Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (figuras o números). Cada elemento se llama término de la sucesión. En la sucesión a1, a2, a3, a4, el tercer término es a3. El subíndice indica la posición del término. Por ejemplo: a1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27.
Expresiones Algebraicas Equivalentes
Cada sucesión tiene una regla general, pero existen distintas maneras de expresarla algebraicamente, y todas ellas son equivalentes.
Si dos o más expresiones algebraicas corresponden a la regla general de una misma sucesión, son equivalentes. Una se puede obtener a partir de las otras mediante transformaciones u operaciones algebraicas.
Una forma de comprobar la equivalencia es calculando el valor numérico al sustituir la literal por un mismo número en ambas expresiones. Son equivalentes si se obtiene la misma cantidad.
Apuntes sobre Sucesiones
La característica es que aumenta o disminuye. Por ejemplo, de 5 a 8 y de 8 a 11.
Su mente es positiva, de igual manera se disminuye (MS) depende de si disminuye o aumenta.
- a5 y a20
- 5(5) + 2 = 27 5(20) + 2 = 102
- a3 a7 a12
- 4(3) – 15 = -3 4(7) – 15 = 13 4(12) – 15 = 33
Se pone el término que sigue, ya que esa es su diferencia.
- n-ésimo = número cualquiera pasando de 10.
- an – término n-ésimo
- a1 primer término
- n – posición del término
- d – diferencia que queremos hallar
Ejemplo: Encuentra el noveno término de la sucesión a1, a2, a3, a4, a9 (5, 8, 11, 14…)
a9 = 5 + (9 – 1) * 3 = 5 + 8 * 3 = 5 + 24 = 29
Proporcionalidad Inversa
Dadas dos magnitudes, se analiza la relación entre ambas. Para que exista proporcionalidad inversa, se deben cumplir dos reglas:
- Si una magnitud (a) aumenta, la otra (b) disminuye.
- El aumento de una es proporcional a la disminución de la otra.
Ejemplo: Si a se duplica, b se reduce a la mitad. Si b se triplica, a se reduce a un tercio.
Perímetro y Área: Términos Semejantes
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas letras con igual exponente).
Ejemplo de perímetro: P = l + l + l + l
Expresiones Algebraicas: Perímetro
Ejemplo:
- P = 2a + 2b
- P = 2(5m + 4n) + 2(7m)
- P = 5m + 4n + 7m + 5m + 4n + 7m
- P = 10m + 8n + 14m
- P = 24m + 8n
Ejemplo de área: A = b × h
Expresiones Algebraicas Equivalentes: Área
Ejemplo:
A = (2 + 3b)(2a + 3b) = 4a2 + 6ab + 6ab + 9b2
Dos expresiones algebraicas escritas de manera distinta, pero con el mismo valor numérico para cualquier valor de las literales, son equivalentes. Para demostrarlo, se recurre a las propiedades de las operaciones aritméticas.
Ejemplos de Suma y Multiplicación de Expresiones Algebraicas
| Suma | Multiplicación |
|---|---|
| 1. a + a = 2a | 1. a * a = a2 |
| 2. 2a + 3a = 5a | 2. 2a * 3a = 6a2 |
| 3. a2 + a | 3. a2 * a = a3 |
| 4. a2 + a2 = 2a2 | 4. a2 * a2 = a4 |
| 5. a3 + a3 = 2a3 | 5. a3 * a3 = a6 |
| 6. m + m2 + m3 | 6. m * m2 * m3 = m6 |
Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas
Una expresión algebraica es un conjunto de números (coeficientes) y letras (literales) unidos por operaciones (suma, resta, multiplicación, división). Las literales representan números.
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma ax + by = c, donde x e y son incógnitas, a y b son coeficientes, y c es el término independiente.
Una solución es un par de valores que, al sustituir x e y, transforman la ecuación en una identidad. Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones. A un valor de x dado, solo le corresponde un valor de y.
Sistemas de Ecuaciones 2×2
Un sistema de ecuaciones 2×2 puede:
- Tener una única solución.
- Tener infinitas soluciones.
- No tener solución.
Definiciones Clave
- Variable: Símbolo que representa un número o valor que puede cambiar. Se usa en ecuaciones y funciones.
- Incógnita: Variable cuyo valor se busca en una ecuación.
- Literal: Letra o símbolo que representa números o constantes en expresiones algebraicas.