Flujo Convectivo de una Magnitud Fluida

El flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva Φ (por unidad de volumen) a través de una superficie Σ fija al sistema de referencia, es la cantidad de esa magnitud que atraviesa con el fluido dicha superficie en la unidad de tiempo. Si Φ es la magnitud fluida extensiva por unidad de volumen, (Φdσ)(v×n)dt es la cantidad de Φ que atraviesa la superficie dσ durante el tiempo dt. Por unidad de tiempo será: Φ(v×n)dσ, y para una superficie finita

Si Φ es un escalar, la cantidad Φv se llama vector flujo de Φ.

Si Φ es un vector, la cantidad Φv se llama tensor flujo de Φ

Si la superficie Σ es cerrada y Φv es continuo en el interior y en la superficie, el teorema de Gauss-Ostrogradsky nos permite escribir,

Flujo de f=∫f(v×n)dσ =∫∇×(fv)dV

Σ V

con lo cual ∇ ×(fv), divergencia del vector flujo, es el resultado neto del flujo de f hacia el exterior en cada diferencial de volumen, y por integración se obtiene el flujo hacia el exterior de todo el volumen de la magnitud f.

Si la superficie S se mueve con una velocidad normal de avance vn tal que

Flujo de f=∫f(v–vc)×ndσ

Σ

. (3.2)

De esta expresión se pueden obtener dos conclusiones inmediatas:

• El flujo de f a través de una superficie de corriente es nulo puesto que

v × n = 0 .

v = 0 y

1. Derivación de integrales extendidas a volúmenes fluidos. Teorema del transporte de Reynolds.

La derivada sustancial nos permite calcular la variación de una magnitud fluida intensiva siguiendo a una partícula fluida. Cuando lo que se pretende es seguir la evolución de una magnitud determinada integrada en un volumen fluido, pero el análisis se hace en un volumen de control que no lo es, es necesario establecer la relación entre la derivada de la magnitud fluida en uno y otro.

Sea f una magnitud fluida extensiva por unidad de volumen ligada al fluido. La cantidad de esa magnitud asociada a un volumen de control cualquiera Vc(t) variable con el tiempo está dado por,

∫f( x, t)dV

Vc(t)

y la variación en la unidad de tiempo de esa cantidad es,

d [ ∫f(x, t)dV ]

dt Vc(t)

Para determinar esta derivada escribiremos,

[

∫f( x, t +Δt)dV – ∫f( x, t)dV ]

d [∫f( x, t)dV ]=lim [Vc(t+Δt) Vc(t) ],

dt

Vc(t)

Δt→0

donde el volumen escribiremos,

Vc(t + Δt)= Vc(t)+ dV2 – dV1

(véase figura adjunta). Por lo tanto

∫f( x, t +Δt)dV –

Vc(t+Δt)

∫f( x, t)dV =

Vc(t)

∫[f( x, t +Δt) –f( x, t)]dV +

Vc(t)

(3.3)

+∫f( x, t +Δt)dV –∫f( x, t +Δt)dV

dV2 dV1

δV2

Vc(t+dt)

dado que para los volúmenes infinitesimales d V1 y

d V2 , el elemento diferencial de volumen dV se

puede escribir como

dV = ±vnds, donde el signo

δV1

vnΔt

«+» es para d V2 y el «-» para d V1(debido a que las normales están cambiadas de signo) y por lo tanto estas integrales de volumen se convierten en integrales de superficie. A su vez, desarrollando

Vc(t)

-vnΔt

f(x,t + Δt)

en serie de Taylor tenemos,

∫f( x, t +Δt)dV=∫f( x, t +Δt)v dsΔt=Δt∫f( x, t)v ds+ (Δt)² ∫∂fv ds

(3.4)

dV S

n n ∂t n

SS

y despreciando términos del orden (Δt)² frente a Δt cuando éste es pequeño, podemos escribir,

[ ∫f(x, t + Δt)dV – ∫f(x, t + Δt)dV ]= (Δt)[∫f(x, t)vnds+ ∫f(x, t)vnds] =

dV2

dV1

S1 (t)

S2 (t)

(3.5)

donde

Sc(t)

= (Δt) ∫f(x, t)vnds

Sc(t)

es la superficie que encierra el volumen Vc (t) . Esta superficie se ha

descompuesto en dos partes, Sc (t) = S1 (t) + S2 (t) , la primera es por donde el volumen disminuye y la segunda por donde aumenta. La velocidad vn es en este caso la

componente normal de la velocidad de avance de la superficie de control:

vn = vc × n .

