• • Dinámica.
    • Las leyes de la dinámica de Newton:

¿Qué significan?

• • La primera ley nos dice cómo se comportan las partículas libres.
  • La segunda ley nos dice que los cambios de velocidad se deben a la acción de fuerzas. Si conocemos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo podemos determinar las aceleraciones y predecir su movimiento. Para ello hemos de resolver las ecuaciones (diferenciales) del movimiento.
  • La tercera ley nos dice que si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este «responde» con otra igual en magnitud pero de sentido contrario.

Explicación:

Aquí se repasan las tres leyes de Newton, fundamentales en la mecánica clásica. En relatividad, estas leyes se adaptan debido a la naturaleza no absoluta del espacio y el tiempo, pero los conceptos de inercia, fuerza y acción-reacción siguen siendo esenciales para entender el movimiento.

Son importantes porque hay leyes de conservación asociadas a ellos.

Leyes de conservación y simetrías (E. Noether):

• • Invariancia bajo traslaciones temporales → Conservación de la energía.
  • Invariancia bajo traslaciones espaciales → Conservación del momento lineal.
  • Invariancia bajo rotaciones → Conservación del momento angular.

Explicación:

Se introducen conceptos clave como el momento lineal y angular, junto con su relación con las leyes de conservación. La mención a Emmy Noether es crucial, ya que demostró que cada simetría física corresponde a una ley de conservación, un pilar fundamental en física clásica y relativista.

Dinámica relativista

• • Hay una ley de inercia relativista que se parece bastante a la primera ley de Newton (partículas libres y observadores inerciales).
  • El concepto de fuerza es menos útil que en la mecánica newtoniana (en la que las interacciones a distancia se transmiten de manera instantánea). Es (relativamente) difícil escribir «fuerzas relativistas».
  • Las interacciones entre las partes de un sistema físico se transmiten a una velocidad finita que no puede superar la velocidad de la luz c.
  • ¡No hay sólidos rígidos en relatividad especial! Al empujar un extremo, el otro se pondría instantáneamente en movimiento (sabemos que ninguna señal puede propagarse más deprisa que la luz) ¿Tercera ley?
  • Hay leyes de conservación relativistas de la energía y del momento que nos llevarán a conclusiones sorprendentes y extraordinarias.

Explicación:

Se explican las diferencias clave entre dinámica clásica y relativista. En relatividad, la inercia se mantiene, pero la fuerza es un concepto menos central debido a la velocidad finita de las interacciones. También se destaca que los sólidos rígidos son imposibles, porque la transmisión instantánea de movimiento violaría la relatividad. Las leyes de conservación permanecen, pero se reformulan en términos de cuadrivectores.

La ecuación más famosa de la física

• • E = mc^2
  • ¿De dónde viene?
  • ¿Qué nos dice?

Explicación:

Esta ecuación, derivada de la teoría de la relatividad especial de Einstein, establece que la masa es una forma de energía. Implica que incluso una pequeña cantidad de masa puede convertirse en una enorme cantidad de energía (como ocurre en la fusión nuclear en el Sol). Esta relación es fundamental para entender la equivalencia entre masa y energía y es la base de fenómenos como la energía nuclear y la aniquilación materia-antimateria.

1. Conservación de energía y momento lineal.

Conservación de la energía:

• • En un sistema mecánico cerrado la energía total es la misma en cualquier instante de tiempo.
  • Podemos calcular esta energía a partir de las posiciones y de las velocidades de todas las partículas que componen el sistema.
  • Ejemplo: una partícula de masa mmm en un campo de fuerzas conservativo tiene una energía que vale:

  • 

Conservación del momento:

• • El momento lineal de una partícula es

  • 

  • La suma de los momentos lineales de las partículas que forman un sistema aislado permanece constante.
  • Esto es lo que usamos al estudiar problemas de choques.

