Componentes intrínsecas de la aceleración de un punto

Aceleración tangencial (a_tg=V · u_t):

• Módulo: mide el módulo del vector velocidad.
• Dirección: tangente a la trayectoria, como la velocidad.
• Sentido: acelerando, igual que la velocidad. Frenando, opuesta a la velocidad.

Aceleración normal (a_n=V²/ρ · u_N):

• Módulo: si la dirección es constante (recta), ρ=∞. Si la dirección no es constante (curva), ρ≠∞).
• Dirección: perpendicular a la trayectoria.
• Sentido: hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

Traslación pura

Si un sólido realiza una traslación pura, se define un segmento y dicho segmento no cambia de orientación durante el movimiento. La relación entre los vectores de posición es: r_B = r_A + AB. También se sabe que si un vector va ligado a un sistema de referencia, su derivada respecto de ese sistema es directa. Derivando la ecuación de las posiciones se obtiene el campo de velocidades: r_B = r_A + AB (punto arriba) → V_B = V_A. Derivando las velocidades: V_B = V_A (punto arriba) → a_B = a_A. En un sólido con traslación pura, todos los puntos describen trayectorias paralelas con la misma V y a.

Rotación pura

En un sólido con rotación pura, todos los puntos describen trayectorias circulares y paralelas, cuyos centros se encuentran alineados en el eje de rotación. r_p: es el vector de posición de P. Para estudiar las propiedades de P se toma como referencia un punto cualquiera del eje de rotación, punto O. V_P=r_p (con punto)=ω x r_p. V_P siempre será tangente a la trayectoria, su sentido es el que indica el movimiento. Su módulo: V_P = ω · R_p.

Ley de Boure

Se utiliza para calcular la derivada de un vector que va ligado a un SR Móvil respecto de un SR Fijo. Si un vector AB va ligado a un SR Móvil que tiene un ω, la derivada de AB respecto del SR Fijo es su derivada respecto del SR Móvil, más la velocidad angular del SR Móvil multiplicada por el vector AB. → AB (punto) =AB|_m (punto) + ω x AB

Demostración de ω_abs=ω_2|1+ω₁ y aceleración de resbalamiento

Se suponen dos sólidos 1 y 2, los dos moviéndose de manera independiente respecto de un sistema fijo. En un punto O del sólido 1 se colocan unos ejes vinculados a este sólido. (dibujo). A y B pertenecen al sólido 2, por lo que deducimos: V_B = V_A+ω₂xAB (1). También se puede plantear las dos velocidades que tienen ambos puntos respecto del sólido 1. V_A = V_O+ω₁xOA+V_A|1 (2) y V_B = V_O+ω₁xOB+V_B|1 (3).

Juntando (1), (2) y (3): ω₁xOB+V_B|1 =ω₁xOA+V_A|1 +ω₂xAB . Sabemos que: OB=OA+AB.

V_B|1 =V_A|1+ω₁ x(OA-OB)+ ω₂xAB → V_B|1 =V_A|1+ω₁ x(-AB)+ ω₂xAB → V_B|1 =V_A|1+(ω₂-ω₁) x AB → V_B|1 =V_A|1 +ω_2|1 x AB

Se puede deducir que se obtiene la velocidad angular relativa del sólido 1. ω_2|1=ω₂-ω₁ → ω₂ = ω_2|1+ω₁

Derivando esta expresión (ponerle punto) obtenemos: α₂ =α₁+ω_2|1|m + ω₁ x ω_2|1. Esto se ha hecho mediante Boure. ω_2|1|m (con punto) es directo ya que está ligado al SR Móvil: α₂ =α₁+α_2|1 + ω₁ x ω_2|1 donde ω₁ x ω_2|1 es la aceleración de resbalamiento.

Momentos de Inercia

Un momento de inercia es un conjunto (suma) de factores masa por distancia al cuadrado. Para un sistema discreto: I=Σ m r² y para un sistema continuo: I=∫ r² dm. El momento de inercia es un factor positivo siempre, se calcula respecto de un punto, un eje o un plano. d_o, d_e y d_π son las distancias desde el diferencial de masa hasta el punto, el eje y el plano. (dibujo)

I_o=∫ d_o² dm. I_e=∫ d_e² dm. I_π=∫d_π² dm.

Relaciones entre los momentos de inercia

1. Si se tiene un plano y un eje perpendicular entre sí que se cortan en un punto O, el momento de inercia respecto a O es:

   I_o=∫ d_o² dm → d_o² =d_e² + d_π² → I_o=∫ (d_e² + d_π² ) dm → I_o = ∫ d_e² dm + ∫ d_π² dm → I_o=I_e+I_π.

2. Si se tienen dos planos perpendiculares entre sí que se cortan en el eje e, el momento de inercia respecto del eje es: (dibujo)

   I_e=∫ d_e² dm → d_e² =d_π1² + d_π2² → I_e =∫ d_π1² + d_π2² dm → I_e =I_π1 + I_π2

3. Si se tienen 3 planos perpendiculares entre sí que se cortan en O, el momento de inercia respecto de O es: (dibujo)

   I_o=∫ d_o² dm → d_o² =d_π1² + d_π2² + d_π3² → I_e =I_π1 + I_π2 +I_π3

Producto de Inercia

Es un factor que se calcula respecto a 2 planos perpendiculares entre sí. Para un sistema discreto: C=Σ m d₁ d₂ y para un sistema continuo: C=∫ d₁ d₂ dm. d₁ d₂ son las coordenadas del dm respecto de los planos considerados. El producto de inercia C siempre se indica con el eje de corte de los dos planos, C_e. Es un factor que puede ser positivo, negativo o 0. Un C_e será 0 cuando uno de los planos respecto a los que se calcula sea un plano de simetría para el sólido. (dibujo)

Teorema de Pappus-Guldin

1. Si se hace girar una línea plana alrededor de un eje coplanario con ella y que no le corta, se obtiene una superficie de revolución. G es el centro de gravedad de la línea L. El centro de gravedad del dL es el mismo punto donde está dL. La longitud del dA es el ángulo girado multiplicado por el radio. (dibujos)

2. Si se hace girar una sección plana alrededor de un eje coplanario con ella y que no le corta, se genera un volumen de revolución. El dV engendrado por el dA es: (dibujos)

   Aplicación de Pappus: (dibujos)

   1. Calcular el volumen de un cono usando el 2º teorema: Se hace girar un triángulo rectángulo alrededor del eje y (2π rad).
   2. Calcular la superficie de una semiesfera utilizando el 1er teorema: Se hace girar una semicircunferencia alrededor del eje x.

Teorema de Steiner

1. Para los momentos de inercia: Se utiliza para calcular el momento de inercia de un punto que no es G o respecto de un eje o de un plano que se ha trasladado en paralelo desde los que pasaban por G.
2. Para los productos de inercia: Se utiliza para calcular el producto de inercia respecto de dos planos que se han trasladado en paralelo desde los que pasaban por el eje.

Rozamiento

Fuerza normal: enlace entre dos sólidos cuando estos se encuentran simplemente presionados uno contra otro. En un sistema plano, siempre es posible definir la recta tangente y la recta normal.