Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial sobre un cuerpo ℝ es un conjunto V dotado de dos operaciones: una operación interna (suma de vectores) y una operación externa (producto de un vector por un escalar), que verifican una serie de propiedades.

Propiedades de la Operación Interna (Suma de Vectores)

La suma de vectores (V, +) cumple:

1. Propiedad asociativa: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
2. Propiedad conmutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
3. Existencia de elemento neutro: ∃ θ ∈ V tal que ∀𝑢 ∈ V, 𝑢 + θ = 𝑢
4. Existencia de elemento opuesto: ∀𝑢 ∈ V ∃ −𝑢 ∈ V tal que 𝑢 + (−𝑢) = θ

Definición de Subespacio Vectorial

Sea V (ó ℝⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (W ⊂ V, W ≠ ∅). W es un subespacio vectorial de V si (W, +, *) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V. Esto se verifica si:

1. 𝑢 + 𝑣 ∈ W, ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ W
2. 𝛼𝑢 ∈ W, ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀ 𝑢 ∈ W

Caracterización de Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅), W es un subespacio vectorial de V si y solo si se cumple: ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ W, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ → 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ W.

Combinación Lineal, Independencia Lineal y Bases

Definición de Combinación Lineal

Sean 𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n vectores pertenecientes al espacio vectorial V (ó ℝⁿ), y sean los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_n ∈ ℝ. La expresión 𝑣 = 𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + ⋯ + 𝛼_n𝑢_n = ∑ 𝛼_i𝑢_i se denomina combinación lineal de los vectores 𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n.

Sistema de Generadores

Un conjunto {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} de vectores pertenecientes al espacio vectorial V es un sistema de generadores de V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de 𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n. Es decir, ∀𝑣 ∈ V, se puede escribir 𝑣 = 𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + ⋯ + 𝛼_n𝑢_n, donde 𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n ∈ V y 𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_n ∈ ℝ.

Se denota V = <𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n>

Definición de Vectores Linealmente Independientes

Un conjunto {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V es linealmente independiente (o libre) si la única combinación lineal que da como resultado el vector nulo (θ) es la trivial, es decir: 𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + ⋯ + 𝛼_n𝑢_n = θ ⇒ 𝛼₁ = 𝛼₂ = … = 𝛼_n = 0.

Si existe alguna combinación lineal no trivial (algún 𝛼_i ≠ 0) tal que ∑ 𝛼_i𝑢_i = θ, entonces los vectores son linealmente dependientes.

Caracterización: Los vectores 𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n son linealmente dependientes si y sólo si alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes.

Definición de Base

Sea {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Un conjunto B = <𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n> es una base del espacio vectorial V si:

• B es linealmente independiente.
• B es un sistema generador de V (<B> = V).

Teorema de caracterización de una base: Un conjunto B = {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} ⊂ V es una base de V si y sólo si todo vector de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos de B.

Si 𝑣 ∈ V y B = {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} es una base de V, entonces 𝑣 = 𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + ⋯ + 𝛼_n𝑢_n. Los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_n se denominan coordenadas del vector 𝑣 en la base B, y son únicos.

Definición de Dimensión de un Espacio Vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (dim{V}) es el número de elementos de una base de V. Si V = <B> y B = {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢_n} es una base de V (formada por n vectores), entonces dim{V} = n.

Donde n representa:

• El número mínimo de vectores generadores de V.
• El número máximo de vectores linealmente independientes de V.

Matrices

Definición de Matriz

Una matriz de dimensión 𝑚𝑥𝑛 es un conjunto de números reales dispuestos en forma rectangular, con 𝑚 filas y 𝑛 columnas.

Submatriz

Dada una matriz A ∈ M_𝑚𝑥𝑛(ℝ), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida a partir de A eliminando alguna de sus filas y/o columnas.

Matriz Traspuesta

Sea A = (a_ij). La matriz traspuesta de A, denotada por A^t (o A^T), es la matriz resultante de intercambiar las filas y las columnas de A.

• Si A es de orden M_𝑚𝑥𝑛, entonces A^t es de orden M_𝑛𝑥𝑚.
• (A^t)^t = A.

Rango de una Matriz

Sea A ∈ M_𝑚𝑥𝑛. El rango de A, denotado por rg(A), es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes de A.

• rg(A) ≤ min{𝑚, 𝑛}.

Aplicaciones Lineales

Tipos de Aplicaciones

• Inyectivas: Si elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B.
• Sobreyectivas: Si todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A.
• Biyectivas: Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Definición de Aplicación Lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales (sobre ℝ). Una aplicación 𝑓: V → W es una aplicación lineal si cumple: 𝑓(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑓(𝑢) + 𝛽𝑓(𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ V, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

Núcleo (Kerf) e Imagen (Imf) de una Aplicación Lineal

Sea 𝑓: V → W una aplicación lineal (donde V y W son espacios vectoriales).

• El núcleo de una aplicación (Ker(f)) es un subespacio vectorial del espacio inicial V (Ker(f) ⊂ V) tal que: Ker(f) = {x ∈ V / f(x) = θ_w} = f^-1(θ_w).
• La imagen de una aplicación (Im(f)) es un subespacio vectorial del espacio final W (Im(f) ⊂ W), tal que: Im(f) = f(V) = {y ∈ W / f(x) = y; x ∈ V} = {f(x) / x ∈ V}.

Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Determinante de una Matriz Cuadrada

Sea A una matriz cuadrada (A ∈ M_n(ℝ)). El determinante de A es el número resultante de sumar algebraicamente todos los productos de n elementos de la matriz, donde cada producto contiene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Sistemas compatibles: Tienen al menos una solución. Pueden ser:
  • Determinados: Tienen una única solución.
  • Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.
• Sistemas incompatibles: No tienen solución.

Teorema de Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de ecuaciones lineales AX = B:

1. El sistema es compatible si y sólo si rg(A) = rg(A|B).
2. Un sistema compatible es determinado si y sólo si rg(A) = rg(A|B) = n (rango = nº de incógnitas).
3. Un sistema compatible es indeterminado si y sólo si rg(A) = rg(A|B) < n (rango < nº de incógnitas).
4. Un sistema es incompatible si y sólo si rg(A) ≠ rg(A|B).

Sistema de Cramer

Un sistema es de Cramer si tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (la matriz de coeficientes A es cuadrada, A ∈ M_n) y la matriz A es no singular (|A| ≠ 0), por lo tanto, invertible.

Un sistema de Cramer tiene solución única; es decir, es un sistema compatible determinado (rg(A) = rg(A|B) = n).