Cinemática del Sólido Rígido: Traslación y Rotación

Distribución, Posición Relativa, Vector Posición

Se abordan conceptos como la distribución de masa, la posición relativa de puntos dentro del sólido y la representación mediante vectores de posición.

Puntos Materiales Continuos y Rígidos

Se define la idealización de un sólido como un conjunto continuo de puntos materiales que mantienen distancias invariables entre sí, lo que define la rigidez.

Movimiento General de los Sistemas Rígidos

Vectores Deslizantes, Campo de Momentos

Se introduce el concepto de vectores deslizantes y cómo se relacionan con el campo de momentos en un sólido rígido.

Distancia Invariable, Campo Instantáneo. Movimiento Instantáneo. Teorema de Chasles y Euler

Se analiza la condición de distancia invariable entre puntos del sólido y se introduce el concepto de campo de velocidades instantáneo. Se presentan los teoremas de Chasles y Euler para describir el movimiento general.

Invariante Escalar y Velocidad Mínima. Eje Instantáneo de Rotación. 4 Movimientos. Axoides. Aceleración

Se define el invariante escalar y se relaciona con la velocidad mínima. Se introduce el concepto de eje instantáneo de rotación y se describen los cuatro movimientos fundamentales. Se menciona el concepto de axoides y se introduce la aceleración.

Centro de Aceleraciones

∆ = -ω²(m² + L²)

Sólido en Contacto con una Superficie

Se considera un sólido móvil (S) en contacto con una superficie fija (S₁). Se definen la velocidad del punto de contacto (Vp) y la velocidad angular (ω). Se introduce el plano π y la velocidad de deslizamiento. Se distinguen las componentes de la velocidad angular: ωp (pivotamiento) y ωr (rodadura). Se analiza el caso especial de un sólido rígido que no desliza (Vp = 0), lo que implica que el punto de contacto pertenece al eje instantáneo de rotación (rodadura pura).

Movimiento Plano

Se estudia el movimiento plano, caracterizado por un haz de planos paralelos y un director. La velocidad angular (Ω) es perpendicular al director, y la velocidad mínima es cero (Vminima = 0), lo que corresponde a una rodadura pura. Se introduce el concepto de Centro Instantáneo de Rotación (CIR) y las curvas polares fija y móvil.

Movimiento del CIR

Se analiza la velocidad propia o velocidad de sucesión del CIR.

Aceleración del CIR

Círculo de Inversiones e Inflexiones

Centro de Masas

 Se define el centro de masas y se discuten sus propiedades. Se introduce el concepto de triedro asociado al centro de masas. Se consideran casos de línea, superficie y volumen. Se menciona la regla de Arquímedes y la descomposición en subsistemas.

Teorema de Pappus y Guldin

Se presentan los teoremas de Pappus y Guldin para el cálculo de áreas y volúmenes de revolución en materiales continuos, planos y homogéneos. Se consideran casos de línea y superficie.

Momentos de Inercia

Se define el momento de inercia y se presentan diferentes tipos:

• Central

• Axial

• Planario

Producto de Inercia

Teorema de Steiner

Se presenta el teorema de Steiner para el cálculo de momentos de inercia respecto a ejes paralelos. Se aplica a momentos centrales, axiales, planarios y productos de inercia.

Tensor de Inercia

  Se introduce el tensor de inercia y se describe su relación con el producto tensorial contraído. Se define la diagonal principal y el tensor central de inercia.

Direcciones y Momentos Principales de Inercia

Se analiza la simetría del tensor de inercia. Se definen los momentos principales de inercia y las direcciones de referencia. Se discuten los planos principales y los ejes y planos de simetría.

Momento de Inercia en una Dirección

Elipsoide de Inercia

 Se introduce el elipsoide de inercia y su relación con el triedro asociado. Se describe cómo eliminar u1, u2, u3. Se relaciona el centro de inercia con el elipsoide. Se menciona la relación entre una recta, un cilindro y las direcciones principales.

Momento Cinético

• Sólido rígido con un punto fijo: L = Iω
• Sólido rígido con un eje fijo: Le = Lu
• En movimiento plano y libre: L = rc x M·vc + Iω

Energía Cinética

• Punto fijo

• Eje fijo

• Movimiento plano y libre

Relación entre la Energía y el Momento Cinético

L = gradT. Se describe la relación entre el momento cinético (L) y el gradiente de la energía cinética (T). Se menciona que L es perpendicular al elipsoide de inercia.

Problema de Poinsot

Se describe el problema de Poinsot, que involucra un elipsoide de inercia, energía cinética constante (T = cte), velocidad angular constante (ω = cte) y un plano de tangencia fijo. Se menciona el pivotamiento y la rodadura.

Ejes Permanentes y Espontáneos

Se consideran fuerzas directamente aplicadas en un punto O1. Se analiza la colinealidad entre el momento cinético (L) y la velocidad angular (ω). Se relaciona el eje de giro con el eje de inercia. Se consideran fuerzas de ligadura en O1 y O2. Se analiza el caso de un eje que pasa por el centro de masas (C) con velocidad nula (Vc = 0).

Equilibrados Estáticos y Dinámicos

 R = M·ac      R = P + R1 + R2 + R’1 + R’2

Se define el equilibrio estático (R’1 + R’2 = 0) y el equilibrio dinámico (N = ω x L = 0).

Contacto de Sólidos Rígidos

Se analizan las acciones elementales que aparecen en el contacto de sólidos rígidos, representadas por R y K.

