Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

• Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
• Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
• Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial) si se verifican las siguientes propiedades:

1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V.
2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V.
3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V.
4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ –v ∈ V | v + (-v) = 0.
5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ ℝ, ∀ u, v ∈ V.
6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ ℝ, ∀ v ∈ V.
7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ ℝ, ∀ v ∈ V.
8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V.

Combinación Lineal

Al igual que en ℝⁿ, si v₁, v₂, . . . , v_n son n vectores de un espacio vectorial V y λ₁, . . . , λ_n son números reales, entonces cualquier vector de la forma v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + · · · λ_nv_n se denomina una combinación lineal de los vectores v₁, v₂, . . . , v_n.

Subespacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto U de V es un subespacio vectorial de V si cumple las siguientes propiedades:

1. 0 ∈ U.
2. u₁ + u₂ ∈ U, ∀ u₁, u₂ ∈ U.
3. λu ∈ U, ∀ λ ∈ ℝ, ∀ u ∈ U.

Demostración: Bases de un Espacio Vectorial Finitamente Generado

Si un espacio vectorial V es finitamente generado, entonces dos bases cualesquiera de V tienen el mismo número de vectores. Sean dos bases B_n y B_m*, se verifica necesariamente que m = n. Como todo vector del sistema v es combinación lineal de u, concluimos que m ≤ n. Igualmente, todo vector del sistema u es combinación lineal de v, concluimos que n ≤ m. Por lo tanto, m = n.

Intersección y Suma de Subespacios Vectoriales

• Intersección: S ∩ T = {v ∈ V : v ∈ S ∧ v ∈ T}
• Suma: S + T = {v ∈ V, v = v₁ + v₂, con v₁ ∈ S, v₂ ∈ T}

Fórmula de Grassmann

Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean U y V dos conjuntos que determinan subespacios. La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de U y V de la siguiente manera:

dim(U ∩ V) + dim(U + V) = dim U + dim V

Demostración: La Intersección de Dos Subespacios Vectoriales es un Subespacio Vectorial

En primer lugar, recordemos la definición de intersección de subespacios. Si S₁ y S₂ son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S = S₁ ∩ S₂ está formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S₁ y simultáneamente u pertenece a S₂.

Para probar que efectivamente S = S₁ ∩ S₂ es un subespacio vectorial de V debe cumplirse:

a) Que S no sea vacío.

b) Que sea cerrado para la suma.

c) Que sea cerrado para el producto escalar.

Demostración: La Suma de Dos Subespacios Vectoriales es un Subespacio Vectorial

Recordemos en primer lugar la definición de suma de subespacios: si S₁ y S₂ son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S = S₁ + S₂ está formado por todos los vectores v de V tales que v = v₁ + v₂, con v₁ perteneciente a S₁ y v₂ perteneciente a S₂.

Para probar que S = S₁ + S₂ es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse:

a) Que S no sea vacío.

b) Que sea cerrado para la suma.

c) Que sea cerrado para el producto escalar.

Demostración: Toda Variedad Lineal es un Subespacio Vectorial

Si x, y pertenecen a L(u₁, u₂, …), se tendrá que x = a₁u₁ + … + a_nu_n e y = b₁u₁ + … + b_nu_n. Entonces:

λx + μy = λ(a₁u₁ + … + a_nu_n) + μ(b₁u₁ + … + b_nu_n) = (λa₁ + μb₁)u₁ + … + (λa_n + μb_n)u_n

pertenece a L(u₁, u₂, …, u_n).

Demostración: Unicidad de las Coordenadas de un Vector Respecto a una Base

Supongamos que un vector u puede expresarse como u = x₁u₁ + x₂u₂ + … + x_nu_n = x₁‘u₁ + x₂‘u₂ + … + x_n‘u_n. Entonces:

u – u = (x₁u₁ + x₂u₂ + … + x_nu_n) – (x₁‘u₁ + x₂‘u₂ + … + x_n‘u_n) = (x₁ – x₁‘)u₁ + … + (x_n – x_n‘)u_n = 0

Esto implica que, por la independencia lineal de los u_j, todos los escalares x_j – x_j‘ valen 0. Por lo tanto, x_j‘ = x_j, ∀ j = 1, 2, …, n.

