Espacios Vectoriales: Definiciones y Propiedades Fundamentales

Sea E un conjunto. Se dice que (E,+,·) es un espacio vectorial sobre R (o un R-espacio vectorial) si + y · son dos operaciones definidas sobre E que verifican:

• + es una operación interna (suma de vectores)
• · es una operación externa (producto por escalar)

Subespacios Vectoriales

Sea E un R-espacio vectorial. Diremos que E’ ⊂ E es un subespacio vectorial de E si ∀u, v ∈ E’ y ∀λ, μ ∈ R se verifica que: λu + μv ∈ E’.

Combinación Lineal

Sea E un R espacio vectorial y sean e₁, e₂,…, e_p ∈ E. Llamaremos combinación lineal de los vectores e₁, e₂,…, e_p a todo vector de la forma: λ₁e₁ + λ₂e₂ + … + λ_pe_p donde λ₁, λ₂,…λ_p ∈ R son escalares cualesquiera.

Dependencia e Independencia Lineal

Sea E un R espacio vectorial. Se dice que los vectores e₁, e₂,…, e_p son linealmente dependientes (l.d.) si alguno de ellos es combinación lineal de los demás. En caso contrario diremos que e₁, e₂,…, e_p son linealmente independientes (l.i.). Se dice que e depende linealmente de e₁, e₂,…, e_p si y sólo si e ∈ (e₁, e₂,…, e_p).

Sistemas Generadores y Bases

Sea E un R espacio vectorial. Si {e₁,…, e_q} es un sistema generador de E y {e’₁,…, e’_p} son linealmente independientes, entonces se verifica que p ≥ q.

E se dice de tipo finito si existe un sistema generador formado por un número finito de vectores.

Definición de Base

Sea E de tipo finito. Se dice que los vectores {e₁,…, e_n} forman una base si:

1. Son generadores.
2. Son linealmente independientes.

Dimensión de un Espacio Vectorial

Se llama dimensión de un R espacio vectorial, E, al número de vectores que forman una base del mismo. Se denota dim E. (Si E = {0} entonces dim(E) = 0).

Ejemplos de Bases

• La base canónica en el espacio Rⁿ.
• La base canónica en el espacio M_mxn(R).
• La base canónica en el espacio R_n[x].
• Una base del espacio de matrices cuadradas simétricas de orden 2.
• Una base del subespacio E’.
• Una base de E’.

Suma de Subespacios

Sea E un R-espacio vectorial y sean E₁ y E₂ subespacios de E. Se llama suma de subespacios de E₁ y E₂, y se denota E₁ + E₂, al conjunto:

E₁ + E₂ = {e₁ + e₂ : e₁ ∈ E₁, e₂ ∈ E₂}.

Suma Directa

Se dice que E₁ y E₂ están en posición de suma directa y se denota E₁ ⊕ E₂ si todo vector de E₁ + E₂ se escribe de forma única como suma de un vector de E₁ y otro de E₂.

∀e₁, e’₁ ∈ E₁, ∀e₂, e’₂ ∈ E₂ : e₁ + e₂ = e’₁ + e’₂ ⇒ e₁ = e’₁ y e₂ = e’₂.

Aplicaciones Lineales

Sean E, E’ dos R espacios vectoriales. Se dice que f : E → E’ es una aplicación lineal (u homomorfismo de R-espacios vectoriales) si:

f(λ₁e₁ + λ₂e₂) = λ₁f(e₁) + λ₂f(e₂) ∀e₁, e₂ ∈ E, ∀λ₁, λ₂ ∈ R.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f : E → E’ una aplicación lineal.

• Se llama Núcleo de f y se denota por Ker f, al conjunto: Ker f = {e ∈ E : f(e) = 0_E’}.
• Se llama Imagen de f y se denota por Im f, al conjunto: Im f = {e’ ∈ E’ : ∃e ∈ E con f(e) = e’}.

Isomorfismos

Se dice que una aplicación lineal f : E → E’ es un isomorfismo cuando es biyectiva.

Sea f : E → E’ aplicación lineal:

• f es isomorfismo si: ker f = 0_E y im f = E’.
• f es isomorfismo, dim E = dim Im f = dim E’.
• La composición de isomorfismos es isomorfismo.
• Si f : E → E’ es isomorfismo también lo es f^-1.
• Si dim E = n, entonces E es isomorfo a Rⁿ.

