Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

• Propiedad Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A
• Elemento Simétrico (Matriz Opuesta): -A + A = 0
• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un Número Real por una Matriz

• t * (A + B) = t * A + t * B
• (t * s) * A = t * (s * A)
• 1 * A = A

Producto de Matrices

• Propiedad Asociativa: (A * B) * C = A * (B * C)
• Distributividad respecto a la Suma: (A + B) * C = AC + BC
• No Conmutatividad: En general, el producto de matrices NO es conmutativo; AB ≠ BA

Matriz Transpuesta

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (s * A)^t = s * A^t
• (A * B)^t = B^t * A^t
• (Aⁿ)^t = (A^t)ⁿ

Determinantes

• Si en una matriz se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
• Si en una matriz se multiplica una fila o una columna por un número real, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz inicial multiplicado por ese número real.
• El determinante de una matriz con una fila o columna cuyos elementos sean 0 es 0.
• El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es 0.
• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos situados en la diagonal principal.

Valores y Vectores Propios. Ecuación Característica

• Se dice que un vector X distinto de 0 es un vector propio de A si existe un escalar λ ∈ ℝ tal que A * X = λ * X.
• Se dice que λ ∈ ℝ es un valor propio de A si existe un vector X ≠ 0 tal que A * X = λ * X.
• Proposición 1: A cada valor propio le corresponden infinitos vectores propios.
• Proposición 2: A cada vector propio le corresponde un único valor propio.

Definiciones

• Al conjunto de vectores propios asociados al valor propio λ se le llama subespacio propio: S(λ). La dimensión del subespacio propio se calcula como: Dim S(λ) = n – Rg(A – λI), donde n es el orden de la matriz.
• Al polinomio |A – λI| se le llama polinomio característico.
• La ecuación |A – λI| = 0 se llama ecuación característica.

Diagonalización de Matrices Cuadradas

• Una matriz A es diagonalizable si existe una matriz regular P tal que P^-1 * A * P = D, donde D es una matriz diagonal.
• Dos matrices A y B se dicen semejantes cuando B = P^-1 * A * P.
• Teorema 1: Si A tiene n vectores linealmente independientes, entonces A es diagonalizable.
• Teorema 2: Si A tiene n valores propios simples (distintos), entonces A es diagonalizable.
• Teorema 3: Si la dimensión del subespacio propio (Dim S(λ)) coincide con la multiplicidad del valor propio (número de veces que está repetido un valor propio), entonces A es diagonalizable.
• Si X es un vector propio asociado al valor propio λ, entonces k * X también es un vector propio asociado al mismo λ.
• Si A es diagonalizable, entonces existe una matriz regular P tal que P^-1 * A * P = D. Esto implica que A * P = D * P y Aⁿ = P * Dⁿ * P^-1.
• Si A es diagonalizable tal que P^-1 * A * P = D, entonces A = P * D * P^-1.

Matrices Simétricas

• Toda matriz simétrica es siempre diagonalizable. Además, se puede encontrar una matriz ortogonal P tal que P^t * A * P = D.
• Si A es semejante a B (P^-1 * A * P = B), entonces A y B tienen los mismos valores propios, y |A – λI| = |B – λI|.

Formas Cuadráticas

Definición: Expresión Polinómica y Matricial

Se dice que una forma cuadrática Q es una aplicación de ℝⁿ en ℝ que transforma a todo vector X en un número real dado por la siguiente expresión:

Q(x₁, x₂, …, x_n) = X^t * A * X

Clasificación de Formas Cuadráticas

Según los valores propios o el método de completar cuadrados, una forma cuadrática Q se clasifica como:

• Definida Positiva: Si Q(x) > 0 para todo x ≠ 0.
• Definida Negativa: Si Q(x)
• Semidefinida Positiva: Si Q(x) ≥ 0 para todo x.
• Semidefinida Negativa: Si Q(x) ≤ 0 para todo x.
• Indefinida: Si existen vectores x e y tales que Q(x) > 0 y Q(y)

Matrices Congruentes

Dos matrices A y B son congruentes si existe una matriz regular P tal que P^t * A * P = B.

A^k = λ^k

Definición con Menores Principales