Geotecnia: Dimensionamiento de Zapata Excéntrica

Sobre un terreno con un ángulo de rozamiento interno FI=30°, cohesión c=20 kN/m² y peso específico γ=2.2, se debe construir una zapata rectangular, con una longitud 1.4 veces su anchura, enterrada a 1.5 m, para soportar un pilar que produce una carga vertical de 1000 toneladas.

1. Hallar las dimensiones de esa zapata para que tenga un coeficiente de seguridad de 3 respecto al hundimiento, según la fórmula de Brinch Hansen.
2. Suponiendo ahora que existe además una componente horizontal de 200 toneladas formando un ángulo de 20° respecto al eje menor del rectángulo, hallar el coeficiente de seguridad, en este caso, de la zapata proyectada.
3. Supóngase ahora que, en lugar de esa componente horizontal, existe un momento de 500 mT, que tiene como eje una de las diagonales. Hallar el coeficiente de seguridad en este caso.

1. Dimensionamiento de la Zapata con un Coeficiente de Seguridad de 3

Los parámetros de resistencia intrínseca del terreno son: c=20 kN/m², FI=30°

El peso específico del terreno relativo es 2.2, luego: γ_w=10 KN/m³, γ=2.2γ_w=22KN/m³

La expresión general a aplicar en los ejercicios de determinación de la carga de hundimiento de zapatas es (fórmula de Brinch Hansen):

p_h=q N_q s_q d_q i_q E_q + c N_c s_c d_c i_c E_c + 0.5 B γ N_γ s_γ d_γ i_γ E_γ

Aplicando las fórmulas generales para los coeficientes N:

N_qu = (1 + sin(FI))/(1 – sin(FI)) *e^(π tan(FI)) = 18.4

N_cu = (N_qu-1)/tan(FI) = 30.14

N_γu = 1.8(N_qu-1)tan(FI) = 18.08

Coeficientes de forma (influencia de la geometría de la zapata):

El coeficiente r = B/L es igual a 1/1.4 = 0.714

r = 0.714

s_q = 1 + r tan(FI) = 1.41

s_c=(N_q s_q – 1)/(N_q-1) = 1.44

s_γ=(1 + 0.2r)/(1+r) = 0.667

Coeficientes de profundidad (influencia del terreno situado por encima del plano de cimentación):

D = 1.5m –> Espesor del terreno situado por encima del plano de apoyo de la zapata

Como no conocemos B, en definitiva es la incógnita que tenemos que obtener para dimensionar la zapata, vamos a suponer que D / B < 1, es decir B debe ser mayor o igual que D=1.5 m. En tal caso los coeficientes de profundidad dependerán de la incógnita B.

d_q(B_z) = 1 + 2tan(FI)*(1 – sin(FI))² *D/B_z –> Coeficiente de profundidad en función de B

d_c(B_z) = (N_q d_q(B_z) – 1)/(N_q-1) –> Coeficiente de profundidad en función de B

d_γ = 1

En este caso no proceden los coeficientes de existencia de capa rígida ni de NF.

Si la carga sobre la zapata es N_k=1000t=9807kN la presión bajo la zapata será: p_k(B_z)=N_k/(1.4B_z²)

La presión de hundimiento dependerá también de B y su expresión será: (q= γ*D= 33 kN/m²)

p_h(B_z) = q N_q s_q d_q(B_z) + c N_c s_c d_c(B_z) + 0.5 B_z γ N_γ s_γ d_γ E_γ

La condición a cumplir, para un coeficiente de seguridad F_p=3 será la que nos permitirá obtener B:

F_p = 3

0 = p_h(B_z) – F_p p_k(B_z) –>(valor inicial B_z=2m)–> B_z=2.97m

L_zapata=1.4B_zapata=4.16 m –> Solución válida de lado de zapata rectangular con margen de seguridad de 3 frente al hundimiento del terreno.

