Cinemática del Sólido Rígido

Movimiento General y Rotación

El movimiento general de un sólido rígido se puede descomponer en una traslación y una rotación. En el movimiento respecto de un punto fijo, solo se descompone en una rotación, ya que el sistema de referencia está anclado al sólido y se mueve con él. Por lo tanto, no se considera la traslación.

Velocidad Angular (ω)

La velocidad angular ω se identifica con la variación del ángulo θ rotado por el sólido. Por ello, la rotación es la velocidad angular del sólido rígido. Describe cómo gira el sólido en el plano. La rotación ω es una propiedad común para todo el sólido, independiente del sistema de referencia que se tome e invariante espacial del sólido.

Campo de Velocidades y Torsor Cinemático

El campo de velocidades del sólido rígido queda definido sabiendo la velocidad de un punto del sólido (V_a) y la velocidad angular del sólido (ω). A esta pareja de vectores se le denomina torsor cinemático.

Teorema de las Velocidades Proyectadas

La velocidad de deslizamiento en un eje arbitrario del sólido es la proyección de las velocidades de los puntos del eje sobre la dirección del eje. Este teorema muestra que las velocidades de todos los puntos del eje tienen la misma proyección sobre el eje, por lo que la proyección no depende del punto del eje utilizado.

Centro Instantáneo de Rotación (CIR)

En un instante determinado, todo sólido rígido tiene un punto con velocidad nula, donde hay rotación pura y no hay traslación (v = 0). El CIR es un punto que tiene un movimiento continuo, ya que para cada instante un punto contiguo al anterior pasará a ser CIR. Entonces, el sólido se puede considerar como una rotación pura en torno al CIR. Existe un punto de singularidad que tiene lugar cuando ω es nula, dando lugar a traslación. Por lo tanto, todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad y el CIR se sitúa en el infinito.

Aceleración Angular (α)

La aceleración angular (α) es una magnitud vectorial que mide la variación del vector ω al transcurrir el tiempo. En cinemática plana, la dirección de α siempre será la misma que la de ω, pero no el sentido, ya que este coincidirá cuando aumente ω, y será contrario cuando ω disminuya.

Movimiento Relativo y Perfiles Conjugados

Velocidad Relativa

El término velocidad relativa aparece de (dr_i/dt)_m, que cuando pertenecía al sólido se anulaba, pero ahora no se anula puesto que el punto no pertenece al sólido, convirtiéndose en la velocidad relativa.

Aceleración de Coriolis (a_cor)

a_cor tiene su origen en la no nulidad del término (dr_i/dt)_m, ya que el punto P no pertenece al sólido. Depende de la ω del sólido de referencia y es la propia aceleración del sistema de referencia fijo (ejemplo: la Tierra).

Polo del Movimiento Relativo

Aquel punto del espacio donde coinciden las velocidades (vector) de ambos sólidos. El entendimiento del concepto de CIR es fundamental para entender su generalización: el polo del movimiento relativo entre dos sólidos. Se puede hacer una inversión del mecanismo, dejando uno fijo (restándole su ω a todos).

Perfiles Conjugados

La relación de transmisión entre perfiles conjugados se define como: ω₂/ω₁ = O₁P/O₂P. Esta relación depende de la distancia de los centros al polo. Para que los perfiles estén conjugados, deben cumplir la condición ω₂/ω₁ = O₁P/O₂P = constante. Esto implica una relación de velocidades constante y que el polo debe estar quieto. Cuando los perfiles no son conjugados, la relación de transmisión es variable.

Estática del Sólido Rígido – Momentos y Resultantes

Momento de un Vector en un Punto

El momento M_a de un vector deslizante V respecto de un punto del espacio A es un vector fijo cuyo punto de aplicación es el propio punto A. El vector momento lo es de un vector deslizante y es respecto de un punto. Si este punto cambia, el vector momento cambia. Es perpendicular al plano que forman los vectores V y AP. Si V y AP son paralelos, el momento es nulo. El momento nos ayuda a entender el giro. El conjunto de todos los vectores momento de todos los puntos del espacio es el campo de momentos del vector deslizante.

Ecuación del Cambio de Momento

Relaciona los momentos de un mismo vector deslizante respecto de dos puntos del espacio, es decir, analiza el campo de momentos y es análoga a la fórmula del campo de velocidades: M_b = M_a + BA ∧ V.

Resultante del Sistema

Es un vector libre, suma de todos los vectores deslizantes. Estos solo se pueden sumar si las rectas de aplicación se cortan, dando lugar a la suma de vectores libres equipolentes.

Momento del Sistema en un Punto

El momento de un sistema de vectores deslizantes respecto de un punto A es la suma de los momentos de cada uno de los vectores deslizantes del sistema en el punto A.

Ecuación del Cambio de Momento del Sistema

Establece la relación que hay entre los vectores momento del sistema respecto a dos puntos distintos del espacio: M_b = M_a + BA ∧ R.

Propiedades del Campo de Momentos

• El torsor (R, M_a) del sistema en un punto cualquiera define todo el campo de momentos.
• Si la resultante es nula, el sistema genera un campo constante de momentos en todo el espacio, es decir, todos los puntos poseen el momento mínimo del sistema.
• La recta paralela que tiene momento mínimo respecto de todas las constantes se denomina eje central del sistema.