3.Prop del argumento de un complejo:

sean z, w de C con z y w /=0.Alph argumento de z; beta argumento de w, entonces:1) al+be argumento z*w.2)-al argumento de z conjugado y de 1/z.3)al-be argumento de z/w.

Demostración: 1)

si al es argumento de z, entonces z/|z|=cos(al)+isen(al). Si be es argumento de w, entonces w/|w|= cos(be)+ isen(be). Por tanto, (zw)/|zw|= zw/|z||w|= z/|z|*w/|w|= (cosal+ isenal)(cosbe+ isenbe)= (cosalcosbe-senalsenbe+ i(cosalsenbe+ senalconbe)= cos(al+be) +isen(al+be). Luego al+be es un arg de zw. 2)’z/|z|= ’(z/|z|)= ’(cosal+isenal)= cosal-isenal= cos-al +isen-al. Luego –al es arg de ‘z. (1/z)/|1/z|= |z|*(‘z/|z|^2)= ’z/|z|= cosal-isenal=cos-al +isen-al. Luego –al es arg de 1/z. 3)como z/w=z(1/w) y un arg de 1/w es –be(por el apart 2), usando 1 tenemos que al+(-be)=al-be es arg de z/w.

1.Prop aritméticas limites finitos:

sean fy g funciones complejas definidas en un subconjunto A de R y a un punto de acumulación de A. Supongamos que las funciones f y g tienen limite l y k en ,repectivamente. Entonces: 1. La función f+g tiene limite l+k en a. 2. La función fg tiene limite lk en a. 3. Si ademas k distinto 0, la funcoion f/k, que esta bien definida en Aint((a-d),(a+d)\{a}) para algún d>0, tiene limite l/k en a. Demostración:1. Sea Eps>0. Como lim(x-a)f(x)=l, existe d1>0 tal que |f(x)-l|<>0 tal que |g(x)-k|<>0. Si x€A, 0<>,><=d1,>=d1,><><><=d1, entonces=»»>=d1,><=d2,>=d2,><><><=d2, entonces=»»>=d2,><= |fx-l|+|gx-k=»»>=><>0. Como lim(x-a)gx=k, existe d1>0 tal que g esta acvotada en Aint((a-d1,a+d1)-{a}), es decir, existe M>0 tal que |gx| <= m=»» si=»» x€a,=»»>=><> 0 tal que |f(x)-l|< e/2m,=»» si=»» x€a,=»»><>< d2.=»» como=»» lim(x-b)=»» g(x)=»k,» existe=»» d3=»»> 0 tal que |g(x)-k|< e/2|l|,=»» si=»» x€a,=»»><>< d3,=»» si=»» l=»/0.» tomamos=»» d=»min{d1,d2,d3}»>0, si x€A, 0<>< d,=»» entonces=»» |f(x)g(x)-=»» l*k|=»|fxgx-» l*gx+=»» l*gx-=»» lk|=»|(fx-» l)gx=»»><= |fx-l||gx|+=»»>=><= (e/2m)m+=»» |l|(e/2|l|)=»E,» entonces=»» lim(x-a)=»» f(x)g(x)=»l*k.» 3)=»» basta=»» probar=»» que=»» si=»» k=»/0,» lim(x-a)=»» (1/g(x))=»1/k,» poque=»» en=»» este=»» caso,=»» usando=»» el=»» apartado=»» 2,=»» se=»» tiene=»» que=»» lim=»» fx/gx=»lim» fx*(1/gx)=»l*(1/k).» considerems=»» e=»|k|/2″>0. Como lim gx= k, existe d1>0 tal que |gx-k|< |k|/2,=»» si=»» x€a,=»»><>< d1.=»» entonces,=»» |gx|=»|(gx-k)» +k|=»»>=|(gx-k) –k|= |k| -|gx-k| >= |k|- |k|/2= |k|/2, para todo x€A, 0<>< d1.=»» sea=»» e=»»>0 cualqiera. Como lim gx= k, existe d2>0 tal que |gx-k|< e,=»» si=»» x€a,=»»><>< d2.=»» tomo=»» d=»min{d1,d2}»>0, si x€A, 0<>< d,=»» entonces=»» |(1/gx)-(1/k)|=»|(k-gx)/(k*gx)|» ==»» |k-gx|/(|k||gx|)=»»>=>4.1.10. Convergencia de las sucesiones monótonas:

Sea {an}(1,infi.) una sucesión monótona. Entonces {an}() es convergente (1) si, y solo si, es acotada (2); además, en este caso su limite es: i) sup{an/n€N}, si es creciente. Ii) inf{an/n€N}, si es decreciente.