Sustituyendo esta ecuación en la (3.4), dividiendo por Δt y tomando límites, podemos concluir que,

d f( x, t)dV =

dt

Vc(t)

dV +

∂t

Vc(t)

∫f(x, t)v

Sc(t)

×nds

(3.6)

Supongamos ahora que el volumen Vc (t) fuese un volumen fluido Vf (t), en ese caso

vn = v × n

siendo v

la velocidad del fluido. De acuerdo con la Ec.(3.6) tendremos,

d f( x, t)dV =

dt

Vf(t)

∂f(x,t)dV +

∂t

Vf(t)

∫f( x, t)v×nds

Sf(t)

(3.7)

Si ahora nos fijamos en un volumen Vc(t) , que en el instante t = t1 coincide con Vf(t), es decir Vc(t1) ≅ Vf(t1), (y también Sc(t1) ≅ Sf(t1) ); las primeras integrales del segundo miembro de las Ecs (3.6 y 3.7) coinciden puesto que los integrandos y los recintos de integración de cada una de estas integrales coinciden en ese instante. Las segundas integrales del segundo miembro difieren porque los integrandos son diferentes

ya que vc × n

es distinto de v × n , pues son las componentes normales de dos velocidades

distintas: la primera de la velocidad de la superficie de control, y la segunda de la velocidad del fluido. Restando a la Ec.(3.7) la Ec.(3.6) se obtiene,

d d

dt ∫f( x, t)dV = dt

Vf(t)

∫f(x, t)dV+

Vc(t)

∫f(x, t)(v-vc) × nds

Sc(t)

(3.8)

La Ec.(3.8) nos permite calcular la variación en la unidad de tiempo de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido como la variación de esa magnitud fluida dentro de un volumen de control más su flujo convectivo a través de la superficie que limita dicho volumen de control.

Principio de conservación de la masa. Ecuación de continuidad en forma integral y diferencial.

El requerimiento de conservación de la masa de un fluido impone ciertas restricciones al campo de velocidades, que por tanto no puede ser cualquiera. Estas restricciones cinemáticas estarán ligadas a la distribución de masa, y por tanto al campo de densidades.

El principio de conservación de la masa nos dice que la masa de un volumen fluido (sistema cerrado) no cambia con el tiempo, esto es

d

dt ∫ ρ(x,t)dV = 0

Vf(t)

. (3.9)

Mediante la ecuación del transporte de Reynolds podemos generalizar la ecuación anterior para volúmenes de control, es decir para sistemas abiertos,

(3.10)

indicándonos que la variación en la unidad de tiempo de la masa contenida en un volumen de control se debe al flujo (convectivo) de masa a través de sus paredes. Ésta es la ecuación de la continuidad en forma integral.

Si el volumen de control es fijo respecto al sistema de referencia, la Ec.(3.10) puede escribirse en la forma,

∂ρ

∫ ∂t dV+ ∫ ρ(v× n)ds = 0.

(3.11)

Vo So

Si ρv

es continua en el interior de Vo y sobre la superficie So, el teorema de

Gauss-Ostrogradsky permite escribir,

[∂ρ

∂t

+∇×(ρv)]dV=0.

Vo

(3.12)

dado que la integral es nula para cualquier volumen de control Vo fijo (y de paredes So

fijas) al sistema de referencia, esto sólo puede ser posible si,

(3.13)

que constituye la ecuación de conservación de la masa (o ecuación de la continuidad) en forma diferencial. Formas alternativas de la Ec.(3.13) son,

∂ρ+v×∇ρ+ρ∇×v=0,

∂t

(3.14)

1 Dρ+∇×v=0.

ρ Dt

(3.15)

La Ec.(3.15) puede interpretarse en términos de cambio en el volumen de un volumen fluido. En efecto, la variación con el tiempo de un volumen fluido se puede escribir (con ayuda del teorema del transporte de Reynolds) como,

d dV

(t) dV

dVf= 0 +∫v × nds=

dt dt

∫(∇× v)dV,

(3.16)

y en definitiva,

Vf(t)

Sf(t)

Vf(t)

Lim

1 dVf

=

Lim

1 ∫(∇×v)dV=∇×v.

(3.17)

Vf→0

Vf→0 Vf

Por lo tanto

∇×v

representa la variación de la unidad de volumen en la unidad de tiempo, por lo que se llama también velocidad de dilatación cúbica unitaria.

1. Caso de fluidos incompresibles

Para fluidos incompresibles, aquellos que su densidad permanece constante, la ecuación de la continuidad en forma integral toma la forma,

dVc

+ ∫(v– vc)×nds= 0,

Sc(t)

(3.18)

donde la integral de superficie representa el flujo volumétrico, Q(t), a través de las paredes del volumen de control. La ecuación de la continuidad para fluidos incompresibles se reduce a,

∇ × v = 0.

1. Caso de movimientos estacionarios

En el caso del movimiento estacionario de un fluido compresible la ecuación de la continuidad se reduce a,

∇×(ρv)=0.

(3.20)

En este caso, el flujo másico G a través de cualquier sección de un tubo de corriente es constante. Para ver esto se toma un volumen de control limitado por la superficie del tubo de corriente ST y dos secciones transversales del tubo S1 y S2 , y la ecuación de la continuidad en forma integral nos proporciona,

∫ρv×nds=∫∇×(ρv)dV=0=

Sc Vc

∫ρv×nds,

ST+S1 +S2

(3.21)

pero por la propia definición de tubo de corriente se tiene,

∫ρv×nds=0,

ST

puesto que en ST es v× n = 0 . Por lo tanto se tiene,

-G1+G2=0; G1=G2,

(3.22)

siendo G1 y G2 los flujos másicos a través de las secciones S1 y S2 respectivamente (el signo menos en G1 se debe a que la normal a S1 y la velocidad forman un ángulo superior a 90º si el fluido entra por S1 ).