Explicación:

Esta diapositiva resume dos leyes clave de la física:

• • Conservación de la energía: La energía total, compuesta por energía cinética y potencial, permanece constante en sistemas cerrados.
  • Conservación del momento lineal: El momento total se mantiene constante en ausencia de fuerzas externas. Esto es fundamental en colisiones y reacciones.

Intercambio de momento lineal entre partículas

• • Sabemos que hay interacción cuando el movimiento de las partículas no es rectilíneo y uniforme.
  • Un caso especialmente simple se produce cuando hay choques o colisiones.
  • Vamos a estudiar choques relativistas, usados en los aceleradores de partículas.
  • Para ello vamos a utilizar una generalización relativista del momento lineal, que recibe el nombre de «cuadrimomento».

Nota:

• • El cuadrimomento total de un sistema aislado se conserva.

Explicación:

Aquí se introduce el concepto de cuadrimomento, una extensión del momento lineal en relatividad. A diferencia de la mecánica clásica, en relatividad la conservación del cuadrimomento es crucial para describir colisiones de partículas a altas energías, como en los aceleradores de partículas.

El producto escalar relativista

Transcripción:

El producto escalar en el espaciotiempo de Minkowski:

• • La geometría del espaciotiempo de Minkowski viene completamente descrita por un (pseudo) producto escalar:

  • 

  • ¡Observad que hay signos − y signos +! (por eso lo de pseudo).
  • Con este producto escalar podemos determinar si el intervalo entre dos sucesos A y B es:
    • De tipo tiempo,
    • De tipo nulo,
    • O de tipo espacio.

Explicación:

Este producto escalar es fundamental en la relatividad, ya que determina la separación entre eventos en el espaciotiempo. A diferencia del producto escalar euclidiano, tiene signos diferentes (métrica de Minkowski), lo que permite distinguir entre eventos que pueden estar conectados causalmente (tipo tiempo) y aquellos que no (tipo espacio).

2. Cuadrivelocidad y cuadrimomento.

Cuadrivelocidad

El tiempo propio como parámetro:

• • El parámetro natural para las líneas del universo de los observadores y objetos físicos es su tiempo propio (medido a partir de un origen predeterminado y en unas unidades concretas).
  • En cada punto podemos definir un vector tangente a la línea del universo similar a la velocidad.
    Esto es lo que se conoce como «cuadrivelocidad» (un vector en cuatro dimensiones).

Sus propiedades más importantes son:

1. Es un vector de tipo tiempo.

2. Apunta en la dirección del futuro.

3. Su módulo (Lorentz) es c, es decir,

4. 

• En las coordenadas Lorentz para un observador Obs, la cuadrivelocidad es: (gamma,gammav1,gammav2,gammav3)

• 

Explicación:

La cuadrivelocidad es el análogo relativista de la velocidad, pero incluye la dimensión temporal. Siempre apunta hacia el futuro y su módulo es constante (igual a la velocidad de la luz), reflejando la estructura geométrica del espaciotiempo de Minkowski. Este concepto es esencial para entender el movimiento en relatividad.

Momento lineal relativista

Transcripción literal:

• • Es un objeto geométrico (vector) asociado de manera natural a la línea de universo de una partícula parametrizada por su tiempo propio.
  • A partir de la cuadrivelocidad uuu construimos el cuadrimomento ppp asociado con la partícula (que suponemos que tiene masa mmm):

  • 

  • El producto escalar:

  • 

  • Por tanto, es de tipo tiempo.
  • Es posible asociar un cuadrimomento a los rayos de luz, pero en este caso es un vector de tipo nulo, lo que implica:

  • 

• • 

  • 0langlevecp,vecprangle=m2langlevecu,vecurangle=0
  • Para un observador inercial dado:

  • 

Explicación:

El cuadrimomento es la extensión relativista del momento lineal clásico. Es un vector en cuatro dimensiones (espaciotiempo) compuesto por:

• • Componente temporal: fracEc2\frac{E}{c^2}fracEc2 (relacionada con la energía).
  • Componente espacial: vecp\vec{p}vecp (momento lineal clásico).
  • Su módulo (producto escalar) indica el tipo de vector en el espaciotiempo:
    • Tipo tiempo: Si está asociado a una partícula con masa.
    • Tipo nulo: Si está asociado a la luz (masa nula).