2. Coeficiente de Seguridad si la Carga Tiene una Inclinación

En este caso, para α=20° y N_kH=200t tendremos:

H_k = N_kH cos(α) = 187.9t

L_k = N_kH sin(α) = 68.4t

Para el cálculo de la carga de hundimiento habrá que tener en cuenta los coeficientes de inclinación:

S_z=B_zapata*L_zapata= 1.4*2.97² =12.35 m²

tg(β) = (H_k*tan(FI))/(N_k*tan(FI) + S_z*c) = (187.9*tan30)/(1000*tan(30) + 12.35*20/9.80665) = 0.18

i_q=(1-tan(β))² =0.672

i_c=(N_q*i_q -1)/(N_q-1) =0.653

Para el cálculo del coeficiente i_γ empleamos el gráfico entrando con el valor: tan(β)/tan(FI)=0.31 –> i_γ=0.58

Coeficientes de profundidad (influencia de terreno situado por encima del plano de cimentación):

D/B_zapata = 0.5

En este caso el valor del coeficiente de profundidad d_q será (D/B<1):

d_q = 1 + 2tan(FI)*(1 – sin(FI))² *(D/B_zapata) = 1.14

d_c = (N_q d_q – 1)/(N_q-1) = (18.4*1.14-1)/(18.4-1) = 1.14

d_γ = 1

Los coeficientes de forma no varían respecto a los calculados anteriormente.

La nueva carga de hundimiento será:

p_h=q N_q s_q d_q i_q + c N_c s_c d_c i_c + 0.5 B_zapata γ N_γ s_γ d_γ i_γ = 33*18.4*1.41*1.14*0.672 + 20*30.14*1.44*1.14*0.653 + 0.5*2.97*22*18.08*0.667*1*0.58 = 1530 KN/m²

La presión en servicio transmitida teniendo en cuenta la inclinación será:

p_k=N_k/(B_zapata*L_zapata)= 1000*9.80665/12.35 = 794 KN/m²

El coeficiente de seguridad frente a hundimiento será ahora:

F_p=p_h/p_k=1.93 –> Es decir, se ha reducido significativamente como consecuencia de la inclinación de la carga.

3. Coeficiente de Seguridad si la Carga Tiene una Excentricidad

El momento aplicado va en la dirección de la diagonal, se descompone por tanto en:

M_k=500 tm, α= atan(B_zapata/L_zapata)=35.5 °

M_k1 = M_k cos(α) = 407 tm, e₁=M_k1/N_k=0.407

M_k2 = M_k sin(α) = 290 tm, e₂=M_k2/N_k=0.29

Las dimensiones de la zapata ficticia serán ahora:

B=2(0.5 B_zapata – e₁)=2.16 m

L=2(0.5 L_zapata – e₂)=3.58 m

Coeficientes de forma (influencia de la geometría de la zapata ficticia):

r=B/L=0.603

s_q = 1 + r tan(FI) = 1.35

s_c=(N_q s_q – 1)/(N_q-1) = 1.37

s_γ=(1 + 0.2r)/(1+r) = 0.7

Coeficientes de profundidad (influencia de terreno situado por encima del plano de cimentación):

D/B=0.69

En este caso el valor del coeficiente de profundidad d_q será:

d_q = 1 + 2tan(FI)*(1 – sin(FI))² *(D/B) = 1.2

d_c = (N_q*d_q – 1)/(N_q-1) = 1.21

d_γ = 1

La carga de hundimiento será:

p_h=q N_q s_q d_q + c N_c s_c d_c + 0.5 B γ N_γ s_γ d_γ = 2283 KN/m²

La presión en servicio transmitida teniendo en cuenta la excentricidad será:

p_k=N_k/(B*L) =(1000*9.80665)/(2.16*3.58) =1268 KN/m²

El coeficiente de seguridad frente a hundimiento será ahora:

F_p=p_h/p_k=1.8 –> Es decir, se ha reducido significativamente como consecuencia de la excentricidad de la carga.