Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Potencias

Una potencia es una expresión abreviada que se utiliza para escribir una multiplicación de factores iguales.

• Base: Es el factor que se repite.
• Exponente: El número de veces que se repite la base.

Propiedades de las potencias:

• Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.
• Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.
• La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
• La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor.

Raíces Cuadradas

• La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero.
• La raíz entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.
• La diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera es el resto de la raíz.

Fracciones

Una fracción expresa una parte de un todo. El denominador indica el número de partes iguales en que se divide el todo, y el numerador indica el número de partes que se toman.

• Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un todo.
• Para averiguar si dos fracciones son equivalentes, se comprueba si los productos cruzados son iguales.
• Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente con términos más pequeños. Para simplificar, dividimos los dos términos de la fracción por los divisores comunes.
• Reducir a común denominador: Multiplicamos los términos de cada fracción por el producto de los denominadores de las otras fracciones.
• Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.
• Para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

Números Decimales

Las cifras decimales son las que se encuentran a la derecha de la coma.

Tipos de números decimales:

• Exactos: Su parte decimal es un número limitado de cifras.
• Periódicos: Su parte decimal contiene un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El grupo de cifras se llama periodo.
  • Periódico mixto: Hay cifras que no se repiten delante del periodo.
  • Periódico puro: Toda su parte decimal es periódica.

Lenguaje Algebraico

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.

• Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
• El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión por números determinados y hacer las operaciones indicadas.
• Dos expresiones algebraicas son semejantes si sus partes literales son iguales. Para sumar o restar expresiones semejantes, se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Fórmulas e Igualdades

• Las letras permiten expresar de forma concisa relaciones entre magnitudes. Las expresiones literales que se relacionan se llaman fórmulas.
• Igualdad algebraica: Es una expresión que tiene dos miembros separados por el signo «=».
• Identidad algebraica: Es una igualdad que se verifica para cualquier valor que se asigne a las letras.
• Igualdad numérica: Se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor unidas por el signo «=».
• Una ecuación es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras, llamadas incógnitas.
• Regla del producto: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un número distinto de 0, se obtiene una ecuación equivalente.

Unidades de Medida

Relaciones entre unidades:

ha – a = ha x 100   ca – a = ca : 100     hm² = ha; dam² = a; m²; ca

hm² x 100 = dam²     m² : 1000 = dam²

kl = m³; dm³ = l; cm³ = ml    1dm³ = 1000cm³   1dm³ = 1000ml; 1cm³ = 1 ml; 1m³ = 1kl

Proporcionalidad

La razón entre dos números a y b es el cociente a/b.

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es igual a la razón entre c y d. Se escribe a/b = c/d y se lee «a es a b como c es a d».

• Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
• Método de reducción a la unidad: Consiste en calcular el valor que corresponde a una unidad de una de las magnitudes para calcular después el valor que corresponde a cualquier otra cantidad.
• Un porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay cada 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo %.
• Un porcentaje es equivalente a una razón de denominador 100 y también al número decimal correspondiente.

Coordenadas y Funciones

• El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical, eje de ordenadas. El punto de corte se llama origen de coordenadas.
• La primera coordenada se mide sobre el eje horizontal y se llama abscisa. La segunda, sobre el vertical, y se llama ordenada del punto.
• En una tabla, a cada valor de la primera magnitud le corresponde un valor de la segunda. Esta magnitud está en función de la primera o depende de ella.
• En una gráfica, a cada valor de la magnitud del eje de abscisas le corresponde un valor de la magnitud del eje de ordenadas. Esta magnitud depende o está en función de la primera.
• La relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una igualdad llamada fórmula.

En una fórmula, a partir de los valores de *x* de una magnitud, se obtienen valores de *y* de la otra. Esta magnitud depende o está en función de la primera.

• Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
• Variable independiente: La que se fija previamente.
• Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente a través de la función.

Ángulos

Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con el mismo origen, llamado vértice. Los lados son las semirrectas.

Clasificación de ángulos:

• Agudo
• Obtuso
• Convexo (menor que un llano)
• Llano
• Cóncavo (mayor que un llano)

Relaciones entre ángulos:

• Complementarios: Si su suma es 90°.
• Suplementarios: Si suman 180°.
• Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
• Los ángulos de lados paralelos son iguales o suplementarios.

Circunferencia y Círculo

• Centro: Punto fijo (O).
• Radio: Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
• Arco: Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
• Diámetro: Cualquier cuerda que pasa por el centro.
• Cuando la cuerda es un diámetro, el arco que forma es una semicircunferencia. La parte del círculo limitada por el diámetro es un semicírculo.

Definiciones:

• Un círculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que la longitud del radio.
• Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro.
• Un ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma.
• Un ángulo inscrito tiene su vértice en una circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella.
• La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que abarca.

Longitud de la circunferencia: L = 2 * π * r

La longitud de un arco de circunferencia del que se conoce el número de grados (n°) que mide se calcula con la fórmula: L_arco = (2 * π * r * n°) / 360