Matriz Asociada a una Aplicación Lineal

Sea E un espacio vectorial, y sean B y B’ bases de E. Se llama matriz de cambio de base de la base B a la base B’ a la matriz M_Id(B’, B), donde Id denota el homomorfismo identidad.

Matrices Equivalentes y Semejantes

• Diremos que dos matrices A y A’ ∈ M(m x n) son equivalentes si están asociadas a la misma aplicación lineal en distintas bases.
• Las matrices cuadradas A y A’ ∈ M(n x n) se dicen semejantes si están asociadas al mismo endomorfismo.

Valores y Vectores Propios

Sea f : E → E un endomorfismo. Se dice que λ ∈ R es un valor propio de f si existe e ∈ E con e ≠ 0, tal que f(e) = λe. Se dice que e ∈ E es un vector propio asociado al valor propio λ si f(e) = λe.

Polinomio Característico

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama polinomio característico de A al polinomio:

C_A(x) = det(A – x Id) = |A – x Id|.

Dada una matriz cuadrada de orden n se dice que λ ∈ R es un valor propio de A, si λ es raíz de su p.caract, es decir C_A(λ) = det(A – λ Id) = 0.

Multiplicidad Geométrica y Algebraica

Sea λ un valor propio de f, entonces se definen:

• Multiplicidad geométrica de λ, Mg(λ), a la dimensión del subespacio V(λ).
• Multiplicidad algebraica de λ, Ma(λ) a la multiplicidad de λ como raíz de C_A(x).

Diagonalización

Sea f : E → E’ endomorfismo. Se dice que f es diagonalizable si existe una base en la que la matriz asociada a f es diagonal. Sea A matriz cuadrada, se dice que A es diagonalizable si A es semejante a una matriz diagonal, es decir existen P regular y D diagonal tal que D = P^-1AP (ó A = PDP^-1).

Sea f : E → E un endomorfismo, con dim E = n, y A la matriz asociada en cualquier base. Entonces f es diagonalizable si existe una base de E formada por valores propios de f y si Mg(λ₁) = Ma(λ₁) y Ma(λ₁) + … + Ma(λ_p) = n.

Propiedades Adicionales y Demostraciones

Sea E un R-espacio vectorial, sean e₁, e₂,…, e_p ∈ E y sean λ₁, λ₂,… λ_p ∈ R. Se verifica que λ₁e₁ + λ₂e₂ + … + λ_pe_p ∈ E. (Para demostrar la proposición simplemente hay que aplicar la propiedad asociativa de la suma de vectores).

Demostración de Subespacio Generado

Sean u, v ∈ (e₁,…, e_p), y sean λ, μ ∈ R. Hemos de probar que λu + μv ∈ (e₁,…e_p). Como u = λ₁e₁ + … + λ_pe_p y v = μ₁e₁ + … + μ_pe_p tenemos que:

λu + μv = (λλ₁ + μμ₁)e₁ + … + (λλ_p + μμ_p)e_p ∈ (e₁,…e_p).

Dependencia e Independencia Lineal (Demostraciones)

• Dependencia Lineal: e₁, e₂,…, e_p son l.d. si y solo si existe una combinación lineal no trivial de ellos igual al vector cero. ∃λ₁,…, λ_p con algún λ_i ≠ 0 tal que λ₁e₁ + … + λ_pe_p = 0.
• Independencia Lineal: e₁, e₂,…, e_p son l.i. si y solo si la única combinación lineal de ellos igual al vector cero es la trivial (todos los coeficientes nulos). λ₁e₁ + λ₂e₂ + … + λ_pe_p = 0 ⇒ λ₁ = λ₂ = … = λ_p = 0.

Rango de un Sistema de Vectores

Sea E un R-espacio vectorial, y {e₁,…, e_p} un sistema de vectores. rang(e₁,…, e_p) es el mayor número de vectores l.i. en {e₁,…, e_p}.

• {e₁,…, e_p} son l.i. ⇒ rang(e₁,…, e_p) = p
• {e₁,…, e_p} es s.g. ⇒ rang(e₁,…, e_p) = dim E.