Demostración: El Núcleo de una Aplicación Lineal es un Subespacio Vectorial

Definición de núcleo: Sea f una aplicación lineal f: V → W. Se define el núcleo de f como: ker f = {v ∈ V / f(v) = 0}

Demostración: Sean v₁ y v₂ pertenecientes a ker f, es decir, f(v₁) = 0 y f(v₂) = 0. Se cumple:

• f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂) = 0 + 0 = 0 ⇒ v₁ + v₂ pertenece a ker f
• f(av₁) = af(v₁) = a * 0 = 0 ⇒ av₁ pertenece a ker f

Imagen de una Aplicación Lineal: Demostración de que es un Subespacio Vectorial

Demostración de la condición de linealidad: ∀ y^{^}, y^{^}‘ ∈ Im(f) y ∀ a, b ∈ K, ay^{^} + by^{^}‘ ∈ Im(f)

Sabemos que:

• [y^{^} ∈ Im(f) → ∃ x^{^} ∈ V / y^{^} = f(x^{^})]
• [y^{^}‘ ∈ Im(f) → ∃ x^{^}‘ ∈ V / y^{^}‘ = f(x^{^}‘)]

Finalmente:

ay^{^} + by^{^}‘ = af(x^{^}) + bf(x^{^}‘) = f(ax^{^} + bx^{^}‘)

donde ax^{^} + bx^{^}‘ ∈ V → ay^{^} + by^{^}‘ ∈ Im(f)

Demostración: Los Vectores Imagen de una Base del Espacio Vectorial Inicial son un Sistema Generador

Si tenemos un sistema generador de A en V → sea y^{^} ∈ Im(f) → ∃ x^{^} ∈ V / y^{^} = f(x^{^})

donde x^{^} = a₁a₁^{^} + a₂a₂^{^} + … + a_na_n^{^}

Aplicando:

f(x^{^}) = f(a₁a₁^{^} + … + a_na_n^{^}) → y^{^} = f(x^{^}) = a₁f(a₁^{^}) + a₂f(a₂^{^}) + … + a_nf(a_n^{^})

Demostración: La Condición Necesaria para que una Aplicación Lineal sea Inyectiva es que su Núcleo sea el Vector Nulo

Si f es inyectiva, no puede haber dos vectores con la misma imagen.

Por reducción al absurdo: tenemos v₁^{^} y v₂^{^} ∈ V con v₁^{^} ≠ v₂^{^} / f(v₁^{^}) = f(v₂^{^})

Hay que demostrar que v₁^{^} = v₂^{^}

f(v₁^{^}) – f(v₂^{^}) = 0^{^}

Por linealidad, f(v₁^{^} – v₂^{^}) = 0^{^}

Como ker f = {0^{^}}, (v₁^{^} – v₂^{^}) = 0^{^}, es decir, v₁^{^} = v₂^{^}

Demostración: Dos Vectores Propios Asociados a Dos Valores Propios Distintos son Linealmente Independientes (Endomorfismo)

u^{^} ≠ 0^{^}, v^{^} ≠ 0^{^}, f(u^{^}) = λ₁u^{^}, f(v^{^}) = λ₂x^{^}, λ₁ ≠ λ₂

Los vectores característicos son linealmente independientes, lo que implica que serán proporcionales.

u^{^} = av^{^}

f(u^{^}) = λ₁u^{^} = f(av^{^}) = aλ₂v^{^} = λ₂u^{^}

(λ₁ – λ₂)u^{^} = 0^{^}

Por lo tanto, los vectores son independientes.

Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz cuadrada es raíz de su polinomio característico.

Teorema Espectral

Definición: Sea una matriz simétrica A. Existe una matriz ortogonal P, tal que P^TAP = P^-1AP = D, siendo D una matriz diagonal. Se dice que A se diagonaliza simultáneamente por congruencia (P^TAP = D) y por semejanza (P^-1AP = D). Es una diagonalización por semejanza ortogonal.

Ley de Inercia

Sean dos matrices (M, N) diagonales que representan una misma forma cuadrática en distintas bases. Si en la diagonal M hay r términos positivos y s negativos, en la diagonal N hay los mismos. El número de términos negativos, positivos y nulos en matrices diagonales congruentes es el mismo. Y las matrices congruentes tienen el mismo signo de autovalores.