Deformación de una Partícula Fluida

La deformación de una partícula fluida se define como la diferencia entre la velocidad de un punto cualquiera de la partícula y la velocidad de su origen, representada por el vector dv. Este vector tiene dos contribuciones: la parte simétrica y la antisimétrica.

La contribución antisimétrica, con tres componentes independientes, se expresa como:

donde ω es el rotacional del campo de velocidades, denominado vorticidad. Representa el giro como sólido rígido con velocidad angular igual a la mitad de la vorticidad local del flujo. En coordenadas ortogonales, los componentes del vector vorticidad son:

La parte simétrica del movimiento representa la deformación real, modificando la posición relativa de las moléculas. Esta parte se relaciona con los esfuerzos sobre la partícula fluida. La parte simétrica se representa mediante el tensor de deformaciones T_d, cuyos elementos son γ_ij, y dv_d es la velocidad de deformación.

El teorema de Cauchy-Helmholtz (primer teorema de Helmholtz) resume este análisis, indicando que el movimiento de un volumen elemental de fluido se descompone en:

• Traslación del origen: v(x_o)
• Giro como sólido rígido: dv_a = (1/2)ω∧dx
• Deformación propiamente dicha: dv_d = dx × T

Tensor de Velocidades de Deformación y Direcciones Principales

La parte simétrica del tensor gradiente de velocidad es el tensor de velocidades de deformación T_d. La velocidad de deformación de un punto respecto al centro, definido por el vector ζ, se expresa como:

En general, dv_d no tiene la misma dirección que ζ. Las direcciones donde sí coinciden se llaman direcciones principales de deformación y son los autovectores del tensor. Los autovalores λ se obtienen de:

La suma de los autovalores (traza de la matriz) es invariante. En fluidos incompresibles (divergencia del campo de velocidad = 0), existen autovalores negativos.

Dilatación Lineal, Angular y Cúbica Unitaria

Los elementos del tensor de deformaciones representan las deformaciones de la partícula. Un elemento lineal según un eje se modifica en un dt, sufriendo una deformación. Aunque ζ tenga una sola componente, la deformación tiene tres:

Dilatación Lineal

La dilatación lineal unitaria es la componente de la deformación en la misma dirección por unidad de longitud y tiempo. Corresponde a los elementos de la diagonal del tensor de deformaciones γ_ii.

Dilatación Angular

La dilatación angular, que modifica el ángulo entre dos vectores ζ₁ y ζ₂, se calcula a partir de su producto escalar:

Es negativa al disminuir el ángulo y corresponde, con signo cambiado, al doble del elemento γ₁₂ del tensor T_d.

Dilatación Cúbica

La dilatación cúbica unitaria, variación del volumen por unidad del mismo, es la divergencia del campo de velocidades o la traza del tensor de deformaciones:

Vorticidad de una Partícula Fluida

La vorticidad local ω es crucial por sus propiedades y simplificaciones en el análisis del flujo. Si es nula en todos los puntos, el flujo es irrotacional. El campo de vorticidad ω(x,t) se define aplicando el operador rotacional al campo de velocidades v(x,t). Se distingue la vorticidad por curvatura de las líneas de corriente y la asociada a gradientes transversales de velocidad.

Líneas y Tubos de Vorticidad. Segundo Teorema de Helmholtz

La vorticidad, como rotacional del campo de velocidades, cumple:

Las líneas de vorticidad son curvas paralelas a la vorticidad local, cuyas ecuaciones diferenciales son:

Un tubo de vorticidad se forma al apoyar estas líneas sobre una línea cerrada. El flujo de vorticidad a través de cualquier sección del tubo es constante.

El flujo a través de las secciones 1 y 2 es igual y se denomina intensidad del tubo de vorticidad.

El tubo de vorticidad no termina en el interior del fluido, sino en una superficie libre, un contorno sólido o se extiende al infinito (segundo teorema de Helmholtz).

Circulación. Movimiento Irrotacional. Potencial de Velocidades

La circulación Γ a lo largo de una línea L se define como:

Si la curva es cerrada y reducible (dominio simplemente conexo), por el teorema de Stokes:

La circulación en una línea cerrada es igual al flujo de vorticidad a través de cualquier superficie apoyada en ella, que coincide con la intensidad del tubo de vorticidad.

Un movimiento irrotacional (vorticidad nula en un dominio simplemente conexo) implica circulación nula en cualquier línea cerrada:

Si el flujo es irrotacional, deriva de una función escalar, el potencial de velocidades:

Líneas de Torbellinos. Ley de Biot-Savart

En fluidos con zonas extensas de vorticidad nula y zonas delgadas con alta vorticidad (torbellinos), el campo se describe en función de la posición e intensidad de estos torbellinos. En fluidos incompresibles (divergencia de la velocidad nula), la velocidad es el rotacional de un potencial vectorial:

con:

Si la vorticidad se concentra en una línea de intensidad Γ con diferencial dl, la ley de Biot-Savart define el campo de velocidad:

Para un torbellino hasta el infinito:

Teorema de Bjerknes-Kelvin (o Beltrami)

Este teorema establece que la derivada temporal de la circulación a lo largo de una línea fluida cerrada L es igual a la circulación de la aceleración:

La demostración parte de la expresión de la línea fluida x = x₁(λ,t) con λ₁, λ₂:

El diferencial de longitud es:

El último término es la integral del diferencial de v²/2, que resulta en la diferencia de velocidades al cuadrado entre los puntos extremos de la línea cerrada (que coinciden). Por lo tanto, si la aceleración deriva de un potencial, la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es constante. Si el fluido parte de un movimiento irrotacional (circulación inicial nula), se mantendrá irrotacional.