Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos
1. Fórmula para Calcular la Distancia entre Dos Puntos Relacionada con el Producto Escalar de Dos Vectores
El módulo de un vector corresponde con la longitud de dicho vector (AB) y, por lo tanto, con la distancia entre el punto A y el punto B. Por lo tanto, |AB| = √(AB * AB)
2. Definición de Límite de una Función en un Punto, Continuidad de una Función en un Punto y Continuidad de una Función en un Intervalo. Ejemplos de Funciones Continuas y Discontinuas en un Intervalo
Ejemplo de función continua en un intervalo:
f(x) = x2 si x < 2; 4 si x ≥ 2 en el intervalo [0,4]
f(x) es continua por la izquierda en x = 0 y por la derecha en x = 4 por ser una función polinómica, es continua en toda ℝ.
lim x→-2 f(x) de x2 = 4; lim x→2 4 = 4; f(2) = lim x→2 f(x); lim x→2 f(x) = 4 :::: f(x) es continua en [0,4].
Ejemplo de función definida en un intervalo y no continua:
f(x) = sen x si x ≤ 0; 1 si x > 0 :::: no es continua en 0 porque f(0) = sen 0 = 0; lim x→0 f(x) no existe.
3. Criterio para Determinar si una Solución de una Ecuación es Estable o no
Una solución de la ecuación y = C se dice que es estable si toda solución y(t) que se aproxima a C en t = t0 sigue aproximándose cuando t ≥ t0.
4. Si la Función está Definida sobre un Intervalo Cerrado, ¿En qué Puntos se Alcanza el Máximo Absoluto? ¿En qué Puntos Alcanza el Máximo Absoluto una Función Constante?
La función tendrá un máximo absoluto en un punto crítico cuya derivada sea mayor. Una función constante no puede tener un máximo absoluto porque no crece ni decrece y porque su derivada es 0.
5. Límite de una Función en un Punto
Se dice que lim n→∞ an = b si para cualquier distancia (pequeña) ε cuando n es suficientemente grande (existe un m tal que para todo n ≥ m) la distancia de an a b es más pequeña que ε (|b – an| < ε)
6. Continuidad de una Función en un Intervalo
Una función f: ℝ → ℝ se dice que es continua en ∈ ℝ si lim x→a f(x) = f(a) <— Continuidad en un punto.
Se dice que f es continua en un intervalo [a,b] de ℝ si lo es en cada punto ∈ [a,b].
Por un intervalo [a,b] de ℝ entendemos todos los números reales entre a y b, es decir, todos los x ∈ ℝ tales que a ≤ x ≤ b.
7. Ecuación Diferencial Autónoma
Es un tipo de ecuación que se usa para modelar muchas situaciones que aparecen en biología. Las ecuaciones diferenciales autónomas son de la forma y’(t) = g(y).
8. Solución de una Ecuación
Una solución de la ecuación de y’(t) = g(y) es una solución constante. Son, por lo tanto, soluciones para las que y’(t) = 0, y como y’(t) = g(y), son soluciones para las que g(y) = 0.
9. Máximo Absoluto de una Función
Si f: [a,b] → ℝ es una función con derivada continua y tiene un máximo o mínimo (absoluto o relativo) en x0 ∈ ]a,b[, entonces f’(x0) = 0. Se dice entonces que x0 es un punto crítico de f.
Para saber si es un máximo absoluto me fijo en los puntos críticos y en los extremos a y b. Calculo f(a), f(b), f(x1), …, f(xn) y donde f sea más grande, ahí estará el máximo absoluto.
10. Integral Definida de una Función
Sea f: ℝ → ℝ, se llama integral definida de f a una función F: ℝ → ℝ, que denotaremos por F(x) = ∫ f(x) dx que verifique F’(x) = f(x).
11. Vector
Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al B (extremo).
12. Definición de la Pendiente de una Recta en el Plano. Ecuación de una Recta del Plano que no sea Vertical. Forma de la Ecuación de una Recta Vertical
Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x positivo. Por tanto, m = (y1 – y0) / (x1 – x0).
Ecuación general de la recta en el plano: y = mx + n
En una recta vertical, m = ∞. Por tanto, la ecuación de una recta vertical es de la forma x = c (pendiente infinita).