Relación con la energía

Explicación:

• • Esta diapositiva muestra la relación entre energía, masa y momento derivada del cuadrimomento.
  • La ecuación completa de Einstein:
    E=sqrtm2c4+p2c2E = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}E=sqrtm2c4+p2c2
    es más general que la famosa E=mc2E = mc^2E=mc2, que solo aplica a partículas en reposo.
  • Cuando la velocidad es baja (vllcv \ll cvllc), aparece la energía cinética clásica:
    Eapproxmc2+fracp22mE \approx mc^2 + \frac{p^2}{2m}Eapproxmc2+fracp22m
  • A altas velocidades (cercanas a ccc), la energía crece más rápidamente, explicando por qué es imposible superar la velocidad de la luz: la energía requerida sería infinita.

• • Equivalencia entre masa y energía.

    • 

Esta diapositiva introduce una reflexión sobre el significado de la energía en reposo en relatividad. Las preguntas plantean:

• • ¿Es la energía en reposo solo un cambio en el sistema de referencia?: Es un concepto importante, ya que la energía en reposo no desaparece, es intrínseca al objeto.
  • ¿Qué significa que

  • 

  • sea la energía?: Aquí relacionan la energía total y el cuadrimomento, concepto clave en relatividad.
  • ¿Podemos justificar esta fórmula con un experimento mental?: Anticipan que la equivalencia masa-energía surge de un razonamiento lógico (que se verá en la siguiente diapositiva).

1. Un experimento mental de Einstein.

Aquí se relaciona la energía y el momento con las ondas electromagnéticas:

• • Energía y momento sin masa: Las ondas electromagnéticas (como la luz) no tienen masa, pero sí transportan energía y momento (demostrado con la presión de radiación).
  • Densidad de energía y momento: Se introducen las expresiones para la densidad de energía y momento, conceptos esenciales en electrodinámica.
  • Relación E=pc: Muestran que para un objeto sin masa (como un fotón), la energía y el momento están relacionados por E=pc , la relación clave para partículas relativistas.

Este es un experimento mental para demostrar la conservación del momento y cómo surge la equivalencia masa-energía:

• • Antes del pulso (Región I): El centro de masas está en el origen.
  • Después de la emisión del pulso (Región III): El centro de masas se mueve, lo que parece violar la conservación del momento.
  • ¿Cómo se arregla? Mostrando que la masa de la partícula emisora disminuye para compensar la energía del pulso.

• • Conservación del momento: Ajustan las ecuaciones considerando que la masa de la partícula emisora disminuye para generar el pulso de luz.
  • Centro de masas: Ahora se corrige su desplazamiento mostrando que la pérdida de masa es proporcional al momento del pulso.

Explicación:

Aquí aparece la fórmula clave:

• • • 

    • : Relación entre la pérdida de masa y el momento.

    • 

    • ¡La famosa ecuación E=mc2
    • Conclusión: La energía perdida por la masa original se convierte en la energía del pulso, confirmando la equivalencia entre masa y energía.
    • El razonamiento es puramente clásico (sin elementos relativistas).
    • ¡El pulso de luz no tiene masa!
    • Las componentes de los cuadrivectores se suman, sus magnitudes no.
    • La masa total no es la suma de las masas de sus constituyentes.
    • En las ecuaciones de Einstein de la gravitación contribuyen masa, energía y tensiones.
    • Einstein usó una caja en su experimento mental, aquí usamos objetos rígidos.

Explicación:

• • • Punto clave: El pulso de luz no tiene masa, pero transporta energía y momento.
    • La masa total no es suma: La masa total incluye la energía interna (como en la relatividad general).
    • La equivalencia es profunda: Afecta no solo a partículas, sino a la gravitación misma.

