Si es función racional: no existe dominio cuando el denominador se anula.
Si es función radical: no existe dominio cuando el radicando se hace negativo. (Estudiar regiones del radicando)
PUNTO 2. PERIODICIDAD.
Las funciones trigonométricas son periódicas.
f (x+T ) =
f (x);»xÎ R
Par:
f (-x) =
f (x);»xÎ R
PUNTO 3. SIMETRÍA.
Impar:
f (-x) =- f (x);»x Î R
PUNTO 4. ASÍNTOTAS.
Verticales: x=a
lim f (x) =±∞
x→a
En las funciones racionales son asíntotas verticales los polos de la función.
Horizontales: y=k
lim
x→±∞
f (x) = k Î R
Oblícuas: y=mx+n
m= lim
x→±∞
f (x)=k ÎR –{0}
x
n= lim ( f (x) – mx) = k Î R
x→±∞
Con eje OX: Con eje OY:
f (x) = 0
x = 0
PUNTO 5. PUNTOS DE CORTE Y SIGNO DE LA FUNCIÓN.
x=a. Los puntos de corte serán de la forma (a,0) Los puntos de corte serán de la forma (0, f(0))
Signo de la función: Regiones de f(x) con puntos de corte OX y asíntotas verticales (si las hay).
Si f (x) 0 la función está por debajo del eje OX.
Si f (x) > 0
la función está por encima del eje OX.
PUNTO 6. EXTREMOS RELATIVOS. CRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN.
f ´(x) = 0 . Calculamos los valores de x. (x=a) ESTOS SERÁN POSIBLES MÁXIMOS O MÍNIMOS.
Sustituimos x=a en
f (x) . Los posibles máximos o mínimos serán de la forma (a, f (a))
Calculamos
f ´´(x)
y sustituimos por x=a.
Si f ´´(a) 0
Si f ´´(a) >0
será un MÁXIMO será un MÍNIMO
Crecimiento y decrecimiento: Regiones de f´(x) con valores máximos y mínimos (x=a) y asíntotas
verticales (si las hay)
Si f ´(x) 0
Si f ´(x) >0
la función es decreciente. la función es creciente.
PUNTO 7. PUNTOS DE INFLEXIÓN. CURVATURA DE LA FUNCIÓN.
f ´´(x) = 0 . Calculamos los valores de x. (x=a) ESTOS SERÁN PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Sustituimos x=a en
f (x) . Los puntos de inflexión serán de la forma (a, f (a))
Curvatura de la función: Regiones de f´´(x) con puntos de inflexión (x=a) y asíntotas verticales (si las hay)
Si f ´´(x) 0
Si f ´´(x) >0
la función será cóncava hacia abajo (convexa) la función será cóncava hacia arriba (cóncava)
PUNTO 8. GRÁFICA.
Dibujamos con todos los datos anteriores la gráfica de la función.
PUNTO 9. IMAGEN O RECORRIDO.
Observando la gráfica, escribimos el intervalo o intervalos en los que la función tiene imagen.
PUNTO 3. SIMETRÍA.
Par:f (-x) =f (x);»xÎ R
Impar:f (-x) =- f (x);»x Î R
PUNTO 4. ASÍNTOTAS.
Verticales: x=a
lim f (x) =±∞
x→a
Horizontales: y=k
lim
x→±∞
f (x) = k Î R
Oblícuas: y=mx+n
m= lim
x→±∞
f (x)=k ÎR –{0}
x
n= lim ( f (x) – mx) = k Î R
x→±∞
Con eje OX: Con eje OY:
f (x) = 0
x = 0
PUNTO 5. PUNTOS DE CORTE Y SIGNO DE LA FUNCIÓN.
x=a. Los puntos de corte serán de la forma (a,0) Los puntos de corte serán de la forma (0, f(0))
Signo de la función: Regiones de f(x) con puntos de corte OX y asíntotas verticales (si las hay).
Si f (x) 0 la función está por debajo del eje OX.
Si f (x) > 0
la función está por encima del eje OX.
PUNTO 6. EXTREMOS RELATIVOS. CRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN.
f ´(x) = 0 . Calculamos los valores de x. (x=a) ESTOS SERÁN POSIBLES MÁXIMOS O MÍNIMOS.
Sustituimos x=a en
f (x) . Los posibles máximos o mínimos serán de la forma (a, f (a))
Calculamos
f ´´(x)
y sustituimos por x=a.
Si f ´´(a) 0
Si f ´´(a) >0
será un MÁXIMO será un MÍNIMO
Crecimiento y decrecimiento: Regiones de f´(x) con valores máximos y mínimos (x=a) y asíntotas
verticales (si las hay)
Si f ´(x) 0
Si f ´(x) >0
la función es decreciente. la función es creciente.
