Productos Notables

Caso 1: Cuadrado de una Suma

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Fórmula: (x + a)² = x² + 2xa + a²

Ejemplos:

• (x + 10)² = x² + 2(x)(10) + 10² = x² + 20x + 100
• (x + 3/5)² = x² + 2(x)(3/5) + (3/5)² = x² + 6/5x + 9/25
• (3x + 8)² = (3x)² + 2(3x)(8) + 8² = 9x² + 48x + 64

Caso 2: Cuadrado de una Resta

El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Fórmula: (x – a)² = x² – 2xa + a²

Caso 3: Suma por Diferencia

Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Fórmula: (x + a)(x – a) = x² – a²

Ejemplos:

• (x + 10)(x – 10) = x² – 10² = x² – 100
• (x/3 + 1/5)(x/3 – 1/5) = (x/3)² – (1/5)² = x²/9 – 1/25
• (3x⁸ – 5y)(3x⁸ + 5y) = (3x⁸)² – (5y)² = 9x¹⁶ – 25y²
• (6x^-7/x⁸ – 1/z^-2)(6x^-7/x⁸ + 1/z^-2) = (6x^-7/x⁸)² – (1/z^-2)² = 36x^-14/x¹⁶ – 1/z^-4
• (10a^-4/7b⁵ – 5c^-3/8)(10a^-4/7b⁵ + 5c^-3/8) = (10a^-4/7b⁵)² – (5c^-3/8)² = 100a^-8/49b¹⁰ – 25c^-6/64

Caso 4: Producto de dos Binomios con un Término Común

Fórmula: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Ejemplos:

• (x + 7)(x + 5) = x² + 5x + 7x + 35 = x² + 12x + 35
• (3x – 5)(3x + 6) = 9x² + 18x – 15x – 30 = 9x² + 3x – 30
• (xⁿ – 10)(x⁷ⁿ – 8) = x⁸ⁿ – 8x⁷ⁿ – 10x⁷ⁿ + 80 = x⁸ⁿ – 18x⁷ⁿ + 80
• (x³ + 3/4)(x³ – 5/2) = x⁶ – 5x³/2 + 3x³/4 – 15/8 = x⁶ – 7x³/4 – 15/8
• (5x⁶ – 8y³)(5x⁶ – 7y²) = 25x¹² – 35x⁶y² – 40x⁶y³ + 56y⁵

Estadística

La estadística es una rama de la matemática que se encarga de recolectar, organizar, analizar y representar datos para obtener información a partir de ellos.

Conceptos Básicos

• Intervalos de clase: Conjuntos de números que facilitan los cálculos.
• Frecuencia absoluta: Cantidad de veces que se repite un dato.
• Frecuencia acumulada: Suma progresiva de las frecuencias absolutas.
• Moda: Dato que más se repite.
• Media aritmética: Promedio que se obtiene dividiendo la sumatoria del producto de la frecuencia absoluta por el punto medio entre el número de datos.
• Clase modal: Intervalo de clase con mayor frecuencia absoluta.

Ejemplo de Aplicación de Conceptos Estadísticos

1. Planteamiento del problema: ¿Cuál es el promedio de calificaciones obtenidas por los alumnos de 2do año en la asignatura de Historia de Venezuela (HV) en el año escolar 2015?
2. Recolección de datos: Se recopilan las calificaciones de todos los alumnos.
3. Ordenar los datos: Se ordenan las calificaciones de menor a mayor.
4. Tabla de distribución de frecuencias:
   • Intervalos de clase: Se agrupan las calificaciones en intervalos (por ejemplo, 02-04, 05-07, etc.).
   • Frecuencia absoluta: Se cuenta cuántas calificaciones hay en cada intervalo.
   • Frecuencia acumulada: Se suma progresivamente la frecuencia absoluta de cada intervalo.
   • Punto medio: Se calcula el valor medio de cada intervalo.
   • Frecuencia absoluta x Punto medio: Se multiplica la frecuencia absoluta de cada intervalo por su punto medio. Se suman todos los resultados.
5. Media aritmética: Se divide la suma de la columna «Frecuencia absoluta x Punto medio» entre el número total de datos. El resultado es la media aritmética.
6. Moda: Se identifica la calificación que más se repite.
7. Clase modal: Se identifica el intervalo de clase con la mayor frecuencia absoluta.
8. Gráfica: Se crea un histograma con los intervalos de clase en el eje horizontal y la frecuencia absoluta en el eje vertical. Se puede trazar una línea que conecte los puntos medios de cada barra del histograma.