Leyes de Rozamiento

Se mencionan las leyes de rozamiento al deslizamiento, rodadura y pivotamiento.

Fenómenos Impulsivos

Se introduce el concepto de percusión. Se distingue entre fuerzas de magnitud ordinaria (como el peso) que no generan percusión y fuerzas que sí la originan. Se clasifican las fuerzas en interiores y exteriores (directamente aplicadas y de ligadura).

Estática del Sólido Rígido

Se presenta el principio de traslación de las fuerzas. Se define el equilibrio del sólido rígido: isostático (n = i), hipostático (n < i).

Choque

Se define la línea de choque o acción. Se consideran sólidos con y sin deformación permanente. Se describen las fases de deformación y restitución. Se menciona la hipótesis de Newton.

Dinámica Impulsiva del Punto Material

Teorema de la cantidad de movimiento

         Teorema del momento cinético

Dinámica Impulsiva de los Sistemas de Puntos

Teorema del centro de masas (T.c.m.)

        Teorema del momento cinético (T.m.c.)

Dinámica Impulsiva del Sólido Rígido

Libre: T.c.m.

 T.m.c.

Punto fijo: T.c.m.

 T.m.c.

      2 puntos fijos: T.c.m.

 T.m.c.

Centro de Percusiones

T.c.m.

    T.m.c.

Se analiza el centro de percusiones (C) en un eje de rotación y en una placa plana.

Estática del Punto Material

Equilibrio

Se define el equilibrio como la condición de aceleración nula (R = m·a). Para un punto material libre, se relaciona con el gradiente del potencial (R = -gradV) en un punto extremal. Se consideran las ligaduras.

Estabilidad del Equilibrio

Para un punto material libre, se analiza la estabilidad del equilibrio mediante la condición R·dr0 > 0.

Equilibrio Relativo

Se analiza el equilibrio dinámico de un punto material en un sistema de referencia acelerado en equilibrio relativo (ar = 0, vr = 0).

Teorema del equilibrio dinámico del punto material: el estudio del movimiento es equivalente al estudio del equilibrio dinámico.

Estática de Sistemas de Puntos Materiales

Equilibrio

 Se define el equilibrio como la condición de resultante de fuerzas externas nula

 y momento de fuerzas exteriores nulo. Se introduce el concepto de equilibrio relativo, considerando fuerzas absolutas (aplicadas y de ligadura) y de inercia (arrastre y complementaria). Se define el equilibrio dinámico como la condición en la que un sistema de puntos materiales en movimiento con respecto a un sistema inercial está en equilibrio si se considera que sobre él actúan las fuerzas absolutas y las de arrastre (R + R’ = 0, N + N’ = 0).

Estática Analítica

Se introducen las coordenadas generalizadas para describir la posición de n puntos mediante 3n coordenadas. Se consideran las ligaduras (K ecuaciones) y las coordenadas generalizadas (3n – k). Se define el espacio de configuración. Se introduce el concepto de desplazamiento virtual como un desplazamiento elemental

Se define el trabajo virtual como

. Se establece que para ligaduras perfectas, ideales o sin rozamiento, la suma de los trabajos virtuales es nula, haya o no equilibrio.

Principio de los Trabajos Virtuales

Se establece que para que un sistema esté en equilibrio, la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas directamente aplicadas debe ser nula. Se discute la condición necesaria

 y la condición suficiente.

Condiciones Generales de Equilibrio Deducidas del Principio de los Trabajos Virtuales

Se presenta la ecuación general de la estática

. Se define el vector de posición ri = ri(qj) en términos de las coordenadas generalizadas. Se considera un sistema holónomo con ligaduras compatibles

Dinámica Analítica

Se discuten los teoremas generales y las dificultades asociadas. Se introduce la dinámica analítica, incluyendo las ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de Hamilton. Se consideran magnitudes escalares y coordenadas generalizadas. Se analiza el caso de sistemas de referencia inerciales o acelerados.

Principio de D’Alembert

Según el axioma Fi + Fi’ = mi·ai, se define el equilibrio dinámico del punto material. Se considera un desplazamiento virtual compatible con las ligaduras. Se establece que en un sistema material sometido a ligaduras perfectas, es nula la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas directamente aplicadas y de las fuerzas de inercia.

Energía Cinética

Para ligaduras independientes del tiempo, se tiene B = C = 0. Se menciona el teorema de König.

Significado de las Fuerzas Generalizadas

Potencial Dependiente de la Velocidad

Se menciona que se aplican las mismas fórmulas que en los problemas de Lagrangiana.

Multiplicadores de Lagrange

Se introducen los multiplicadores de Lagrange para términos finitos. Se consideran coordenadas generalizadas independientes y desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras. Se derivan a partir del principio de D’Alembert.

Significado Físico de los Multiplicadores

Se interpretan los multiplicadores de Lagrange como fuerzas de ligadura. Se presentan las ecuaciones de Lagrange y se describe cómo los coeficientes representan las fuerzas de ligadura generalizadas.

Ecuaciones de Lagrange para Sistemas Holónomos

Se describe cómo definir la posición mediante coordenadas generalizadas independientes.

. Se menciona la proyección de percusiones.

Ecuaciones de Lagrange para Sistemas No Holónomos

Se discute el caso en el que no es posible expresar las magnitudes en coordenadas generalizadas. Se introducen los multiplicadores de Lagrange para este caso.