores de 28 suman 56.
• El MCD de 432 es 9, el MCM es 48.
• El MCD es igual al doble.
• Si la diferencia a – b es negativa, no puede ser a + yb-.
• Club de jubilados – 16/21
• Numerador – 683
• Denominador – 4.995
• La fracción 11/81 – periodo de 9 cifras.
• Carburantes – 1.52%
• El precio subió en verano y otoño – 10.24%
• Beneficio de la empresa – 35.64%
• Ordenador – 33.40
• Empresa de buses – 2.63%
• Barra de pan – 8.42%
• Huerta de papas – 77.87%
• Sueldo de la pareja – 42.55%
• Niños – Los 2 tienen la misma cantidad.
• 3x – Depende de los valores de x e y.
• x – 3/7 – Es cierta.
• x – 7/4 – Depende de los valores de x e y.
• (5²)⁴ . (6⁴)² = 30⁸
• 2⁴ . 4³ = 2¹⁰
• (8^-2)^-4 / (4²)^-2 = 2³²
• 3^2/3 . 9^1/6 = 3
• + – =
• 24^5/2 . 6^-3/2 = 2⁶ . 3
• Hay 15 que no son de fresa.
• Ladrillos de Pedro y Juan – 24/7
• Tren de ciudades A y B – 144 km.
• Edad del padre e hijos – 25 años.
• El artículo se vende a 759… – 100 euros.
• Granja de gallinas y conejos – 9

• Luis, cine y refrescos – 17 euros.
• Repartir el reino entre 3 hijos – 6/13

Geometría Analítica

Recta que pasa por 2 puntos:

Para calcular 3 puntos: la misma ecuación y sustituir los puntos.

Ecuación de la recta paralela: y = a(x – x₁) + y₁ (la “a” es la pendiente).

Ecuación de la recta perpendicular: y = (-1/a)(x – x₁) + y₁

• Paralelogramo – base x altura.
• Una recta perpendicular a una perpendicular es paralela.

• Cuadrilátero – 20 / 6
• Paralelogramo – -1 / (1, 1)
• Rectángulo – c = -1

Funciones y Cálculo

• En f(x) = – (1, ∞]
• f(x) = – I = [1, ∞)
• Las funciones f(x) = y g(x) = x + se cortan en un único punto.
• Creciente: f(-1/2) ≥ f(-2) / f(-3) > f(1 – 1)
• Creciente en el intervalo (2, 3)
• Decreciente: f(-4/3)
• Decreciente en el intervalo (-1, 0)
• La función f(x) = 1 / (1/2x) en x = 1/2 – No existe límite.
• Mínimo relativo en x = 0: f(x) ≥ f(0)
• Máximo relativo en x = 0: f(x) ≤ f(0)
• La función f(x) = (x – 1)² – Es continua en x = 1 y x = 2.
• f(x) = x² + x + 1 es continua…
• f(x) = – Es continua en todos sus puntos.
• f(x) = (1 – x²) / (1 – x) es continua en x = 1 si c = 2.
• Tiene una única discontinuidad.
• f(x) = en x = 1 – 1/2
• f(x) = – f´(1/2) = 1/
• f(x) = – f`(x) = 1 / (2)
• Tiene derivada x/
• f(x) = x tiene derivada 3/2
• f(x) = x³ – 3x es decreciente en [-1, 1].
• f(x) = 1/x es decreciente en [1, 2].

• Segunda derivada de f(x) = – -2(1 + x)^-3

Probabilidad y Estadística

• A ∪ B – Cuando el resultado pertenece a A, a B o a ambos.
• Si el suceso A ha ocurrido, A ∪ B también ha ocurrido.
• Si A ∩ B^c – A ha ocurrido.
• Si A^c ∩ B^c – A ∪ B no ha ocurrido.
• A ∪ B – Al menos un resultado es cara.
• =
• 100 personas, ojos de color – 49/99
• Un banco invierte – 8.95%
• P(A) = 0.2 y P(A ∩ B) = 0.1 – 0.5
• P(A) = 0.2 y P(B|A) = 0.6 – 0.12
• P(A) = 0.2, P(B) = 0.4 y P(A|B) = 0.1 – 0.2
• P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(A|B) = 0.1 – 1/7
• Respuesta de las monedas – 0.3 / 2/3 / 0.26
• P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A|B) = 0.2 – 0.25
• P(A) = 0.2 y P(A|B) = 0.2 – Los sucesos A y B son independientes. P(A) = P(A|B) = 0.2 – P(B) = P(B|A)
• P(A) = 0.2 y P(B) = 0.3, P(A ∩ B^c) – 0.06
• P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(A|B^c) – 0.2
• Un banco invierte – 8.95%
• Grupo sanguíneo AB en Londres
• Número de átomos en un mol de agua
• Constituye una muestra de la población
• Permite establecer conclusiones…
• Los atributos o magnitudes
• Su matrícula
• Cuantitativa discreta
• Su mejor marca personal
• Ordinal
• Se mide en escala de intervalos
• Cuantitativas, continua…
• Si la variable es al menos ordinal
• La última de dichas frecuencias es 1
• Los ángulos y las áreas de los sectores
• Los valores de la variable y sus frecuencias
• Un histograma con valores agrupados…