Problemas Resueltos de Cinemática, Dinámica y Energía

Cinemática

1. Si en t=4,7 h un auto se encuentra 67 km al este de Valparaíso, y en t=13 h el auto se encuentra 33 km al oeste de Valparaíso, obtenga su velocidad media.

V_media = (-33 – 67) / (13 – 4,7) = -100 / 8,3 = -12,0 km/h al oeste.

2. Considere un automóvil que se desplaza rectilíneamente a una rapidez constante de 45 km/h hacia el este. Halle la distancia que recorre durante 120 minutos.

d = v * t = 45 km/h * 2 h = 90 km

3. Se deja caer una moneda en la azotea de un edificio de altura desconocida. Calcule la rapidez con la que cae cuando han transcurrido 5 s desde que se soltó.

V_f = V₀ + a * t => V_f = 0 + 9,8 m/s² * 5 s = 49 m/s

4. Obtenga la altura que alcanza un proyectil en 1 segundo si se dispara desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 40 m/s y un ángulo de 60° respecto a la horizontal.

y = V₀ * sen(θ) * t – (1/2) * g * t² => y = 40 * sen(60°) * 1 – (1/2) * 9,8 * 1² = 29,7 m

5. Si x(t) = 8t² – 7t + 10 es la ecuación de posición de un vehículo que se mueve rectilíneamente, halle su velocidad transcurridos 10 segundos.

v(t) = dx/dt = 16t – 7

v(10) = 16 * 10 – 7 = 153 m/s

Conversión de Unidades

6. Exprese en Dm/min el resultado de la operación:

NOTA: Considere todas las mediciones exactas para efectos de cálculo.

(6666 dm/m) * (10³ m/km) * (1 km/10¹ m) * (1 h/60 min) = 11110 Dm/min (Incorrecto, debe ser dm/min)

(6666 dm / 1 m) * (1 m / 10 dm) * (1000 m / 1 km) * (1 km / 1000 m) * (1h / 60 min) = 111,1 dm/min

(3333 min/s) * (10³ m/km) * (1 km/10¹ m) * (1 dm/10^-1 m) * (60 s/1 min) = 19998 Dm/min (Incorrecto, debe ser dm/min)

(3333 min / 1 s) * (60 s / 1 min) * (1 m / 1 s) * (10 dm / 1 m) = 1999800 dm/min

Sumatoria: 111,1 dm/min + 1999800 dm/min = 2000911.1 dm/min

Corrección: La operación original parece tener errores en las unidades. La pregunta debe ser expresar en dm/min.

Producto Vectorial

7. Obtenga: X si y

| i j k |
| 6 2 3 | = i(2 * -5 – 3 * -4) – j(6 * -5 – 3 * 3) + k(6 * -4 – 2 * 3) = 2i + 39j – 30k

| 3 -4 -5 |

Cálculo de Distancia

8. La rapidez promedio de un vehículo que viaja en trayectoria rectilínea se calcula con la fórmula: , en donde es la rapidez, es la distancia recorrida y es el tiempo transcurrido. Obtenga la distancia recorrida aproximada de un auto que viaja con una rapidez promedio de 85,62 km/h durante 1,745 h.

d = v * t = 85,62 km/h * 1,745 h = 149,41 km

Ángulo entre Vectores

9. Halle el mayor ángulo que se encuentra entre el vector y el vector (-3, 3).

v₁ = (1, √3)

v₂ = (-3, 3)

v₁ ⋅ v₂ = (1 * -3) + (√3 * 3) = -3 + 3√3

||v₁|| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2

||v₂|| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2

cos(θ) = (v₁ ⋅ v₂) / (||v₁|| * ||v₂||) = (-3 + 3√3) / (2 * 3√2) ≈ 0.2588

θ = arccos(0.2588) ≈ 75°

Mayor ángulo = 360° – 75° = 285°

Fuerza Neta

10. Dos fuerzas actúan sobre un objeto de tal manera que la primera cumple con formar un ángulo de 30° sobre la horizontal y de tener una magnitud de 1000 N. Obtenga las coordenadas de la fuerza neta si la otra fuerza es de -826i – 400j.

Fuerza 1: (1000cos(30°), 1000sin(30°)) = (866, 500)

Fuerza 2: (-826, -400)

Fuerza Neta = (866 – 826, 500 – 400) = (40, 100)

Masa y Aceleración

11. Obtenga la masa de un cuerpo si éste obtiene una aceleración de 13000 m/min² gracias a una fuerza neta que se le aplica de 17,3 Newton.

F = m * a => m = F / a

a = 13000 m/min² * (1 min / 60 s)² = 3.61 m/s²

m = 17,3 N / 3,61 m/s² = 4,79 kg ≈ 4,8 kg

Aceleración en un Plano Inclinado

12. Un cuerpo de 200 kilogramos sube por un cerro de 60° de inclinación sobre la horizontal (sin roce), aumentando su rapidez, gracias al tirón de 4000 Newton ejercido por una cuerda en la misma dirección del cerro. Obtenga su aceleración.

Componente del peso en la dirección del plano: P_x = m * g * sin(60°) = 200 kg * 9.8 m/s² * sin(60°) ≈ 1697.4 N

F_neta = T – P_x = m * a

4000 N – 1697.4 N = 200 kg * a

a = (4000 – 1697.4) / 200 ≈ 11,51 m/s²

Masa y Tensión en un Sistema

13. Un cuerpo de 40 kilogramos que se encuentra en una superficie horizontal (con roce) es arrastrado por otro mediante una conexión por cable que ejerce una tensión constante de 300 Newton en todos sus puntos. Halle la masa de este otro cuerpo si se mueve verticalmente hacia abajo gracias al cable, y a que está ubicado al final de la superficie horizontal. NOTA: Considere que el sistema se mueve a rapidez constante.

Como el sistema se mueve a rapidez constante, la aceleración es 0. Por lo tanto, la tensión en la cuerda es igual al peso del cuerpo que cuelga.

T = m * g => m = T / g = 300 N / 9,8 m/s² ≈ 30,6 kg

Movimiento Circular Uniforme

14. Obtenga el periodo de giro de un objeto que se mueve circularmente con una rapidez constante de 15 m/s manteniendo un radio de 225 m.

v = 2πr / T => T = 2πr / v = 2π * 225 m / 15 m/s = 30π s ≈ 94,25 s

15. Halle la aceleración normal de un objeto que se mueve circularmente si su rapidez instantánea es de 10 m/s manteniendo un radio de giro de 100 m.

a_n = v² / r = (10 m/s)² / 100 m = 1 m/s²

Aceleración Angular

16. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas por minuto en 5 segundos. Calcule la aceleración angular del movimiento.

ω_i = 900 rpm * (2π rad / 1 rev) * (1 min / 60 s) = 30π rad/s

ω_f = 800 rpm * (2π rad / 1 rev) * (1 min / 60 s) = 80π/3 rad/s

ω_f = ω_i + α * t

α = (ω_f – ω_i) / t = (80π/3 – 30π) / 5 = -2π/3 rad/s² ≈ -2,09 rad/s²

Torque

17. Una barra horizontal de 4 m de longitud se coloca de tal manera que su centro de giro O coincide con su extremo izquierdo y formando 0° con la horizontal. Si luego…

(Incompleto, se necesita la descripción completa de las fuerzas)

18. Una barra horizontal de 2 kilos de masa y de 8 m de longitud se coloca de tal manera que su centro de giro O coincide con su extremo izquierdo y formando 0°…

(Incompleto, se necesita la descripción completa de las fuerzas y la pregunta)

Trabajo

19. Un auto con el motor apagado y los frenos desactivados se desplaza 8…

(Incompleto, se necesita la descripción completa de las fuerzas y el ángulo)

Asumiendo que se refiere a un problema donde una fuerza de 5000 N empuja un auto a 30° por 8 metros:

W = F * d * cos(θ) = 5000 N * 8 m * cos(30°) = 34641.02 J

Energía Cinética

20. La fuerza neta que actúa sobre una masa hace que aumente su rapidez de 30 m/s a 80 m/s. Si la masa ganó 900.000 J de energía, ¿cuánto mide la masa?

ΔK = K_f – K_i = (1/2) * m * v_f² – (1/2) * m * v_i²

900000 = (1/2) * m * (80² – 30²)

m = (2 * 900000) / (80² – 30²) = 1800000 / 5500 = 327,27 kg

Conservación de la Energía

21. Halle la rapidez final con la que llega un objeto de 30 kilogramos a la base de una colina que está inclinada 30° respecto a la horizontal, si parte del punto más alto de ésta desde el reposo recorriendo 100…

(Incompleto, falta información sobre la altura o el trabajo realizado)

Asumiendo que la distancia recorrida es 100m a lo largo de la colina, y que no hay fricción:

h = 100 * sin(30) = 50m

mgh = 1/2mv²

v = √(2gh) = √(2 * 9.8 * 50) = √980 = 31.3 m/s

22. Si una masa de 10 kg que está conectada a un resorte tiene una rapidez inicial de 1,2…

(Incompleto, falta información sobre la constante del resorte y la compresión/elongación)

Asumiendo que la constante del resorte es k=2 y la elongación/compresión inicial es 0, y la velocidad final es 0:

1/2mv_i² + 1/2kx_i² = 1/2mv_f² + 1/2kx_f²

1/2 * 10 * 1.2² = 1/2 * 2 * x_f²

x_f = √(7.2) = 2.68 m

23. Un objeto de 45 kilogramos que se encuentra a 80 metros de altura asciende en ese instante a 75 m/s. Obtenga su altura máxima.

E_inicial = E_final

m * g * h_i + (1/2) * m * v_i² = m * g * h_f + (1/2)*m*v_f²

En la altura máxima, la velocidad final es 0.

45 * 9,8 * 80 + (1/2) * 45 * 75² = 45 * 9,8 * h_f

h_f = (45 * 9,8 * 80 + (1/2) * 45 * 75²) / (45 * 9,8) ≈ 366,8 m