PUNTO 7. PUNTOS DE INFLEXIÓN. CURVATURA DE LA FUNCIÓN.
f ´´(x) = 0 . Calculamos los valores de x. (x=a) ESTOS SERÁN PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Sustituimos x=a en
f (x) . Los puntos de inflexión serán de la forma (a, f (a))
Curvatura de la función: Regiones de f´´(x) con puntos de inflexión (x=a) y asíntotas verticales (si las hay)
Si f ´´(x) 0
Si f ´´(x) >0
la función será cóncava hacia abajo (convexa) la función será cóncava hacia arriba (cóncava)
PUNTO 8. GRÁFICA.
Dibujamos con todos los datos anteriores la gráfica de la función.
PUNTO 9. IMAGEN O RECORRIDO.
Observando la gráfica, escribimos el intervalo o intervalos en los que la función tiene imagen.
MODELO CARTA INGLÉS
Nombre de la compañía: Tu dirección:Dirección de la compañía: Tu telefono:País de la compañía: Fecha:For (cargo).Dear Sir/Madam,We look forward to heaving from you.Yours faithfully,Tu nombre:Tu cargo:Tu empresa:EMPLOYMENT:1) I would like to apply for the post of …. wide advertised in … . I wish to apply for the …. which was 2) I am currently a … . I have … I am familiar with … . 3) Prior to taking over my current post. I worked for …. where I was … .4)My experience in the …5)Please let me know if there is any further information you.I look forward to hearing from you.Yours sincerely.LETTERS OF COMPLAINT AND REPLIESFor the … of the Sales Manager.Dear…1)I am (complaining, writing, referring) regarding the consignment of … which was delivered on … / 1) I am writing negading the … (escribo respecto a )2)It was clearly stated on the order from that …. In addiction, … / 2) The nature of my complaint is (el origen de mi queja es )3) Could you please send one of your representatives to … (por favor mandar a un representante para)QUESTIONS AND ORDERS (CITAS Y PEDIDOS)1) Thank you for your …(fax o email..) of ..(fecha), in which you express an interest for… ( Gracias por su carta del .. en la que muestra su interes por…)2) We can offer a … This includes a …3) Payment may be (done, made, spent)…..Please let us know how you would like to arrange payment.Please allow six weeks for delivery. We look forward to hearing form you again soon.your sincerely.
ENQUIRIES AND REPLIES (PREGUNTAS Y RESPUESTAS)For the … of the Sales Manager.Dear Sir or…1) We are a … in … . We are interested in … with your … 2) Could you please … with your…3)We look forward to hearing from you.Yours faithfully .
EMPLEO: 1) Me gustaría solicitar la posición de la publicidad amplia …. …. Deseo solicitar para el que fue …. 2) Actualmente soy …. Soy … Estoy familiarizado con …. 3) Antes de hacerse cargo de mi posición actual. Trabajé para …. donde estaba …. 4) Mi experiencia … 5) Por favor, háganmelo saber si hay alguna información adicional que. Espero oír de usted. Tuyo sinceramente. Cartas de queja y Respuestas … Para el gerente de ventas. Querido… 1) Estoy (quejando, escribiendo, haciendo referencia) con respecto al juego … que fue emitido el … / 1) Estoy escribiendo negading la … (escribo en comparación a) 2) Se establece claramente en el orden que …. En adicción, … / 2) La naturaleza de mi queja es (la fuente de mi queja) 3) ¿Podría por favor enviar a uno de sus representantes para … (por favor, envíe un representante de la ONU) Consultas y pedidos (ofertas y pedidos) 1) Gracias por su … (correo electrónico o fax ..) de .. (Fecha), en la cual manifiesta un interés … (Gracias por su carta .. En Mostrando su interés ..). 2) Podemos ofrecer … Esto incluye un … 3) El pago se puede (hecho, hecho, se ha ido) ….. Por favor, háganos saber cómo le gustaría para organizar el pago. Por favor permita seis semanas para la entrega. Esperamos oír formulario de nuevo pronto. Tuyo sinceramente. Preguntas y respuestas (Q & A) … Para el gerente de ventas. Estimado señor o … 1) Somos una … en …. Estamos interesados en … con … 2) ¿podría por favor … con … 3) Esperamos con interés escuchar de usted. Atentamente
EJERCICIOS EXAMEN 1.find 2. 3.let 4.reading 5.attetion 6.before 7.as 8.else 9.moment 10.forgot 11.have 12.back/over 13.would 14.could 15.don’t forgetDear parkersWe are an assemblers company married. Before assemblers from youdan. we are looking for … on company with few electronics things.
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