Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Matriz: Es un conjunto ordenado de números dispuestos en filas y columnas. Si tenemos m filas y n columnas, diremos que es de orden o dimensión m x n.

Matriz Inversa: Dada una matriz A de orden n, llamaremos matriz inversa de A, a una matriz A^-1 que verifica que A·A^-1=A^-1·A=I. No siempre existe A^-1. Si una matriz A tiene inversa se dice que es regular y si no, singular.

Propiedades de las Matrices

Trasposición:

Propiedades:

1. Asociativa: (AB)C=A(BC)
2. El producto no es conmutativo: AB≠BA
3. Elemento neutro: AI=IA=A
4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AB = BA = I_n. En caso de que exista, la llamaremos inversa de A y la designaremos A^-1. Dos matrices son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n.
5. Distributiva: Por la izquierda A(B+C) = AB + AC. Por la derecha (B + C)A = BA + CA

Determinantes

Se llama determinante de A al número real obtenido de la siguiente forma: producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Regla de Sarrus:

Los elementos con signo positivo están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice. Análogamente, se forman los productos con signo negativo tomando como referencia la diagonal secundaria.

Propiedades de los Determinantes

1. Determinante de la matriz traspuesta: El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta |A| = |A^t|. Por lo que todas las propiedades válidas para filas lo son también para columnas.
2. Descomponer en una suma: Si los elementos de una fila de una matriz cuadrada se pueden descomponer en suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las líneas excepto la línea de descomposición, en la que en el primer determinante tiene el primer sumando y el segundo determinante el segundo sumando del inicial.
3. Multiplicación por un número: Si se multiplican todos los elementos de una fila por un número k, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Consecuencia: Si A es de orden n. Esto permite sacar fuera del determinante los factores comunes de una línea.
4. Determinante del producto de dos matrices: El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes. |AB| = |A| |B|
5. Cambiar dos líneas paralelas: Si cambiamos entre sí dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
6. Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
7. Si una matriz cuadrada tiene dos filas iguales, su determinante vale cero.
8. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante vale cero.
9. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas o columnas, su determinante vale cero.

Consecuencia:

Si las filas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, entonces su determinante vale cero.

1. Si a una fila de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
2. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

Posiciones de los Planos

Caso 1: Rango(A)=1 – Rango(Am)=2. Sistema Incompatible (S.I.). No hay puntos en común.

Caso 2: Rango(A)=1 – Rango(Am)=1. Menor que el número de incógnitas. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.). Todos los planos coincidentes.

Caso 3: Rango(A)=2 – Rango(Am)=2. Menor que el número de incógnitas. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.). Se cortan en una recta.

Caso 4: Rango(A)=3 – Rango(Am)=3 = Nº incógnitas. Sistema Compatible Determinado (S.C.D.).

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema es compatible si el rango de la matriz de los coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (Am) con la columna de los términos independientes y recíprocamente.

Si el sistema es compatible, el rango de la matriz del sistema indica el número de ecuaciones independientes. Entonces será: Compatible determinado si el número de incógnitas es igual al rango. Compatible indeterminado si el número de incógnitas es mayor que el rango.

Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple las siguientes condiciones:

1. Tiene n ecuaciones y n incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema es distinto de cero.

Un sistema de Cramer es por definición compatible, ya que rango de (C1, C2, …, Cn) = rango de (C1, C2, …, Cn, B).

Método de Gauss

Consiste en transformar la matriz del sistema en otra que tenga nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal. Es decir, se trata de transformar un sistema de ecuaciones en otro escalonado, para obtener los valores de las incógnitas, sucesivamente, de abajo a arriba, resolviendo primero la última ecuación y así sucesivamente hasta la primera. Para conseguir transformar un sistema de ecuaciones en otro escalonado se efectúan:

1. Multiplicar una ecuación por un número distinto de 0.
2. Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
3. Intercambiar ecuaciones.
4. Cambiar de orden las incógnitas.
5. Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las restantes.