Clasificación de las Fuerzas en Fluidos
Las fuerzas que se pueden aplicar sobre una partícula o un volumen fluido se clasifican como sigue:
- Fuerzas de volumen (aplicadas en el interior del volumen). Se denominarán másicas si se definen por unidad de masa, que es la forma más habitual de considerarlas fm, o volumétricas si se definen por unidad de volumen ρfm. Pueden ser a su vez:
- Gravitatorias
- Inerciales
- Electromagnéticas
- Fuerzas de superficie (aplicadas solo a la superficie del volumen fluido)
Se comentarán a continuación las principales características de estas fuerzas.
Fuerzas Gravitatorias
La atracción gravitatoria entre las partículas o porciones del fluido es despreciable. Solo se tendrá en cuenta la gravedad terrestre, que suele considerarse uniforme en todos los puntos. Un caso especial que merece la pena considerar son las mareas, producidas por la atracción del Sol y, especialmente, la Luna sobre la masa líquida de los océanos.
Fuerzas Inerciales
Si el sistema de referencia en el que se estudia el fluido no es inercial, habrá que considerar la fuerza de inercia, que sería:
Si, por ejemplo, se estudia el movimiento del combustible en los depósitos de un avión en ejes ligados al propio avión, tendríamos que conocer la aceleración del origen a0 y el giro del sistema de referencia W(t) respecto a otro inercial.
Para estudiar si un sistema ligado a la Tierra puede considerarse inercial, habrá que evaluar la importancia de los sumandos de la ecuación anterior. La única fuerza de inercia que en algunos casos es preciso tener en cuenta es la de Coriolis, y solo en movimientos a gran escala como los atmosféricos debidos a las borrascas y anticiclones o producidos por las corrientes oceánicas.
Fuerzas Electromagnéticas
Las fuerzas electromagnéticas sobre un fluido, si está cargado eléctricamente, serán:
donde ρe es la densidad de carga eléctrica, J es el vector densidad de corriente, y E y B son los campos eléctrico y magnético respectivamente.
Estas fuerzas decrecen con el cuadrado de la distancia en general, y pueden aparecer en partículas ionizadas, como gases a temperaturas muy altas o densidades muy bajas. También pueden estar presentes en el caso de líquidos metálicos. Si se han de tener en cuenta dan origen a la Magnetofluidodinámica, y también habrá que considerarlas en la Teoría Cinética del Plasma.
La única fuerza de inercia que en algunos casos es preciso tener en cuenta es la de Coriolis, y solo en movimientos a gran escala como los atmosféricos debidos a las borrascas y anticiclones o producidos por las corrientes oceánicas.
Fuerzas Electromagnéticas
Las fuerzas electromagnéticas sobre un fluido, si está cargado eléctricamente, serán:
donde ρe es la densidad de carga eléctrica, J es el vector densidad de corriente, y E y B son los campos eléctrico y magnético respectivamente.
Estas fuerzas decrecen con el cuadrado de la distancia en general, y pueden aparecer en partículas ionizadas, como gases a temperaturas muy altas o densidades muy bajas. También pueden estar presentes en el caso de líquidos metálicos. Si se han de tener en cuenta dan origen a la Magnetofluidodinámica, y también habrá que considerarlas en la Teoría Cinética del Plasma.
Fuerzas de superficie: Son fuerzas de corto alcance, de origen molecular y asociadas al transporte de cantidad de movimiento. Decrecen muy rápidamente con la distancia, con lo que solo se ejercen a través de la superficie de separación o contacto entre dos fluidos o dos porciones del mismo, pues su profundidad es del orden del camino libre medio. Son fuerzas por unidad de superficie y que dependen, además de la posición y del tiempo, de la orientación n del diferencial de superficie que se considere.
Tensor de Esfuerzos sobre una Partícula Fluida
La fuerza de superficie sobre una partícula, por unidad de superficie y en un diferencial de superficie de orientación n es, por lo anterior, un vector fs= fs(x,t,n), que además debe cumplir fs(x,t,n)= – fs(x,t,-n). Si aplicamos la segunda ley de Newton a la partícula de la figura, con tres de sus cuatro caras según los planos
del sistema cartesiano de referencia.
Al hacer tender dV hacia cero, los términos multiplicados por ds permanecen mientras que los multiplicados por dV se anulan. Por lo que queda.
Como ds1 = ds n× i=dsn, e igual con los otros ejes, la componente i de la fuerza de superficie resulta
Las componentes de las fuerzas de superficie según los vectores forman un tensor de esfuerzos sobre la superficie de la partícula de manera que fi (ej)=τij y por tanto
El tensor de esfuerzos τ es simétrico como se puede demostrar aplicando a la partícula elemental el teorema del momento cinético.
Una vez definido el tensor, se pueden obtener con él las direcciones principales de esfuerzo, es decir, la direcciones en la que el esfuerzo sobre un punto de la superficie τ × n es normal a la superficie en ese punto. Esto se hace buscando los autovectores del tensor n×τ=λn, correspondientes a los autovalores obtenidos de
Para calcular la fuerza resultante sobre una superficie cerrada se puede hacer uso del teorema de Gauss
Sobre una partícula diferencial la resultante de las fuerzas de superficie es, por lo tanto, la divergencia del tensor de esfuerzos local.
El tensor de esfuerzos es
Relación entre Esfuerzos y Deformación de la Partícula Fluida. Ley de Navier-Poisson
Los gradientes de cantidad de movimiento, que producen por lo tanto deformaciones en el fluido, tienden a suavizarse mediante un transporte de cantidad de movimiento a través de los esfuerzos superficiales definidos por el tensor τ’. Para una gran variedad de fluidos, la relación entre el tensor de esfuerzos τij y el de deformaciones (gamma)ij es lineal y se denominan fluidos Newtonianos. La ley que expresa esta solución es, en principio, τij= Aijkl (gamma)kl.