Podemos concluir por tanto que en el movimiento estacionario de un fluido compresible, el flujo másico a través de cualquier sección transversal al tubo es constante, si no hay singularidades en el recinto limitado por las paredes del tubo y las secciones transversales consideradas.

Si el fluido fuese incompresible ( ρo = ρ ) lo dicho para el flujo másico sería

también cierto para el volumétrico,

Q = G

ρo, en cada instante, puesto que en este

último caso no sería necesaria la restricción de movimiento estacionario.

Como consecuencia de lo anterior, un tubo de corriente no puede terminar en el interior de un fluido, ya que al ser G (ó Q) constante, al tender el área de la sección del

tubo de corriente a cero, sería a costa de que

ρv (ó v) tendiese a infinito. Por lo tanto

un tubo de corriente en el movimiento estacionario de un fluido compresible (o en el de un fluido incompresible aún siendo no estacionario) o bien se cierra sobre sí mismo, o bien termina en los límites del fluido o bien se extiende hasta el infinito.

1. Movimientos planos y bidimensionales. Función de corriente

En el caso del movimiento de un fluido incompresible o del movimiento estacionario de un fluido compresible, la ecuación de la continuidad se reduce a la divergencia nula de un vector.

• Fluido incomprensible:
• Movimiento estacionario fluido comprensible:

∇ × v = 0.

∇×(ρv)=0.

Si además suponemos que el movimiento es bidimensional o axilsimétrico, la divergencia se reduce a la suma de dos términos, en cuyo caso la ecuación de la continuidad se puede hacer cumplir mediante una función escalar ψ de la que se

obtienen las componentes de v o ρv

por derivación.

El procedimiento de obtención de ψ lo haremos para el movimiento bidimensional de un fluido incompresible, pero de modo análogo se podría hacer para los demás casos en que la ecuación de la continuidad se pueda escribir como suma de dos derivadas parciales.

En un movimiento bidimensional

v=(u,v,0)

donde u y v son independientes de la

coordenada z. La ecuación de la continuidad para un fluido incompresible se reduce a,

∇×v=∂u+∂v=0,

(3.23)

∂x ∂y

de modo que podemos definir una función escalar ψ tal que,

u = ∂ψ

∂y

; v = – ∂ψ,

∂x

(3.24)

Utilizando la función ψ, se cumple automáticamente la ecuación de la continuidad y se reduce el número de incógnitas, de dos variables dependientes: u y v, a una sola función escalar desconocida.

A la función ψ se le denomina función de corriente porque las líneas ψ=constante

son las líneas de corriente. En efecto,

dψ = ∂ψdx + ∂ψdy = –vdx + udy,

(3.25)

∂x ∂y

y para ψ=constante se tiene dψ=0, de modo que,

dψ = 0 ⟹

• vdx + udy = 0 ⟹

dx = dy,

(3.26)

u v

que es la ecuación de las líneas de corriente.

El flujo volumétrico (por unidad de longitud E a lo largo del eje z) a través de una línea que una dos puntos O y P, es independiente de la línea elegida para unir dichos puntos y se tiene,

QopE

p

=∫v×nds=

o

p

∫(unx – v ny)ds=

o

p

∫(udy – v dx)=

o

p

∫dψ = ψp –ψo.

(3.27)

Por lo tanto, la diferencia de valores de la función ψ entre dos puntos es igual al flujo volumétrico (por unidad de envergadura en la dirección Z) que atraviese una línea cualquiera que una esos dos puntos.

Obsérvese, que en el movimiento bidimensional estacionario de un fluido compresible, la función de corriente sería tal que,

con,

ρu = ∂ψ

∂y

; ρv = – ∂ψ,

∂x

(3.28)

p

ψp –ψo = ∫ρ(udy – v dx),

o

(3.29)

siendo

ψp – ψo

el flujo másico (por unidad de longitud) a través de una línea

cualquiera que una los puntos O y P.

En el caso más general de movimiento en coordenadas curvilíneas ortogonales se tiene,

Ñ × (r v ) º    1    ê

( 2   3

1 ) +

( 1  3

2 ) +

( 1  2          3 )

ú,

(3.30)

                é¶

h1h2h3 ë

h h r v

¶x1

¶ h h r v

¶x2

¶  h h r v  ù

¶x3               û

y si el movimiento es bidimensional nada depende de x3, de modo que la función de corriente será,

h  h  rv   = ¶y

2  3      1       ¶x

;     h1h3rv2

= – ¶y .

¶x1

Los factores de escala h1, h2 y h3 y las coordenadas x1 , x2 (y x3 ) en los casos más corrientes se han visto en el tema anterior.