Variables Aleatorias Discretas y Continuas
Variables Aleatorias Discretas (Binomial o Poisson)
Importante: En variables discretas, sí importa si la desigualdad incluye el igual (≤ ≥) o no (< >).
- Función de probabilidad o cuantía
- Función de distribución
Momentos:
- E(X) = ∑Xᵢ * Pi (Momento de primer orden)
- Var(X) = E(X²) – E²(X)
- E(X²) = ∑Xᵢ² * Pi (Momento de segundo orden)
Distribución Binomial
P(X=r) = (n r) * pr * (1-p)n-r
- E(X) = n*p
- Var(X) = n*p*q
- σx = √(n*p*q)
Distribución de Poisson
P(X=r) = (e-λ * λr) / r!
- E(X) = λ
- Var(X) = λ
- σx = √λ
Variables Aleatorias Continuas (Uniforme, Normal o Exponencial)
Importante: En variables continuas, no importa si la desigualdad incluye el igual (≤ ≥) o no (< >).
- Función de densidad de probabilidad
- Función de distribución de probabilidad
La probabilidad en un punto no existe, sólo está definida en un intervalo.
Momentos:
- E(X) = ∫ xf(x)dx
- Var(X) = E(X²) – E²(X)
- E(X²) = ∫x²f(x)dx
Distribución Uniforme
U(a,b)
f(x) = 1/(b-a) // F(X) = (x-a)/(b-a) // a≤x≤b
- E(X) = (a+b)/2
- Var(X) = (b-a)²/12
- σx = (b-a)/√12
Distribución Normal
N(μ,θ) // Z = (x-μ)/θ
Distribución Exponencial
Exp (λ) // f(x) = λ*e-λx
Cálculo de Probabilidades: Discretas vs. Continuas
Variables Discretas
p(x<4) = p(x≤3) = p(X=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3) // p(x≥3) = 1-p(x<3) = 1-( p(x=0)+p(x=1)+p(x=2) ) // p(x>2) = 1-p(x≤2) = 1-(…)
Variables Continuas
p(x≤2) = p(x<2) = F(2) // p(x>3) = 1-p(x≤3) = 1-F(3) // p(2<x<3) = F(3)-F(2) = p(x<3)-p(x<2)
Población y Muestra
Población (Parámetros): μ / θ / θ² / p o π
Parámetro:
- No es una variable aleatoria, es un valor constante.
- Valor numérico, a veces desconocido.
- Valor constante para toda la población.
- Caracteriza total o parcialmente la función de densidad de probabilidad de la población objeto de estudio.
Muestra (Estadísticos): Ẋ / S / S² / ṗ
Estadístico:
- Variable aleatoria.
- Función matemática (no lineal) que depende de los valores muestrales y no contiene ningún parámetro poblacional desconocido.
Teorema del Muestreo
Si n≥30 o la población es normal:
- Media muestral: E(Ẋ) = μ // Var(Ẋ) = θ²/n
- Proporción muestral: E(ṗ) = p o π // Var(ṗ) = (π*(1-π))/n
Propiedades de la Esperanza y Varianza:
- E(a)=a // E(a+bx)=a+bE(x) // E(a+bẊ)=a+bE(Ẋ) // E(Ẋ)=μ // E(Xi)=μ // E(2X1)=2μ // E(S²)=θ²
- Var(a)=0 // Var(a+bẊ)=b²Var(Ẋ) // Var(Ẋ)=θ²/n // Var(Xi)=θ² // Var(-X2)=(-1)²θ²=θ² (no -θ²)
Estadísticos Muestrales
Media Muestral: Ẋ
Ẋ=ΣXi/n
- θ conocida → Normal → Z = (Ẋ-μ) / (θ/√n)
- θ desconocida → t-Student → t = (Ẋ-μ) / (S/√n) = (Ẋ-μ) / (√(S²/n))
Varianza Muestral: S²
S² = ∑(Xᵢ-Ẋ)² / (n-1) = (ΣXi² – n(Ẋ)²) / (n-1)
S² → Chi-cuadrado → χ² = (n-1)*S² / θ² χ² (n-1)
Proporción Muestral: ṗ
ṗ=x/n // ṗ = (LS+LI)/2
ṗ → Normal → Z = (ṗ-π) / √(π*(1-π)/n)
(Cuanto más se acerque a 0,5 el % que nos den, mayor error)
Intervalos de Confianza
1-α = Confianza / α = Significación o error
- Confianza: Probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional esté dentro del intervalo.
- Significación: Probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional no esté dentro del intervalo.
+ Confianza → + Amplitud – Precisión + Error // + n → – Error – Amplitud
Si no nos dan la ṗ, ponemos 0,5 (el error máximo será el máximo posible).
Si el 0 está dentro del intervalo → No hay diferencia a nivel poblacional // Si el 0 no está → Sí hay diferencia.
Si α ≠ αintervalo → Si α > αintervalo = Hay diferencia // Si α < αintervalo = ?
Intervalo de Confianza para la Media Poblacional: μ
- μ ∈ (Ẋ ± Z * (θ/√n)) Emax=Z*(θ/√n)=AI/2
- μ ∈ (Ẋ ± t * (S/√n)) AI=LS-LI=2*Emax
Intervalo de Confianza para la Varianza Poblacional: θ²
θ² ∈ ((n-1)*S² / χ²grande ; (n-1)*S² / χ²pequeña)
No hay Emax porque no hay centro // AI=LS-LI
Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional: π
π ∈ ṗ ± Z * √((ṗ*(1-ṗ)/n)
Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias: μX-μY
- μX-μY ∈ ((Ẋ-Ϋ) ± Z * (√((θ²X/nX)+(θ²Y/nY)))
- μX-μY ∈ ((Ẋ-Ϋ) ± t * (√((S²X/nX)+(S²Y/nY))))
- μX-μY ∈ ((Ẋ-Ϋ) ± t * (√((S²/nX)+(S²/nY))))
- S² = ( (nX-1)*S²X + (nY-1)*S²Y ) / (nX + nY – 2)
Intervalo de Confianza para la Diferencia de Proporciones: πX-πY
πX-πY ∈ ((ṗX-ṗY) ± Z * √(((pX*qX)/nX) + ((pY*qY)/nY)))
Contrastes de Hipótesis
H0 y Ha son mutuamente excluyentes, no tienen ningún elemento en común.
Contraste para la Media Poblacional
- Z = (Ẋ-μ0) / (θ/√n)
- t = (Ẋ-μ0) / (S/√n)
Contraste para la Varianza Poblacional
χ² = (n-1)*S² / θ²0
Contraste para la Proporción Poblacional
Z = (ṗ-π0) / √(π0*(1-π0)/n)
Contraste para la Diferencia de Medias Poblacionales
- Z = (Ẋ-Ϋ) – (μX-μY) / √((θ²X/nX) + (θ²Y/nY))
- t = (Ẋ-Ϋ) – (μX-μY) / (√((S²X/nX)+(S²Y/nY)))
- Si nX=nY → S² = (S²X+S²Y) / 2
- t = (Ẋ-Ϋ) – (μX-μY) / (√((S²/nX)+(S²/nY)))
Contraste para la Diferencia de Proporciones Poblacionales
Z = (ṗX – ṗY) – (πX-πY) / √(ṗ*q*((nX+nY)/(nX*nY)))
ṗ = (x+y)/(nX+nY) = ((ṗX*nX) + (ṗY*nY)) / (nX+nY)
Contraste para la División de Varianzas Poblacionales
F = S²X / S²Y = S²grande/S²pequeña
Errores en los Contrastes de Hipótesis
- Significación o Error tipo I: α = P (Rechazar H₀ / H₀ cierta)
- Error tipo II: β = P (Aceptar H₀ / Ha cierta)
- Confianza: 1-α = P (Aceptar H₀ / H₀ cierta)
- Potencia del contraste: 1-β = P (Rechazar H₀ / Ha cierta)
Intervalo de confianza con contraste: Si μ está dentro del intervalo → Acepto H0
Propiedades de los Estimadores
- Cota de Cramer-Rao (CCR): Si un estimador θ² es insesgado y de varianza mínima, y su varianza coincide con la CCR, entonces el estimador es eficiente en términos absolutos.
- Eficiencia en términos relativos: El estimador más eficiente es aquel con menor varianza o menor error cuadrático medio (ECM). (Elevar al cuadrado y el más pequeño es el más eficiente).
- Método de los Momentos (MM): Los estimadores son consistentes.
- Método de Máxima Verosimilitud (MV): Los estimadores son consistentes, asintóticamente insesgados, asintóticamente eficientes y asintóticamente normales.
Cálculo del Tamaño de la Muestra
Máxima Amplitud
n = (2²*Z²*σ²) / A²
Máximo Error de Estimación
n = (Z²*σ²) / e²
IC para p (cuando no tenemos p*q, usamos 0,25)
- Máxima Amplitud: n = (2²*Z²*p*q) / A²
- Máximo Error de Estimación: n = (Z²*p*q) / e²