Esta diapositiva muestra cómo se obtiene la masa efectiva de un sistema a partir de la suma de cuadrimomentos de dos partículas (o fotones) utilizando el producto escalar de Minkowski. En relatividad, la masa no es la suma directa de masas, sino que emerge del cuadrimomento total.

📌 Primera situación (arriba): Dos fotones opuestos:

• • • Ambos cuadrimomentos  tienen masa nula
    • Sin embargo, la suma  tiene una norma distinta de cero.
    • Esto implica que el sistema formado por dos fotones que se mueven en direcciones opuestas se comporta como si tuviera masa.
    • La masa efectiva es:

m=2pcm = \frac{2p}{c}m=c2p​

Esto es clave para entender que, aunque los fotones son sin masa, el sistema puede tener masa inercial (como en la radiación de cuerpo negro o la presión de radiación).

📌 Segunda situación (abajo): Dos fotones paralelos:

• • • Ambos cuadrimomentos p1\mathbf{p_1}p1​ y p2\mathbf{p_2}p2​ también tienen masa nula.
    • En este caso, se mueven en la misma dirección (paralelos).
    • La suma p1+p2\mathbf{p_1} + \mathbf{p_2}p1​+p2​ da una norma nula, lo que significa que el sistema completo también tiene masa nula.
    • Por eso, el sistema se comporta como si fuera otro fotón (con masa cero y velocidad c).

2. Reacciones químicas.

Esta diapositiva muestra el concepto de defecto de masa: el átomo de hidrógeno pesa menos que la suma de sus componentes debido a la energía de enlace, que mantiene unido al electrón con el protón. Según la relación de Einstein E=mc2E = mc^2E=mc2, esta energía de enlace contribuye negativamente a la masa total, lo que provoca que la masa medida del átomo sea ligeramente menor que la suma de sus componentes.

sta diapositiva compara la energía de las reacciones químicas (que proviene de los electrones) con la energía de enlace nuclear (asociada a la masa). La fracción de masa perdida en una reacción química es extremadamente pequeña (10−810^{-8}10−8), lo que resalta que los procesos nucleares son muchísimo más energéticos.

3. Desintegraciones.

Esta diapositiva introduce la conservación del cuadrimomento en una desintegración, donde una partícula en reposo se desintegra en dos productos. El balance energético y de momento lineal es crucial para entender las energías y masas involucradas. Es la base para estudiar procesos como el decaimiento beta o la aniquilación partícula-antipartícula.

Aquí se analizan los casos extremos de una desintegración. Si el producto final es un fotón (sin masa), la energía se reparte simétricamente. Sin embargo, si la partícula original no tiene masa (como un fotón), la desintegración es imposible porque no se puede cumplir la conservación simultánea de energía y momento.

Esta diapositiva enfatiza que un solo fotón no puede desintegrarse espontáneamente, debido a la conservación de la energía y el momento. Al no tener masa en reposo, el fotón solo puede transformarse mediante colisiones o interacciones con otras partículas, como ocurre en la creación de pares electrón-positrón cuando impacta en un campo electromagnético intenso.

• • • ¿De dónde viene la energía del Sol?

El Sol genera energía mediante fusión nuclear en su núcleo, convirtiendo hidrógeno en helio y liberando enormes cantidades de energía, que se propagan a través de las capas hasta llegar a la superficie y más allá como luz y calor.

1. Fusión nuclear en las estrellas.

Esta reacción es fundamental en el Sol y en reactores de fusión. La pérdida de masa se convierte en energía, explicando cómo el Sol irradia luz y calor.

En colisiones, la partícula más ligera (el neutrón) adquiere más energía cinética. Este análisis es clave para entender cómo se libera y reparte la energía en las reacciones solares.

El ciclo protón-protón (pp) es la principal fuente de energía del Sol. A partir de cuatro protones, se forma helio-4, y la pérdida de masa se convierte en energía (E = mc²).