Demostración

Ya sabemos que 1 implica 2. Veamos que 2 implica 1. I) Supongamos que {an}() es monótona creciente y acotada. Sea l=sup{an/n€N}. Sea E>0, entonces l-El-E. Como {an}() es creciente, si n>=n0 se tiene que an>=an0. Entonces, si n>=0, l-E <= an=»»>=><= l=»sup{ak/k€N}.» luego=»»>=>< e,=»» por=»» tanto,=»» lim(n-infi)=»» an=»l.» ii)=»» si=»» {an}()=»» es=»» decreciente=»» y=»» acotada,=»» entonces=»» {-an}()=»» es=»» creciente=»» y=»» acotada.=»» usando=»» i),=»» se=»» tiene=»» que=»» lim(n-inf)(-an)=»sup{-an/n€N}» ==»» -inf{an/n€n}.=»» luego,=»» lim(n-inf)=»» an=»lim(n-in)» -(-an)=»inf{an/n€N}»>,>4.5.4. Teorema del encaje de intervalos:

Sea{In}(1-infi) una sucesión de intervalos de R de la fora In=[an,bn], con an<=bn. Supongamos=»» que=»» in+1c=»In» para=»» todo=»» n€n.=»» entonces=»» la=»» intersección=»» de=»» todos=»» los=»» in=»» es=»» un=»» intervalo=»» i=»» de=»» la=»» forma=»» i=»[a,b],» con=»»>=bn.><=b- ademas,=»» si=»» la=»» longitud=»» de=»» dichos=»» intervalos=»» tiende=»» hacia=»» 0,=»» es=»» decir,=»» lim(bn-an)=»0,» entonces=»» la=»» intersección=»» de=»» todos=»» los=»» in=»» consta=»» de=»» un=»» único=»» punto.=»»>=b->Demostración:
Sea {In}() una sucesión de intervalos cerrados y acotados In=[an,bn], n€N. Si In+1 C= In, para todo n€N, se tiene que an <=an-1>=an-1><= bn+1=»»>=><=bn. Entonces=»» {an}()=»» es=»» creciente=»» y=»» {bn}()=»» es=»» decreciente.=»» usando=»» el=»» principio=»» de=»» inducción=»» se=»» prueba=»» que:=»»>=bn.><= an=»»>=><=bn>=bn><= b1=»» para=»» todo=»» n€n.=»» luego=»» {an}()=»» y=»» {bn}()=»» son=»» sucesiones=»» acotadas.=»» por=»» tanto,=»» como=»» {an}=»» y=»» {bn}=»» son=»» sucesiones=»» monótonas=»» y=»» acotadas,=»» son=»» convergentes.=»» sea=»» a=»lim» an=»» €r=»» y=»» b=»lim» bn=»» €r.=»» como=»»>=><=bn n€n,=»» se=»» tiene=»» que=»»>=bn><=b. Sean=»» i=»[a,» b],=»» veamos=»» que=»» i=»intersecion» de=»» todo=»» in.=»» como=»» {an}=»» es=»» creciente,=»» a=»sup{an/n» €n}=»»>=an para todo n€N y como . Como {bn} es decreciente, b= inf{bn/n €N} >=bn. Es decir, an<=>=><=>=><= bn,=»» n€n,=»» ic=»In» €n,=»» por=»» tanto,=»» ic(intersecion=»» in).=»» sea=»» x€(int.=»» in),=»» entocnes=»» x€in=»» para=»» todo=»» n€n,=»» si=»» y=»» solo=»» si=»»>=><=>=><= bn.=»» luego=»»>=><=>=><= b,=»» es=»» decir,=»» x€=»» [a,b].=»» en=»» resumen,=»» (int.=»» in)=»» c=»I,» entonces=»» si=»» i=»» c=»(int.» in)=»» c=»I,» i=»(int.» in).=»» ademas,=»» si=»» lim=»» (bn-an)=»0,» como=»» lim=»» an=»a» y=»» lim=»» bn=»b,» se=»» tiene=»» que=»» 0=»lim(bn-an)» ==»» lim=»» bn=»» –=»» lim=»» an=»b-a,» entonces=»» b=»a» y=»» i=»{a}.»>=>=b.>5.2.1. Teorema de Bolzano:

Sea f una función real, continua en el intervalo [a,b] de R. Se supone que f(a)f(b)< 0,=»» es=»» decir,=»» f=»» toma=»» valores=»» no=»» nulos=»» y=»» de=»» signos=»» opuestos=»» en=»» los=»» extremos=»» del=»» intervalo.=»» entonces=»» existe=»» al=»» menos=»» un=»» punto=»» c€=»» (a,b)=»» tal=»» que=»» f(c)=»0.»>Demostración:
Supongamos que f(a)> 0 y f(b)< 0.=»» sea=»» a=»{x€» [a,b]/=»»>< 0},=»» como=»» a€a,=»» a=»» no=»» es=»» vacío.=»» a=»» c=»[a,b],» entonces=»» acotado.=»» como=»» a=»» es=»» un=»» subconjunto=»» no=»» vacío=»» y=»» acotado=»» superiormente,=»» tiene=»» extremos=»» superior:=»» c=»sup(A).» como=»» a=»» c=»[a,b],» entonces=»» c€=»» [a,b].=»» veamos=»» que=»» f(c)=»»>=0: Para cada n€N, c- 1/n< c,=»» entonces=»» c=»» no=»» es=»» una=»» cota=»» superior=»» de=»» a,=»» entonces=»» existe=»» xn=»» €a=»» tal=»» que=»» c-=»»><=>=><= c.=»» por=»» tanto,=»» {xn}()=»» es=»» una=»» sucesión=»» de=»» elementos=»» de=»» a=»» tal=»» que=»» lim(n-=»» inf)=»» xn=»c.» como=»» f=»» es=»» continua=»» en=»» c,=»» por=»» el=»» criterio=»» secencial=»» se=»» tiene=»» que=»» lim=»» f(xn)=»f(c).» ahora=»» bien,=»» f(xn)=»»> 0 para todo n€N, porque Xn€ A= {x€ [a,b]/ f(x)> 0}. Como f(c)= lim f(xn) y f(xn) >0, para todo n€N f(c)>= 0. Veamos que f(c) <=0: como=»» c€=»» [a,b]=»» y=»» f(c)=»»>=0, al ser f(b)< 0=»» se=»» tiene=»» que=»» b=»/» c,=»» además,=»» para=»» todo=»» x€=»» [a,b]=»/» 0=»» se=»» tiene=»» que=»» f(x)=»»><=0 porque=»» x=»»> c =sup(A), por lo que x€A. Enotnces, por se f continua en c, se tiene que f(c)= lim(x-c) f(x)<= 0,=»» porque=»»>=><= 0=»» si=»» x€[a,b].=»» en=»» resumen,=»» si=»»>=><= 0=»» y=»» fc=»»>= 0, se tiene que f(c)= 0.=>=0>=0:>=> 5.2.5. Teorema de Weierstrass:

Si f es una función continua en el intervalo [a,b] de R, entonces f esta acotada, es decir, extiste alpha y beta de [a,b] tales que f(al)<= f(x)=»»>=><= f(be)=»» para=»» cada=»» x€=»» [a,b].=»»>=>Demostración:
1) f: (0, 1]- R. F(x) =1/x, f es continua en (0,1] (intervalo acotado pero no cerrado). F esta acotada en [a,b]. Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que f no esta acotada en [a,b]. Entonces para todo n€N existe un punto xn€[a,b] tal que |f(xn)| >=0. Entonces lim |f(xn)| = inf (*). Como {xn}() es una sucesión de elementos de [a,b], se tiene que es una sucesión acotada, por el teorema de bolz-Weier. Existe una subsucesion {xnk}() convergente. Sea x0 =lim xnk. Observamos que a<=>=><= b=»» para=»» todo=»» k€n,=»» luego=»»>=><= x0=»»>=><= b,=»» es=»» decir,=»» x0€[a,b].=»» como=»» f=»» es=»» continua=»» en=»» x0,=»» por=»» el=»» criterio=»» secuencial=»» se=»» tiene=»» que=»» f(x0)=»lim» f(xnk).=»» luego=»» |f(x0)|=»lim|f(xnk)|.» esto=»» es=»» absurdo,=»» entra=»» en=»» contradicion=»» con=»» el=»» hecho=»» de=»» que=»» {|f(xnk)|}()=»» es=»» una=»» subsucesion=»» de=»» {|f(xn)|}()=»» y=»» en=»» consecuencia=»» lim=»» |f(xnk)|=»inf» por=»» (*).=»» entonces=»» f=»» es=»» acotada=»» en=»» [a,b].=»»>=>6.1.15. Regla de la cadena:

Sean A y B subconjuntos abiertos de R, f: A- B y g: B- R. Se supone que f es derivable en a€A y g es derivable en b= f(a) €B. Entonces la función compuesta fg es derivable en a y (gf)’(a)= g’(f(a))f’(a)= g’(b)f’(a).

Demostración:

Si f es diferenciable en a€A, existe una función Eps: A- R tal que lim(x-a) Eps(x)= Eps(a)= 0, y tal que f(x)= f(a)+ f’(a)(x-a)+ Eps(x)(x-a)
(1) para todo x€A. Si g es diferenciable en b= f(a) €A, existe una función Gama: B- R tal que lim(y-b) Gam(y)= Gam(b)= 0, y tal que g(y)= g(f(a))+ g’(f(a))(y-f(a))+ Gam(y)(y-f(a))
(2) para todo y€B. Si usando 1 sustituyo en y= f(x) en 2 tenemos que: g(f(x))= …= g(f(a))+ g’(f(a))f’(a)(x-a) +Sigma(x)(x-a), para todo x€A, donde Sigma: A- R. Sigma(x)= g’(f(a))Eps(x)+ Gam(f(x))f’(a)+ Gam(f(x))Eps(x). Obtenemos que lim(x-a) Sigma(x) =0. Recordamos que lim(x-a) f(x)= b y lim(y-b) Gam(y)= 0, lo que implica que lim(x-a) Gam(f(x))= 0. Por tanto, gf es diferenciable, y en consecuencia derivable en a y (gf)’(a) = “principio”.

6. Teorema de Rolle:

Sea f una función real definida y continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y tal que f(a)= f(b). Entonces existe c€(a,b) tal que f’(c)= 0.

Demostración:

Como f es continua en [a,b], por el teorema de Weier, existen dos puntos alpha y beta de [a,b] tales que f(al)<=>=><= f(be),=»» para=»» todo=»» x€[a,b].=»» dos=»» posibilidades:=»» 1)=»» si=»» f(al)=»f(be),» entonces=»» f=»» es=»» cte=»» en=»» [a,b],=»» luego=»» f’(x)=»0.» 2)=»» si=»»>=>< f(be),=»» como=»» f(a)=»f(b),» o=»» bien=»» f(al)=»/» f(a)=»f(b)» (al=»/» a=»» y=»» al=»/b)» o=»» bien=»» f(be)=»/» f(a)=»f(b)» (be=»/» a=»» y=»» be=»/b).» en=»» el=»» primer=»» caso=»» tomamos=»» c=»al€(a,b).» si=»» no=»» se=»» da=»» el=»» primer=»» caso,=»» se=»» da=»» el=»» segundo,=»» y=»» tomamos=»» c=»be€» (a,b).=»» en=»» ambos=»» casos=»» la=»» función=»» f=»» alcanza=»» en=»» c=»» un=»» extremo=»» absoluto,=»» y=»» por=»» tanto,=»» un=»» extremo=»» relativo.=»» como=»» f=»» es=»» derivable=»» en=»» c€(a,b)=»» y=»» en=»» c=»» se=»» alcanza=»» un=»» extremo=»» relativo,=»» por=»» la=»» condición=»» necesaria=»» de=»» extremo=»» relativo,=»» se=»» tiene=»» que=»» f’(c)=»0.»>6.2.10. Aplicaciones de la derivada al estudio de la monotonía: