Tensiones Principales

Se definen como las tensiones normales que actúan sobre un plano donde las tensiones tangenciales son nulas. Se denota t = T.n, donde se busca que las tensiones sean únicamente normales: t = σ.n. Combinando las ecuaciones, se obtiene que (T – σ.I)n = 0. Desarrollando, se obtiene que σ = σ_1,2 = c ± R, donde σ₁ y σ₂ son las tensiones principales máxima y mínima, respectivamente.

Flexión Compuesta Esviada

Ocurre cuando sobre una pieza actúa un sistema de esfuerzos reducido a un esfuerzo axil N y un momento flector M, contenido en un plano distinto de los planos principales de la pieza. La deformación debida al axil se produce según la hipótesis de Bernoulli, mientras que la deformación por flexión se produce según la hipótesis de Bernoulli-Navier. Por superposición de efectos, los momentos generan giros alrededor de un eje neutro. Para el cálculo de las tensiones, eje neutro, etc., se utilizan las fórmulas correspondientes (incluir fórmulas).

Secciones de Varios Materiales

Considerando una pieza formada por interficies paralelas a la directriz, se divide en varias zonas Ω_i, cada una con un área A_i y un módulo elástico E_i. Se define un módulo de elasticidad de referencia y un coeficiente de equivalencia n_i para cada material con respecto al material de referencia: n_i = E_i / E_ref. Según Bernoulli, se tiene una deformación longitudinal ε_x, donde la tensión en un punto i será: σ_xi = n_i.σ_ref.ε_x = n_i.E_ref.ε_x. De la integral del área homogeneizada = ∫_S n_i.ds, se obtiene ε_x = N / (E_ref.A_hom). Combinando ecuaciones, se llega a: σ_xi = n_i.N / A_hom.

Hipótesis Fundamentales

• Bernoulli: Esfuerzo axil.
• Bernoulli-Navier: Momentos M_z y M_y.

Principios Fundamentales en Resistencia de Materiales

Principio de Rigidez

Establece que ‘las ecuaciones de equilibrio se pueden formular sobre la geometría indeformada, es decir, sin considerar los movimientos provocados por el sistema de cargas’. Implica que los movimientos son pequeños, es decir, los desplazamientos son pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura.

Principio de Superposición

Establece que ‘los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado’. Este principio es aplicable si el problema es lineal (relación lineal entre cargas y desplazamientos).

Principio de Saint-Venant

Establece que ‘en una pieza prismática, las tensiones que actúan sobre una sección recta, alejada de los puntos de aplicación de un sistema de cargas, solo dependen de la fuerza y del momento resultantes de las fuerzas situadas a un lado de la sección considerada’.

Integrales de Esfuerzos

Las siguientes integrales relacionan los esfuerzos internos con las tensiones en una sección:

• N = ∫_S σ_x ds
• T_z = ∫_S τ_xz ds
• T_y = ∫_S τ_xy ds
• M_t = ∫_S (τ_xz.y – τ_xy.z) ds
• M_y = ∫_S σ_x.z ds
• M_z = -∫_S σ_x.y ds

Área Homogeneizada

Es la integral = ∫_S n_i.ds, o área equivalente de la sección. Cuando el área de una sección está compuesta por más de un material, se puede considerar el área total equivalente como si estuviera formada por un solo material (material de referencia). Se establece una relación entre ellos mediante un coeficiente de equivalencia, que permite calcular el área equivalente del otro material con respecto al de referencia. La suma del área del material de referencia más el área equivalente de los otros materiales es el área homogeneizada.

Comportamiento de Materiales: Diagrama Tensión-Deformación

Tramo Proporcional (OA)

Se cumple la ley de Hooke; la relación entre tensión y deformación es lineal para tensiones inferiores al valor σ_p (límite de proporcionalidad). La pendiente determina el valor del módulo de elasticidad o de Young (E) del material.

Tramo Elástico (OB)

El material se descarga de forma elástica, sin que aparezcan deformaciones permanentes al disminuir la carga hasta anularla. El límite elástico (σ_e) es la máxima tensión que se puede alcanzar sin que se produzcan deformaciones permanentes. También se conoce como límite plástico.

Tramo Plástico (BD)

El límite de fluencia (σ_f) es la tensión a partir de la cual el material se deforma significativamente sin un aumento apreciable de la tensión.

Tramo de Fluencia (CD)

La deformación aumenta sin que se produzca un aumento apreciable de la tensión.

Tramo de Endurecimiento por Deformación (DE)

A partir de un determinado valor de la deformación, la tensión necesaria para seguir aumentando la deformación plástica se incrementa.

Tramo de Estricción (EF)

La sección de una parte de la probeta comienza a disminuir de forma apreciable. La tensión de rotura (σ_r) es la máxima tensión medida en el ensayo.

Tensión Límite (σ_lim)

Valor de la tensión al cual el material alcanza su límite de resistencia, y por debajo del cual no se producen ni deformaciones excesivas ni la rotura del mismo. En materiales dúctiles, como el acero, se considera como tensión límite la tensión de fluencia. En materiales frágiles, como el hormigón, se considera como tensión límite la tensión de rotura. Las estructuras se diseñan para trabajar a niveles de tensión significativamente por debajo de la tensión límite, definiéndose una tensión admisible.

Núcleo Central de la Sección

Lugar geométrico de los puntos tales que, tomados como centro de presiones en tracción o compresión excéntricas, producen tensiones normales del mismo signo en todos los puntos de la sección.

Determinación y propiedades:

1. Para que una sección esté sometida a tensiones normales del mismo signo, es necesario y suficiente que el eje neutro no corte a la sección.
2. El centro de presiones y el eje neutro están relacionados por la ecuación (incluir ecuación 1+…=0).

Consideraciones:

1. El núcleo central es un recinto cerrado.
2. El núcleo central incluye al baricentro de la sección como punto interior.
3. El núcleo central es interior a la envolvente convexa de la sección.
4. El núcleo central es un recinto conexo y convexo.

Eje Neutro

Lugar geométrico de los puntos sometidos a tensión normal nula. Se define por la ecuación (incluir fórmula 1+…=0, despejar y). Es una recta paralela al eje z (perpendicular a la traza del plano de solicitación), y su posición no depende del valor de la fuerza N, sino de la excentricidad e_y. El punto de aplicación de la fuerza normal y el eje neutro están necesariamente en lados opuestos respecto al eje z.

Cuanto menor es la excentricidad, mayor es la ordenada del eje neutro; es decir, cuanto mayor es el efecto del axil, más lejos está el eje neutro del eje z. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, menor es la ordenada del eje neutro; es decir, cuanto mayor es el efecto del flector, más cerca está el eje neutro del eje z.

Para una ecuación que no pasa por G (incluir fórmula 1+…=0, despejar z e y). Si el centro de presiones P se acerca al centro de gravedad de la sección G (la excentricidad disminuye), el momento flector tiene menor importancia relativa y el eje neutro se aleja de la sección, estando toda ella sometida a tracción o compresión. En efecto, para e_y, e_z → 0, a, b → ∞. Si P se aleja de G (la excentricidad aumenta), la flexión tiene mayor importancia relativa, el eje neutro se acerca al centro de gravedad de la sección e intersecta a la sección, dividiéndola en dos zonas, una traccionada y otra comprimida (e_y, e_z → ∞, a, b → 0).