2. Producción de energía por fusión nuclear.

• El ITER es un proyecto científico internacional que busca demostrar la viabilidad de la fusión nuclear como fuente de energía.
• Este reactor es un tokamak, un dispositivo que utiliza un potente campo magnético para confinar el plasma en forma de toroide.
• En el interior del reactor, se generan las condiciones necesarias para que ocurra la fusión de núcleos ligeros, como el deuterio y el tritio, liberando grandes cantidades de energía, al igual que ocurre en el núcleo del Sol.
• El ITER es uno de los mayores experimentos de energía del mundo, con la meta de producir más energía de la que consume y demostrar el potencial de la fusión como energía limpia y prácticamente inagotable.

• • • En el interior del Sol se produce una situación de equilibrio en la que la fuerza gravitatoria contrarresta los efectos de la temperatura y la presión de la radiación (la presión interna del Sol produce una fuerza que se opone a la gravedad).
    • En los reactores de fusión el confinamiento del plasma se consigue mediante campos magnéticos (bastante complicado…).
    • No hay que olvidar que la energía liberada en los procesos de fusión nuclear procede de la conversión de masa en energía, y sus detalles se obtienen a partir de la dinámica relativista (conservación del cuadrimomento).

Explicación:

1. Situación de equilibrio en el Sol:

• El equilibrio se produce entre:
  • La fuerza gravitatoria, que tiende a colapsar el Sol.
  • La presión de la radiación, generada por las reacciones de fusión nuclear en su núcleo, que tiende a expandirlo.
• Esta interacción es la que mantiene estable al Sol durante millones de años.

Confinamiento en los reactores de fusión:

• En los reactores tipo tokamak, como el ITER, se utiliza un campo magnético extremadamente intenso para confinar el plasma (un gas ionizado a temperaturas altísimas).
• El confinamiento es crucial para mantener las condiciones de temperatura y presión necesarias para que ocurra la fusión nuclear.

Conversión de masa en energía:

• La energía generada en la fusión proviene de la famosa ecuación de Einstein: E=mc2E = mc^2E=mc2 Es decir, una pequeña cantidad de masa se convierte en una gran cantidad de energía.
• La explicación precisa de este proceso proviene de la dinámica relativista, que incluye conceptos como el cuadrimomento (una magnitud física que combina energía y momento en cuatro dimensiones).

• • • Preguntas y cuestiones.

1. ¿Qué es un eV? ¿Y un MeV?

• Un electrón-voltio (eV) es una unidad de energía equivalente a la energía cinética adquirida por un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 voltio.

• 

• Completar los cálculos de la reacción de fusión deuterio-tritio.
  La reacción de fusión deuterio-tritio es:
  12H+13H→24He+01n+17.6 MeV^2_1H + ^3_1H \rightarrow ^4_2He + ^1_0n + 17.6 \text{ MeV}12​H+13​H→24​He+01​n+17.6 MeV
  Se libera 17.6 MeV de energía en cada reacción. Para calcular la energía total producida en un reactor, es necesario considerar la cantidad de reacciones que ocurren por segundo.

2. ¿Qué pesa más en el vacío: un kilo de hielo o un kilo de agua a 90°C? ¿Por qué en el vacío?

• En el vacío, no hay flotabilidad ni efecto del aire, por lo que ambos pesan lo mismo, ya que la gravedad actúa igual sobre ambos.
• En la atmósfera, el agua líquida es más densa y experimenta más empuje de flotabilidad, por lo que su peso medido en una balanza sería ligeramente menor que el del hielo.

Masa sin masa: un kilo de electrones se aniquilan con un kilo de positrones en el interior de un recipiente esférico perfectamente reflectante e indestructible… ¿En cuánto cambia la masa medida desde fuera?