Sistema Generador de la Suma de Subespacios

Si {e₁,…, e_p} es un sistema generador de E₁ y {e’₁,…, e’_q} es un sistema generador de E₂, entonces {e₁,…, e_p, e’₁,…, e’_q} es un sistema generador de E₁ + E₂.

Dado e ∈ E₁ + E₂, por definición e = u₁ + u₂, siendo u₁ ∈ E₁ y u₂ ∈ E₂. Utilizando que los sistemas {e₁,…, e_p} y {e’₁,…, e’_q} son generadores podemos escribir:

e = u₁ + u₂ = (λ₁e₁ + … + λ_pe_p) + (μ₁e’₁ + … + μ_qe’_q) lo cual prueba el resultado.

Propiedades de la Suma de Subespacios

• E₁ + E₂ es el menor subespacio que contiene a E₁ y E₂.
• Demostración:
  1. E₁ + E₂ es subespacio. Es fácil comprobar que cualquier combinación lineal de elementos de E₁ + E₂ pertenece a E₁ + E₂.
  2. E₁ + E₂ es el menor subespacio que contiene a E₁ y a E₂. Si E₀ es un subespacio que contiene a E₁ y a E₂ debe contener sus combinaciones lineales, en particular a e₁ + e₂ con e₁ ∈ E₁, e₂ ∈ E₂ es decir, E₁ + E₂ ⊂ E’.

Matrices Semejantes y Determinantes

A y A’ son semejantes ⇒ det(A) = det(A’).

Demostración: Usando la proposición anterior y tomando determinantes obtenemos:

A’ = P^-1AP ⇒ det(A’) = det(P^-1AP) = det(P^-1)det(A)det(P) y como det(P^-1) = [det(P)]^-1 concluimos: det(A’) = det(A).

Valores Propios y Endomorfismos

Proposición 1: Sea f : E → E endomorfismo. λ es el valor propio de f ⇔ f – λId : E → E no es inyectiva.

Demostración: λ es v.p de f ⇔ ∃e ≠ 0, f(e) = λe ⇔ (f – λId)(e) = 0 ⇔ e ∈ ker(f – λId) no es inyectiva.

Polinomio Característico de Matrices Semejantes

Si A y A’ son matrices semejantes entonces tienen el mismo polinomio característico.

Demostración: Si A y A’ son semejantes existe P no singular tal que A’ = P^-1AP. Entonces C_A’(x) = det(A’ – x Id) = det(P^-1AP – x Id) = det(P^-1(A – x Id)P) = det(P^-1)det(A – x Id)det(P) = det(A – x Id) = C_A(x).

Valores Propios de Endomorfismos y Matrices Asociadas

Sea f : E → E un endomorfismo, y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera. Entonces λ es valor propio de f ⇔ λ es valor propio de A.

Demostración: λ es v.p de f ⇔ (f – λID) no es inyectiva ⇔ (f – λID) no es isomorfismo ⇔ det(A – λID) = 0 ⇔ λ es v.p. de A.

Suma de Dimensiones de Subespacios Propios

Si λ₁, … λ_p son los valores propios de f, entonces el número de vectores propios l.i. en E es: dim V(λ₁) + … + dim V(λ_p) = Mg(λ₁) + … + Mg(λ_p) ≤ n.

Demostración: Basta con tener en cuenta que: V(λ₁) ⊕ … ⊕ V(λ_p). Por otra parte como consecuencia de la proposición de la página anterior: Mg(λ₁) + … + Mg(λ_p) ≤ Ma(λ₁) + … + Ma(λ_p) ≤ n.

Potencias de Matrices Diagonalizables

Si A es una matriz cuadrada diagonalizable, es decir D = P^-1AP, donde D es una matriz diagonal, entonces Aⁿ = PDⁿP^-1.

Demostración: Por inducción sobre n. El caso 1 es cierto y si A^k = PD^kP^-1 entonces: A^k+1 = AA^k = PDP^-1PD^kP^-1 = PD^k+1P^-1.

Matrices Simétricas y Diagonalización

Si A es una matriz simétrica (con coeficientes reales) se verifica:

• Todas las raíces de C_A(x) son reales.
• A es diagonalizable.