Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e₁, e₂ ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe₁ + μe₂) = λf(e₁) + μf(e₂).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

• Se llama imagen de f, denotada por Im(f), al conjunto f(E), es decir, Im(f) = {e’ ∈ E’ / ∃e ∈ E con f(e) = e’}.
• Se llama rango de f a la dimensión de Im(f).
• Se llama núcleo de f, denotado por Ker(f), al conjunto Ker(f) = {e ∈ E / f(e) = 0_E’}.
• Siempre se cumple que dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E).

Tipos de Aplicaciones Lineales: Inyectiva, Epiyectiva y Biyectiva

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos K-espacios vectoriales.

1. Se dice que f es inyectiva si dos elementos distintos de E tienen imágenes distintas, es decir, si e ≠ e’ ⇒ f(e) ≠ f(e’) para todo e, e’ ∈ E. También se puede decir a la inversa.
2. Es epiyectiva si Im(f) = E’.
3. Es biyectiva si y solo si es inyectiva y epiyectiva.

Demostraciones

1. Sea E y E’ espacios vectoriales reales y f: E → E’ una aplicación lineal. Definir Ker(f) y demostrar que es un subespacio de E.

Ker(f) = {e ∈ E / f(e) = 0}. Sean u, v ∈ Ker(f). Hay que ver si para todo λ, μ ∈ K se cumple que λu + μv ∈ Ker(f).

Como u, v ∈ Ker(f) ⇒ f(u) = 0 y f(v) = 0. Por ser f una aplicación lineal, f(λu + μv) = λf(u) + μf(v) = λ0 + μ0 = 0 ⇒ λu + μv ∈ Ker(f).

Im(f) = {e’ ∈ E’ / ∃e ∈ E con f(e) = e’}. Sean u, v ∈ Im(f). Hay que ver que para todo λ, μ ∈ K se cumple que λu + μv ∈ Im(f).

2. Sea E y E’ espacios vectoriales reales y f: E → E’ una aplicación lineal. Demostrar que f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {0_E}.

⇒ Supongamos que f es inyectiva, es decir, si f(u) = f(v) ⇒ u = v para todo u, v ∈ E. Por otro lado, Ker(f) = {u ∈ E / f(u) = 0} ⇒ f(u) = 0 = f(0) ⇒ u = 0 por ser f inyectiva. Por tanto, Ker(f) = {0}.

⇐ Supongamos que Ker(f) = {0} y f(u) = f(v) para todo u, v ∈ E. Por ser f una aplicación lineal, 0 = f(u) – f(v) = f(u – v) ⇒ u – v ∈ Ker(f) ⇒ u – v = 0. Entonces, u = v. Por tanto, f es inyectiva.

Diagonalización de Endomorfismos

Definición de Valor Propio y Vector Propio

Sea f: E → E un endomorfismo del espacio vectorial E. Sea K el cuerpo de escalares. Se dice que un escalar λ ∈ K es un autovalor (o valor propio) de f si existe algún vector no nulo e ∈ E tal que f(e) = λe. Si λ es un valor propio de f, los vectores e ∈ E tales que f(e) = λe se llaman vectores propios de f asociados a λ.

Teorema de Diagonalización

Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real ≠ 0 de dimensión finita (n). Sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera. f diagonaliza si y solo si m₁ + … + m_p = n, donde m_i = dim(V(λ_i)).

Definición de Polinomio Característico

Llamamos polinomio característico de f al polinomio de cualquier matriz A asociada a f: P_f(x) = P_A(x) = |A – xId|.

Demostración

Probar que si λ ∈ R es un valor propio de f, entonces λ es raíz de su polinomio característico.

Sabemos que el polinomio característico es P(λ) = |A – λId|. Por otra parte, λ es valor propio de A si existe e ≠ 0 tal que Ae = λe, si y solo si (A – λId)e = 0 por ser e ≠ 0. Luego, dim(Ker(A – λId)) ≥ 1. Como además dim(Ker(A – λId)) = n – rango(A – λId) ≥ 1 ⇒ rango(A – λId)

Relaciones Binarias

Definición

Sea X un conjunto. Una relación binaria definida en X es un subconjunto R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x, y) ∈ R.

Propiedades

Sea A un conjunto:

• Reflexiva: para todo a ∈ A, aRa.
• Simétrica: para todo a, b ∈ A, si aRb ⇒ bRa.
• Transitiva: para todo a, b, c ∈ A, si aRb y bRc ⇒ aRc.
• Antisimétrica: para todo a, b ∈ A, si aRb y bRa ⇒ a = b.

Definiciones

Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en él.

• Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Escribimos entonces que a ~ b en lugar de aRb y diremos que a es equivalente a b. Se llama clase de equivalencia de a al conjunto formado por los elementos de A que están relacionados con a. Al conjunto de todas las clases de equivalencia se llama conjunto cociente y se denota por A/~.
• Se dice que R es una relación de orden si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si además de estas tres propiedades se cumple que para todo a, b ∈ A se tiene que o bien aRb o bien bRa, R es una relación de orden total.
• Sea A un conjunto y ~ una relación de equivalencia. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Se dice que el orden es bueno si todo subconjunto A’ de A no vacío tiene un mínimo. Se cumple que si el orden es bueno, entonces es total, pero no al revés.

Ejemplos

Ejemplo de relación de orden parcial que no es total:

Sea A = N. Se define la relación aRb como «a es divisor de b» para todo a, b ∈ N.

• Reflexiva: a es divisor de a ⇒ aRa.
• Antisimétrica: Si aRb ⇒ a es divisor de b y si bRa ⇒ b es divisor de a ⇒ a = b para todo a, b ∈ N.
• Transitiva: Si aRb ⇒ a es divisor de b y si bRc ⇒ b es divisor de c ⇒ a es divisor de c ⇒ aRc para todo a, b, c ∈ N.

El orden no es total porque dos números naturales cualesquiera no tienen que ser uno divisor del otro necesariamente.

Ejemplo de relación de equivalencia:

Sea A = N. Se define la relación a ~ b como a + a² = b + b².

• Reflexiva: aRa ⇒ a + a² = a + a².
• Simétrica: aRb ⇒ bRa. Si aRb ⇒ a + a² = b + b². Si bRa ⇒ b + b² = a + a². Entonces, a + a² = b + b² = a + a².
• Transitiva: Si aRb y bRc ⇒ aRc. Si aRb ⇒ a + a² = b + b². Si bRc ⇒ b + b² = c + c². Entonces, a + a² = b + b² = c + c² ⇒ a + a² = c + c².

Subespacios Vectoriales

Proposición de Subespacio Vectorial

Sea E un K-espacio vectorial y E’ ⊂ E un subconjunto de E con E’ ≠ Φ. E’ es un subespacio vectorial de E si y solo si para todo e, e’ ∈ E’ y para todo λ, μ ∈ K se cumple que λe + μe’ ∈ E’.

Vectores Linealmente Independientes y Dependientes

Sea E un K-espacio vectorial y sean e₁, …, e_p ∈ E. Se dice que dichos vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igualada al vector 0 es la que tiene todos sus coeficientes nulos, es decir, si λ₁e₁ + … + λ_pe_p = 0, donde λ₁, …, λ_p ∈ K ⇒ λ_i = 0 para todo i = 1, …, n. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

Se dice que un vector e ∈ E depende linealmente de e₁, …, e_p ∈ E si se escribe como combinación lineal de ellos, es decir, e = λ₁e₁ + … + λ_pe_p, donde λ₁, …, λ_p ∈ K.

Base y Dimensión

Sea E un K-espacio vectorial de tipo finito. Se dice que los vectores {e₁, …, e_p} forman una base de E. La dimensión de E, dim(E), es el número de vectores de una base cualquiera de E. Si E = {0}, se acuerda por convenio que dim(E) = 0.

Suma, Intersección y Unión de Subespacios

Sea E un K-espacio vectorial y sean E₁ y E₂ dos subespacios vectoriales de E.

• Se llama suma de E₁ y E₂ a E₁ + E₂ = {e ∈ E / e = e₁ + e₂, donde e₁ ∈ E₁ y e₂ ∈ E₂}.
• Se llama intersección de E₁ y E₂ a E₁ ∩ E₂ = {e ∈ E / e ∈ E₁ y e ∈ E₂}.
• Se llama unión de E₁ y E₂ a E₁ ∪ E₂ = {e ∈ E / e ∈ E₁ o e ∈ E₂}.

Dos subespacios que están en suma directa pero no son suplementarios:

Sean U = {(3, 1, 0)}, dim(U) = 1, y V = {(1, 0, 0)}, dim(V) = 1. U + V = {(3, 1, 0), (1, 0, 0)} y dim(U + V) = 2 porque son linealmente independientes. Además, como dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V) ⇒ dim(U ∩ V) = 0. U y V están en posición de suma directa, pero U + V ≠ R³, por lo que no son suplementarios.

Demostración

Sea E un espacio vectorial real de dimensión finita n. Probar que si {e₁, …, e_n} son linealmente independientes, entonces {e₁, …, e_n} es una base de E.

Si son linealmente independientes: λ₁e₁ + … + λ_ne_n = 0 ⇒ e₁ = λ₂e₂/λ₁ + … + (λ_n/λ₁)e_n ⇒ {e₁, …, e_n} es un sistema generador. Si son linealmente independientes y un sistema generador, entonces forman una base.