• Cuando los electrones y positrones se aniquilan, se convierten en energía pura (fotones) según la ecuación de Einstein: E=mc2E = mc^2E=mc2
• Como los fotones quedan atrapados dentro del recipiente y la energía equivale a la masa en relatividad, la masa total medida desde fuera sigue siendo la misma.

¿Cuánta gasolina tendría que quemarse cada segundo en el Sol para producir la energía que emite en ese tiempo?

• La potencia emitida por el Sol es aproximadamente: P⊙≈3.8×1026 WP_{\odot} \approx 3.8 \times 10^{26} \text{ W}P⊙​≈3.8×1026 W
• La gasolina tiene un poder calorífico aproximado de 45 MJ/kg.
• Para calcular la masa de gasolina que se necesitaría quemar por segundo: 3.8×1026 J/s45×106 J/kg≈8.4×1018 kg/s\frac{3.8 \times 10^{26} \text{ J/s}}{45 \times 10^6 \text{ J/kg}} \approx 8.4 \times 10^{18} \text{ kg/s}45×106 J/kg3.8×1026 J/s​≈8.4×1018 kg/s
• Es decir, se necesitarían 8.4 mil millones de millones de toneladas de gasolina cada segundo.

¿Qué potencia emite el Sol por unidad de volumen?

• Si consideramos que el radio del Sol es aproximadamente R⊙≈6.96×108R_{\odot} \approx 6.96 \times 10^8R⊙​≈6.96×108 m, su volumen es: V⊙=43πR⊙3≈1.41×1027 m3V_{\odot} = \frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3 \approx 1.41 \times 10^{27} \text{ m}^3V⊙​=34​πR⊙3​≈1.41×1027 m3
• La potencia por unidad de volumen es: P⊙V⊙=3.8×1026 W1.41×1027 m3≈0.27 W/m3\frac{P_{\odot}}{V_{\odot}} = \frac{3.8 \times 10^{26} \text{ W}}{1.41 \times 10^{27} \text{ m}^3} \approx 0.27 \text{ W/m}^3V⊙​P⊙​​=1.41×1027 m33.8×1026 W​≈0.27 W/m3
• Lo que indica que, en promedio, el Sol emite muy poca potencia por metro cúbico comparado con un motor de combustión, pero lo compensa con su enorme tamaño.

Cuestiones para pensar

6. ¿Cómo modificarías las ecuaciones de la gravitación universal de Newton para hacerlas “más relativistas”? ¿A qué velocidad se propaga la gravedad newtoniana?

• En la teoría de Newton, la gravedad es instantánea. Sin embargo, en relatividad general, la gravedad se propaga a la velocidad de la luz.
• Para hacer la ecuación más relativista, en lugar de la fórmula de Newton: F=Gm1m2r2F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}F=Gr2m1​m2​​ se introduce la métrica de Schwarzschild y el campo gravitatorio se describe con la ecuación de Einstein: Gμν+Λgμν=8πGc4TμνG_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}Gμν​+Λgμν​=c48πG​Tμν​
• Esto muestra cómo la curvatura del espacio-tiempo es lo que genera el efecto gravitacional.

¿Es posible que de la colisión de dos fotones salgan partículas con masa?

• Sí, en ciertos casos, dos fotones de alta energía pueden generar partículas con masa mediante la creación de pares.
• Un ejemplo es la producción de un par electrón-positrón: γ+γ→e++e−\gamma + \gamma \rightarrow e^+ + e^-γ+γ→e++e−
• Este fenómeno es importante en colisionadores de partículas y astrofísica de altas energías.

¿Cuál es la masa del bosón de Higgs? ¿Cómo es posible que se creen estas partículas al chocar protones (como se hace en el LHC del CERN)?

• La masa del bosón de Higgs es aproximadamente 125 GeV/c².
• Se crea en colisiones de protones en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) cuando la energía de la colisión se convierte en masa, siguiendo E=mc2E = mc^2E=mc2.
• Se producen partículas pesadas que rápidamente decaen en otras partículas detectables, lo que permite inferir la existencia del Higgs.