13. Modo Práctico de Determinar si una Solución de una Ecuación es Estable
Sea y = c una solución de la ecuación de y’ = g(y)
- Si dg/dy (c) > 0, y = c es INESTABLE
- Si dg/dy (c) < 0, y = c es ESTABLE
14. Definición de la Derivada de una Función f: ℝ → ℝ en un Punto a ∈ ℝ Usando Límites. Pendiente de la Recta Tangente a la Gráfica de una Función F(x)
La derivada de f: ℝ → ℝ se define por f’(x0) = lim x→x0 (f(x) – f(x0)) / (x – x0) =
lim n→0 (F(x0 + n) – f(x0)) / n = lim Δx→0 (f(x0 + Δx) – f(x0)) / Δx = lim Δx→0 Δy / Δx donde
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).
15. Relación entre la Primitiva (Integral Indefinida) de una Función F y la Integral Definida ∫ F(x) dx
F(x) = ∫ F(x) dx, si f’(x) = F(x)
16. Producto Escalar de Dos Vectores. Relación con la Distancia entre Dos Puntos y el Ángulo que Forman Dos Vectores
El producto escalar de dos vectores v = (a,b) y w = (c,d) del punto es el número real v * w = ac + bd.
Si lo relacionamos con dos puntos (a,b) y el ángulo que forman dos vectores:
u * v = |u| * |v| cos α, α = ángulo (u,v)
17. Máximo Absoluto y Máximo Relativo de una Función. Ejemplos
Se dice que a es un máximo relativo de una función cuando f(a) es mayor que los puntos próximos al punto a. Es decir, un máximo relativo (a) es un punto cuya derivada f(a) es mayor que los puntos próximos al punto a. Por tanto, un máximo absoluto de una función será, de entre los máximos relativos, aquel cuya f(a) sea mayor.
Ejemplo: Montañita pequeña (máximo relativo), montañita grande (máximo absoluto).
18. Soluciones de una Ecuación Diferencial de Orden Dos. Condiciones para que la Solución sea Única
Una ecuación diferencial de orden dos tendrá dos soluciones independientes. Para que la solución fuese única pondría n condiciones iniciales, en este caso n = 2.
19. Integral Definida de una Función. Diferencia y Relación con la Integral Indefinida de una Función
Sea f: ℝ → ℝ, se llama integral definida de f a una función F: ℝ → ℝ, que denotaremos por F(x) = ∫ F(x) dx que verifique F’(x) = f(x).
Relación: f(x) = ∫ F(x) dx, si f’(x) = F(x)
20. Definición del Producto Escalar de Dos Vectores y sus Propiedades más Importantes
El producto escalar de 2 vectores v = (a,b) y w = (c,d) del plano es el número real v * w = ac + db.
Propiedades:
- u * (v + w) = u * v + u * w
- u * v = v * u
- (λu) * v = λ (u * v)
- |λu| = |λ| |u|
21. Definición del Número e como un Límite. Definición del Seno y el Coseno Hiperbólicos
e = lim n→∞ (1 + 1/n)n
sh x = (ex – e–x) / 2
ch x = (ex + e–x) / 2
22. Ecuación de la Recta Tangente a la Gráfica de una Función en un Punto a Partir del Concepto de Derivada como Pendiente
Comenzamos considerando la recta que pasa por (x,f(x)) y (x + Δx, f(x + Δx)). Si (x|, y|) son las coordenadas de un punto genérico de la recta, su ecuación es (x| – x) / Δx = (y| – f(x)) / (f(x + Δx) – f(x)), de donde se obtiene
y| – f(x) = (f(x + Δx) – f(x)) / Δx (x| – x),
que podemos poner en la forma estándar y = mx + n,
así: y| = (f(x + Δx) – f(x)) / Δx x| + f(x) – (f(x + Δx) – f(x)) / Δx * x.
Para obtener la ecuación de la recta tangente, tomamos límites cuando Δx → 0, y obtenemos:
y| = f’(x)x| + (f(x) – f’(x)x), ecuación que muestra que f’(x) es la pendiente de la recta tangente a f (a la gráfica de f) en x.
23. Ecuación Diferencial. Número de Soluciones. Dependencia de la Solución de una Ecuación Diferencial de Constantes. Condiciones para que la Solución sea Única
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que la incógnita es una función y que contiene la incógnita y, la variable x de la que depende la incógnita y las derivadas y(n) de la incógnita. Es decir, es una expresión de la forma: F(x,y,y’,…y(n))
Una ecuación diferencial tendrá tantas soluciones como nos indique el orden de la ecuación.
Una ecuación diferencial de orden n tendrá una solución general que dependerá de n constantes.
Se pueden dar dos condiciones:
- Iniciales: fijan el valor de la función y sus derivadas hasta el orden n – 1 si la ecuación diferencial es de orden n en un punto dado x0.
- Contorno: fijan los valores de la función en los extremos de un intervalo.