Estadística
Definición de Estadística
La Estadística se encarga del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
- Recogida de datos.
- Organización y representación de datos.
- Análisis de datos.
- Obtención de conclusiones.
Conceptos Básicos de Estadística
Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
Individuo
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.
Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia. El número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
Muestreo
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.
Valor
Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 5 veces, obtenemos dos valores: cara y cruz.
Dato
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 5 veces, obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
Variable Estadística
Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.
Tipos de Variables Estadísticas
Variable Cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Se distinguen dos tipos:
Variable Cualitativa Nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.
Ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Variable Cualitativa Ordinal o Variable Cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas en las que existe un orden.
Ejemplos:
- La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
- Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, …
- Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable Cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto, se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Se distinguen dos tipos:
Variable Discreta
Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable Continua
Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplos:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica, medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.
Tablas de Frecuencia
Distribución de Frecuencias
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Tipos de Frecuencias
Frecuencia Absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia Relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia Acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
Frecuencia Relativa Acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Ejemplo:
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi | Recuento | fi | Fi | ni | Ni |
27 | I | 1 | 1 | 0.032 | 0.032 |
28 | II | 2 | 3 | 0.065 | 0.097 |
29 |
| 6 | 9 | 0.194 | 0.290 |
30 |
| 7 | 16 | 0.226 | 0.516 |
31 |
| 8 | 24 | 0.258 | 0.774 |
32 | III | 3 | 27 | 0.097 | 0.871 |
33 | III | 3 | 30 | 0.097 | 0.968 |
34 | I | 1 | 31 | 0.032 | 1 |
31 | 1 |
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de Frecuencias Agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la Clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Amplitud de la Clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.
Marca de Clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
Construcción de una Tabla de Datos Agrupados
Ejemplo con estos datos: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
- Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.
- Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos que queramos establecer.
Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.
En este caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.
Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
ci | fi | Fi | ni | Ni | |
[0, 5) | 2.5 | 1 | 1 | 0.025 | 0.025 |
[5, 10) | 7.5 | 1 | 2 | 0.025 | 0.050 |
[10, 15) | 12.5 | 3 | 5 | 0.075 | 0.125 |
[15, 20) | 17.5 | 3 | 8 | 0.075 | 0.200 |
[20, 25) | 22.5 | 3 | 11 | 0.075 | 0.275 |
[25, 30) | 27.5 | 6 | 17 | 0.150 | 0.425 |
[30, 35) | 32.5 | 7 | 24 | 0.175 | 0.600 |
[35, 40) | 37.5 | 10 | 34 | 0.250 | 0.850 |
[40, 45) | 42.5 | 4 | 38 | 0.100 | 0.950 |
[45, 50) | 47.5 | 2 | 40 | 0.050 | 1 |
40 | 1 |
Diagrama de barras y polígonos de frecuencias
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
Ejemplo:
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo | fi |
A | 6 |
B | 4 |
AB | 1 |
0 | 9 |
20 |
Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.
También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Ejemplo:
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:
Hora | Temperatura |
6 | 7º |
9 | 12° |
12 | 14° |
15 | 11° |
18 | 12° |
21 | 10° |
24 | 8° |
Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.
Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplos
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Alumnos | Ángulo | |
Baloncesto | 12 | 144° |
Natación | 3 | 36° |
Fútbol | 9 | 108° |
Sin deporte | 6 | 72° |
Total | 30 | 360° |
Histograma
Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.
Ejemplo:
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci | fi | Fi | |
[50, 60) | 55 | 8 | 8 |
[60, 70) | 65 | 10 | 18 |
[70, 80) | 75 | 16 | 34 |
[80, 90) | 85 | 14 | 48 |
[90, 100) | 95 | 10 | 58 |
[100, 110) | 105 | 5 | 63 |
[110, 120) | 115 | 2 | 65 |
65 |
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Histogramas con intervalos de amplitud diferente
Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.
hi es la altura del intervalo.
fi es la frecuencia del intervalo.
ai es la amplitud del intervalo.
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
fi | hi | |
[0, 5) | 15 | 3 |
[5, 7) | 20 | 10 |
[7, 9) | 12 | 6 |
[9, 10) | 3 | 3 |
50 |
