Movimiento Plano

Se caracteriza porque los puntos del sólido rígido se mueven permaneciendo sobre planos fijos paralelos entre sí. Por la indeformabilidad del sólido rígido, el movimiento plano está determinado con sólo conocer el de tres puntos, no situados en línea recta, de uno de los planos del haz y que se denomina plano director. Sean A, B y C tres puntos del sólido rígido en movimiento plano, pertenecientes al plano director y no situados en línea recta. Se tendrá:

_{B A c A}

Por la definición del producto vectorial, es perpendicular a _{B A} y a _{C A}. Pero al estar los vectores _A, _B y _C contenidos en el plano director, el vector será perpendicular a dos rectas situadas en el plano director, luego lo será el propio plano director. Puede llegarse a la misma conclusión con solo tener en cuenta que cuando el plano gira alrededor de un eje que no es perpendicular al plano, la posición final de éste no coincide con la inicial, en contra de la hipótesis del movimiento plano.

Puesto que el vector es perpendicular al plano director, la velocidad mínima v_m es nula y el movimiento instantáneo se reduce en el eje instantáneo de rotación a una rotación pura, sin traslación, alrededor de un eje perpendicular al plano director.

La velocidad y la aceleración instantáneas de un punto cualquiera se obtienen a partir de las de otro punto A mediante las ecuaciones:

_{P A P A}

El punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director se denomina centro instantáneo de rotación y es el único punto que en cada instante tiene velocidad nula. Si I es el centro instantáneo de rotación, la velocidad en un punto cualquiera es:

_P

Al ser _P perpendicular a , se deduce que la normal a la trayectoria de P pasa por el centro instantáneo de rotación. Debido a ello, es posible determinar su posición a partir de las tangentes a las trayectorias de dos puntos, como intersección a las normales de dichas trayectorias.

Los lugares geométricos del centro instantáneo de rotación con respecto a un sistema de referencia fijo en el espacio y con respecto al sólido rígido, se denominan curva polar fija o base y curva polar móvil o ruleta, respectivamente. Estas curvas son las intersecciones de los axoides fijo y móvil, que en este caso son superficies cilíndricas, con el plano director.

Teniendo en cuenta las curvas polares, el movimiento puede considerarse como un movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, al estar la ruleta ligada al sólido rígido.

Tensor de inercia

Sea un sistema de puntos materiales P₁, P₂, P₃…, P_n de masas m₁, m₂, m₃,…, m_n, y cuyos vectores de posición respecto de un punto O son ₁, ₂, ₃,…, _n. El vector inercia _u asociado a la dirección definida en O por el vector unitario es:

_{u k k} x ( _k)

Si se consideran los vectores de inercia ₁, ₂ e ₃ asociados en O a tres vectores unitarios ortogonales e₁, e₂, e₃, se obtiene:

_u = _{1 1} + _{2 2} + _{3 3}

siendo u₁, u₂ y u₃, las componentes del vector según los tres vectores unitarios mencionados. Las proyecciones de I_u sobre u y sobre el plano perpendicular a u en O son:

_uu= _u * e _uv= _u *

Teniendo en cuenta la expresión de I_u se obtiene:

_uu= _k[r_k ( _k* )²]

Como se observa I_uu es el momento de inercia axial respecto de la recta de vector unitario u, e I_uv, es el producto de inercia, cambiado de signo con respecto a dos planos cuyos vectores unitarios normales son u y v. Por tanto:

I_ij=

Siendo σ_ij la delta de Kronecker. Puesto que las componentes de los vectores de inercia I₁, I₂ e I₃ en O, tienen como componentes las I_ij, el vector de inercia I_u asociado en O a u, puede ponerse en la forma:

I_u=u*

La expresión de vector de inercia, representa un producto tensorial contraído del vector u por el tensor I’ de segundo orden, y se expresa mediante el producto matricial:

[I_i]=[u_i][I_ij]

Los elementos de la matriz [I_ij] que representan al tensor de inercia, se denominan componentes escalares del tensor, y sus filas son las componentes de los vectores I₁, I₂ e I₃ respectivamente, denominados componentes vectoriales del tensor.

De lo anterior se desprende que los elementos de la diagonal principal de la matriz de inercia son los momentos de inercia respecto a tres rectas ortogonales entre sí en O, y los restantes elementos son los productos de inercia, cambiados de signo, respecto a las parejas de planos que definen en O las rectas mencionadas.

Al ser simétrico el tensor de inercia puede ponerse en la forma:

I_u= *u

Si el punto O coincide con el centro de masas del sistema material el tensor de inercia se denomina tensor central de inercia.