Pero si el fluido es isótropo, las direcciones principales de deformaciones y esfuerzos deben coincidir. Eligiendo como sistema de referencia estas direcciones, nos quedará
Para otro sistema de referencia cualquiera la relación entre esfuerzos y deformación será
donde se ha llamado a-b/2=μ que es el primer coeficiente de viscosidad y b=λ llamado segundo coeficiente de viscosidad.
La relación entre esfuerzos y deformaciones queda según la expresión que se denomina ley de Navier-Poisson:
Se prefiere esta formulación porque queda evidente la contribución de la viscosidad volumétrica. El último término de la expresión, donde aparece, no tiene importancia en fluidos incompresibles, por ser la divergencia del campo de velocidades nula, ni en gases monoatómicos, donde la viscosidad volumétrica es nula (esfuerzo normal medio nulo: ley experimental de Stokes).
En otro tipo de fluidos, la viscosidad volumétrica solo juega un papel importante en la estructura interna de las ondas de choque, en movimientos viscosos (Re bajos) con compresibilidad importante y en la atenuación de las ondas sonoras en fluidos. Este último fenómeno es el que se utiliza precisamente para su medición. Excepto en estos casos particulares la viscosidad volumétrica se puede despreciar.
Ecuación de Cantidad de Movimiento
Planteando la segunda ley de Newton a una porción de fluido (un volumen fluido), la variación de cantidad de movimiento del mismo es igual a la suma de las fuerzas sobre el mismo: integral de las fuerzas de superficie e integral de las fuerzas másicas.
Pero si nos interesa aplicar esta ley a un volumen de control cualquiera V (t), que puede ser función del tiempo, y limitado por la superficie de control Sc(t), es necesario aplicar a la ecuación anterior el teorema del transporte de Reynolds. Descomponiendo el tensor de esfuerzos en presión y tensor de esfuerzos de deformación, obtenemos la ecuación integral de cantidad de movimiento.
Esta ecuación iguala la suma de la variación de cantidad de movimiento en el volumen de control y el flujo convectivo de cantidad de movimiento a través de la superficie de control, que forman el primer término de la igualdad, con la suma de las fuerzas sobre el mismo. Los tres sumandos del segundo término son la integral de fuerzas de presión sobre la superficie de control, la integral de fuerzas viscosas también sobre la superficie de control y, por último, la integral de las fuerzas másicas en el seno de todo el volumen de control. Si elegimos un volumen fijo V0:
Aplicando Gauss y teniendo en cuenta que el volumen puede ser cualquiera se concluye
Utilizando la ecuación de continuidad, se obtiene la ecuación diferencial de cantidad de movimiento:
Esta ecuación puede también interpretarse como la segunda ley de Newton de la partícula fluida (por unidad de volumen). La densidad es la masa por unidad de volumen, y multiplicada por la aceleración de la partícula, es igual a la suma de las resultantes de las fuerzas que actúan sobre la partícula: gradiente del campo de presiones (con signo menos pues la fuerza
tienen sentido contrario al gradiente), resultante del tensor de esfuerzos superficiales viscosos y fuerza másica por unidad de volumen.
Ecuación de la Energía Mecánica
Multiplicando escalarmente la ecuación anterior por el vector velocidad resulta:
El término de la izquierda es la variación con el tiempo de la energía cinética de la partícula, que es igual a la suma del trabajo de las fuerzas de superficie y de las fuerzas de volumen.
Esta ecuación no aporta información adicional, pues es derivada de la anterior, sino que incluso la reduce al pasar de las tres componentes a una sola ecuación escalar, pero puede ser interesante su empleo si se precisa analizar la variación de la energía cinética de modo escalar.
Ecuación del Momento Cinético
Si lo que aplicamos al volumen fluido es el teorema del momento cinético (también llamado momento angular) por el que la variación respecto al tiempo del momento cinético de un sistema cerrado (el volumen fluido) es la suma de los momentos que sobre el mismo ejercen las fuerzas exteriores (de superficie o volumen), y usamos el teorema del transporte de Reynolds para aplicarlo a un volumen de control, nos queda:
Esta ecuación en especialmente útil para el análisis de turbomáquinas. No hay ecuación diferencial correspondiente, pues al aplicar la ecuación del momento cinético a un volumen elemental lo que se concluye es la simetría del tensor de esfuerzos y esto ya se ha establecido antes.
Ecuación de la Vorticidad
Si se aplica el rotacional a la ecuación de cantidad de movimiento resulta
En el caso particular de densidad constante y fuerzas másicas que deriven de potencial, la ecuación de la vorticidad anterior se reduce a
Esta ecuación nos da la información de que la vorticidad de una partícula se modifica por la interacción entre el campo de vorticidad y el de velocidades (deformación de los torbellinos existentes) y también se modifica y puede incluso generarse por los esfuerzos viscosos. Estas ideas tienen especial significación en el análisis de dos tipos de flujos:
- Irrotacionales, donde por la ausencia de vorticidad permite definir el potencial de velocidades y analizar el flujo utilizando este concepto. La ecuación de la vorticidad sirve para estudiar las condiciones en las que no se genera vorticidad y el flujo permanece, por tanto, irrotacional.
- Turbulentos, donde la generación y difusión de la vorticidad es esencial para entender el desarrollo de este tipo de flujos, que estudiaremos más adelante.