Modelos Estadísticos: Poisson, Hipergeométrico, Uniforme, Exponencial y Normal

Modelo de Poisson

Este modelo es aplicable a muchos procesos que ocurren a determinado evento por unidad de tiempo, volumen, área, etc. Por ejemplo: número de accidentes por semana, número de personas que llegan a un banco en una hora.

x: Número de veces que ocurre el evento por unidad de tiempo.
Distribución acumulada: P(x=x)e^-λ•λ.
E(x): x promedio por año. λ = x (modelo de Poisson).
V(x) = λ.
Recorrido de x: (0, 1, 2, 3…).

Ejemplos:

A lo más 2 por año: P(x ≤ 2).
A lo menos 2 por año: P(x ≥ 2), P(x ≥ 2) = 1 – P(x ≤ 2).

Modelo Hipergeométrico

Este modelo es aplicable en una población dicotomizada de N elementos, los cuales M pertenecen a una clase de interés y el resto (N-M) pertenecen a la clase complementaria. De esta población se extrae una muestra aleatoria (m.a.) sin reemplazo.

x: Número de elementos que pertenecen a la clase de interés en la muestra de tamaño n.
P(x=x) = MC_x • N-(M)•C(n-x) / NCn.
Recorrido de x: (0, 1, 2… min).
Esperanza E(x) = n • (M/N).
V(x) = n • (M/N).
N: Tamaño poblacional.
n: Tamaño de muestra sin reemplazo.
M: Número en el lote.

Modelos de Población en Variable Aleatoria Continua (V.A.C.)

1. Modelo Uniforme

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido está en a ≤ x ≤ b.

f(x) densidad = 1 / (b – a).
Recorrido: a ≤ x ≤ b.
Función de distribución acumulada de x: P(x ≤ x) = (x – a) / (b – a).
E(x) = (a + b) / 2.
V(x) = (b – a)² / 12.

2. Modelo Exponencial

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido está en los R⁺.

f(x) de densidad = λe^-λx.
Recorrido de x: x ≥ 0, donde λ es una constante que pertenece a los R⁺ (x ≥ 0) y e es una función exponencial.
Función de distribución acumulada de x: P(x ≤ x) = 1 – e^-λx.
Recorrido: x ≥ 0.
E(x) = 1 / λ.
V(x) = 1 / λ².

3. Modelo Normal o de Gauss

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido pertenece a los R⁺, x ≥ 0.

f(x) de densidad = 1 / (σ√(2π)) • e^{(-1/2) • ((x – μ) / σ)²}.
Recorrido: R⁺ (x ≥ 0).
Se anota x ~ N(μ; σ²), donde μ es la media poblacional y σ² es la varianza poblacional.
Se anota z = (x – μ) / σ.
x: tiempo.
El valor que da z se busca en la tabla. Ejemplo: si da 0.79, es 80%.
Para la probabilidad: 1 – P(z ≤ (b – μ) / σ) es B… P(z ≤ (a – μ) / σ) es A.

Otros Modelos

1. Modelo Chi-Cuadrado

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido es los R⁺. Se anota x ~ χ²(n); n = probabilidad de libertad (parámetro).

2. Modelo t-Student

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido es R⁺. Se anota x ~ t(n); n = probabilidad de libertad (parámetro).

3. Modelo F de Snedecor

Sea x una v.a.c. cuyo recorrido es R⁺. Se anota x ~ F(n1; n2); n1 = grado de libertad del numerador (parámetro), n2 = grado de libertad del denominador (parámetro).

Distribuciones Muestrales

1. Muestra Aleatoria

Sea (x1, x2… xn) de tamaño (n) una variable aleatoria independiente con f(x) de probabilidad. La distribución es f(x1) • f(x2) … f(xn).

2. Estadígrafo

Es una función de variable aleatoria que presenta parámetros desconocidos. Sea x1, x2… xn, m.a.(n) donde una distribución N(μ; σ²). El estadígrafo es Σⁿ_i=1x_i, Σⁿ_i=1(x_i – x̄)². x̄ = Σⁿ_i=1x_i / n. No es estadígrafo Σⁿ_i=1(x_i – μ)², Σⁿ_i=1(x_i – μ)² / σ.

Distribución Muestral de la Media (se anota x̄)

Sea x1, x2… xn una m.a.(n) desde una población N(μ; σ²). Entonces el estadígrafo es x̄ = Σⁿ_i=1x_i ~ N(μ; σ²/n). Estandarizado: Z = (x̄ – μ) / (σ / √n) ~ N(0, 1).

Teorema Central del Límite

Sea x1, x2… xn una m.a.(n) desde una población con distribución de probabilidad desconocida, pero se sabe que el valor esperado de x es E(x) = μ y V(x) = σ². Además, el tamaño de la muestra (n) es grande (n ≥ 36). El estadígrafo es Σⁿ_i=1x_i / n ~ N(μ; σ²/n). Estandarizado: Z = (x̄ – μ) / (σ / √n) ~ N(0, 1). Probabilidad: P(x ≤ x̄) = 1 – P(ΣX) = 1 – P(Z ≤ (x̄ – μ) / (σ / √n)).

Distribución de una Varianza Muestral (se anota s²)

Sea x1, x2… xn una m.a.(n) donde la población tiene distribución normal (μ; σ²). La media muestral es x̄ = Σⁿ_i=1(x_i – x̄)² / n. Se puede concluir que Σⁿ_i=1(x_i – μ)² / σ² ~ χ²(n), (n-1)s² / σ² ~ χ²(n-1), n(x̄ – μ)² / σ² ~ χ²(1). Probabilidad: P(χ²(n) ≤ resultado) = resultado de la tabla.

Distribución de una Proporción Muestral (se anota p̄)

Sea x1, x2… xn una m.a.(n) (n ≥ 36), considerando grande desde una población binomial. El estadígrafo es p̄ = Σⁿ_i=1x_i / n, donde x_i(1, éxito; 0, fracaso). Estandarizado: Z = (p̄ – p) / √(p(1-p)/n) ~ N(0, 1).

Estimación Paramétrica

Sea una función de probabilidad de v.a.d. que está caracterizada por varios parámetros desconocidos.

1. Estimación Puntual

Se toma una m.a.(n): x1, x2… xn. El estadígrafo para μ es x̄ = Σⁿ_i=1x_i / n (media muestral). El estadígrafo de σ² es s² = Σⁿ_i=1(x_i – x̄)² / (n-1) (varianza muestral).

2. Estimación por Intervalos

Se entrega un nivel de confianza (1 – α).

Estima la media de μ.
x ~ N(μ; σ²).
La varianza (σ²) es conocida.

Se toma una m.a.(n) desde la población normal (μ; σ²). El estimador puntual de μ es x̄ (media muestral). Estandarizar: Z = (x̄ – μ) / (σ / √n) ~ N(0; 1). Probabilidad: P(x̄ – Z_1-α/2 • (σ / √n) ≤ μ ≤ x̄ + Z_1-α/2 • (σ / √n)). Intervalo de confianza del 95%: 0.95. 1 – α = 0.95, α = 0.95 – 1, α = 0.05. Z_1-α/2 = Z_1-0.05/2 = Z_0.975. Se busca en la tabla y se ve el resultado.