Aplicaciones del Cálculo Integral en Ingeniería Agroambiental
A continuación, se presentan diversos problemas resueltos que ilustran la aplicación del cálculo integral en el contexto de la ingeniería agroambiental. Estos ejemplos abarcan desde el análisis de tasas de crecimiento poblacional hasta la optimización de procesos productivos y la evaluación de condiciones ambientales.
1. Tasa de Crecimiento Poblacional
La tasa de crecimiento de cierta población transcurridos *T* años está dada por la función:
(personas/año)
Determinar la función *H(t)* considerando una población inicial de 2500 personas.
Donde *H(t)* representa la cantidad de personas después de *T* años.
¿Cuál será la población después de 5 años?
Personas a los 5 años.
2. Movimiento de un Tren a Pilas
Un tren a pilas se mueve por un riel horizontal de manera que su rapidez instantánea a los *T* minutos está dada por:
Si el tren comienza su recorrido a 2 metros del punto de partida, determine la función posición *P(t)*:
Transcurridos 3 minutos, ¿a qué distancia se encuentra del punto de partida?
3. Función de Oferta de Calculadoras
La función oferta para *x* cantidad de calculadoras vendidas está dada por la función:
El excedente del productor teniendo un nivel de venta de 100 calculadoras es de $144.000.
4. Análisis de Temperatura en Invierno
Se analiza la temperatura en una noche de invierno en Santiago desde la medianoche hasta las 7 de la madrugada. La temperatura en grados Celsius está dada por la función:
Donde *h* son las horas transcurridas desde la medianoche.
¿Cuál fue la temperatura a las 4 am?
R: La temperatura a las 4 de la madrugada fue de -0,4 °C.
Determine la temperatura promedio durante todo el análisis.
R: La temperatura promedio durante todo el análisis es de 1,03 °C.
5. Ingreso Marginal de una Empresa Importadora
Una empresa importadora estima su ingreso marginal al vender *x* artículos, que se obtiene a partir de la función:
Encuentre la función ingreso *I(x)*, teniendo en cuenta que el ingreso al vender 40 productos corresponde a 61 dólares.
6. Movimiento de un Automóvil
Un automovilista sale de su casa y se mueve a lo largo de una carretera en línea recta de modo que la rapidez en metros por segundo está dada por la función:
Si al ingresar a la carretera, donde se realiza la primera medición, el automovilista se encuentra a 100 metros de su casa, ¿a qué distancia de su casa se encuentra a los 10 segundos de haber estado en la carretera?
Por lo tanto, se encuentra a 720 metros de distancia.
7. Cambio en la Población de una Comunidad
Se ha determinado que dentro de *t* años, la población de cierta comunidad cambiará a razón de:
Si la población actual es de 25180 habitantes, determine *p(t)*.
Donde *p(t)* representa la cantidad de personas después de *t* años.
Población después de 3 años:
R: Dentro de 3 años, la población será de 26712 habitantes.
8. Variación de Ventas de una Empresa
Una empresa determinó que *t* meses después de aumentar los valores de sus productos, las ventas de la compañía varían a razón de:
miles de pesos por mes. Si al momento de modificar los precios las ventas de la empresa eran de 15000000, determine *V(T)*.
¿A cuánto ascienden las ventas a los 4 meses?
R: 4 meses después de modificar los precios, las ventas aumentan a $1528239 pesos por mes.
9. Función de Oferta de Bolsos Playeros
La función de oferta de *q* bolsos playeros está dada por:
pesos por unidad. Hallar el excedente del productor cuando el nivel de ventas es de 50 bolsos.
10. Temperatura de una Ampolleta de Bajo Consumo
Supongamos que la temperatura en grados Celsius de una ampolleta de bajo consumo depende del tiempo desde su encendido, medido en minutos, según la función:
Calcular la temperatura promedio entre los 4 y 8 minutos de encendida.
R: La temperatura promedio entre los 4 y 8 minutos de encendido de la ampolleta es de 25°C.
11. Costo Marginal de una Empresa Importadora de Tela
Una empresa importadora estima su costo marginal *cm(x)* en miles de euros, por producir *x* toneladas de tela, que se puede estimar con la función:
Determine la función costo *c(x)*, teniendo en cuenta que el costo de producir 20 toneladas corresponde a 2264000 euros.
12. Función Demanda de Televisores LCD
La función demanda para *x* televisores LCD está dada por:
dólares por unidad. Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 80 unidades.
R: El excedente del consumidor cuando el nivel de venta es de 80 unidades es de 21760 euros.
13. Aceleración de un Auto de Carrera
Se ha medido que un auto de carrera acelera de tal modo que al salir de una curva su rapidez, en metros por segundo, queda representada por la función:
¿Qué distancia recorre a los 2 segundos de haber salido de la curva?
14. Rapidez de Venta de Artículos de Línea Blanca
Durante varios meses, una distribuidora de artículos de línea blanca registra la rapidez con que sus productos se venden. Los datos indican que entre el primer mes que se venden es aproximadamente:
Donde *T* es el número de meses a partir de enero. Calcular la rapidez promedio con la que los productos se venden entre el 1° y 6° mes del año.
15. Ingreso Marginal de una Fábrica de Parabrisas
Una fábrica de parabrisas para automóviles ha calculado que el ingreso marginal, expresado en pesos, al fabricar *x* unidades está dado por la función:
Si el ingreso por vender 20 parabrisas es de 500000 pesos, ¿cuál es el ingreso por vender 50 unidades?
R: Al vender 50 parabrisas, el ingreso es de $955400 pesos.
16. Excedente de los Consumidores en el Equilibrio de Mercado
Las funciones de oferta y demanda en pesos por unidad para *x* pendrives marca Ladygiga están representadas por:
Hallar el excedente de los consumidores en el equilibrio de mercado.
Continuación 16