Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada y=f(x) y sus derivadas, y´, y´´, …, yⁿ o sus diferenciales dx, dy.

Forma general: F(x,y,y´,y´´,…,yⁿ)=0 (forma implícita)

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

• Orden: Es el orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
• Tipo: Ordinarias o en derivadas parciales.
• Grado: Es el exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden.
• Linealidad: Pueden ser lineales o no lineales. Es lineal cuando se la puede expresar de la siguiente forma: a_n(x) yⁿ + a_n-1 y^n-1 +…+ a₂(x) y´´ + a₁(x) y´+ a_o(x) y = g(x)

Esta ecuación diferencial posee características importantes:

1. Los coeficientes de cada término solo dependen de x.
2. La variable dependiente (y) que representa la incógnita y todas sus derivadas son de primer grado.

Solución de una Ecuación Diferencial

Una función f definida en un intervalo I es una solución de la ecuación diferencial si cuando se la sustituye en esta la transforma en una identidad. Es decir, satisface F(x,f(x),f´(x),f´´(x),…,fⁿ(x))=0

Tipos de Ecuaciones Diferenciales

• Variables separables: f(y)dy = f(x)dx
• Lineal: y´+P(x)y = Q(x)
• Bernoulli: y´+P(x)y = Q(x) yⁿ
• Homogénea: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Integrales

Integral de Riemann

∫_a^b f(x)dx = lim_h→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i*) Δx = lim_h→∞ ∑_i=1ⁿ f(a + (b-a)/n) (b-a)/n

Donde f es la función integrando. Si tomamos a x_i* como el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo, entonces X_i = X_i* = a + iΔx = a + i(b-a)/n

Integración por Partes

Este método se utiliza generalmente cuando el integrando es un producto entre dos funciones, f(x) y g(x).

d[f(x)g(x)]/dx = f´(x)g(x) + f(x)g´(x)

d[f(x)g(x)] = f´(x)g(x)dx + f(x)g´(x)dx

Integrando: ∫d[f(x)g(x)] = ∫f´(x)g(x)dx + ∫f(x)g´(x)dx

Desaparece la integral y el dx porque son procesos opuestos:

f(x)g(x) = ∫f´(x)g(x)dx + ∫f(x)g´(x)dx

Si hacemos u = f(x) y v = g(x), entonces du = f´(x)dx y dv = g´(x)dx

uv = ∫vdu + ∫udv

Por lo tanto: ∫udv = uv – ∫vdu

Integral Indefinida

F(x) es una antiderivada o primitiva de f(x) si F´(x) = f(x) ∀ x ∈ Dom_f

Al conjunto de todas las antiderivadas o primitivas de f(x) se le denomina integral indefinida de f(x) y se denota:

∫f(x)dx = F(x) + C

D[F(x)+C] = F´(x) = f(x)

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

Segunda Parte del TFC (Regla de Barrow)

Si f es una función continua en [a,b], entonces: ∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)

Si f ≥ 0, representa el área bajo la curva en ese intervalo. Si f(x) < 0, representa la diferencia de áreas.

Demostración:

g(x) = ∫_a^x f(t)dt, g´(x) = f(x) (primitiva de f(x))

Otra primitiva: F(x) = g(x) + C

F(b) – F(a) = [g(b) + C] – [g(a) + C] = g(b) + C – g(a) – C = g(b) – g(a)

g(b) – g(a) = ∫_a^b f(t)dt – ∫_a^a f(t)dt = ∫_a^b f(t)dt

Por lo tanto: ∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)

y´(x) = f(x)

∫g´(x)dx = ∫f(x)dx

g(x) + C = F(x)

Primera Parte del TFC

Sea f: D ⊂ ℝ → ℝ definida en [a,b] ⊂ D. Existe una función g, definida como g(x) = ∫_a^x f(t)dt con a ≤ x ≤ b, continua en [a,b] y diferenciable en ]a,b[, y se cumple que g´(x) = f(x).

Demostración:

g(x) = ∫_a^x f(t)dt

g(x+h) = ∫_a^x+h f(t)dt

[g(x+h) – g(x)]/h = [∫_a^x+h f(t)dt – ∫_a^x f(t)dt]/h

[∫_a^x+h f(t)dt + ∫_x^a f(t)dt]/h

[∫_x^a f(t)dt + ∫_a^x+h f(t)dt]/h

[∫_x^x+h f(t)dt]/h (suponiendo que h > 0)

Para el otro lado, ∃ u,v ∈ [x,x+h] / m = f(u) = mínimo absoluto de [x,x+h], y M = f(v) = máximo absoluto de [x,x+h]

Teniendo en cuenta la propiedad 8:

mh ≤ ∫_x^x+h f(t)dt ≤ Mh

f(u)h ≤ ∫_x^x+h f(t)dt ≤ f(v)h

(1/h)f(u)h ≤ (1/h)∫_x^x+h f(t)dt ≤ (1/h)f(v)h

f(u) ≤ (1/h)∫_x^x+h f(t)dt ≤ f(v)

f(u) ≤ [g(x+h) – g(x)]/h ≤ f(v)

lim_h→0 f(u) ≤ lim_h→0 [g(x+h) – g(x)]/h ≤ lim_h→0 f(v)

Cuando h → 0, u → x y x+h → x

Tendremos: f(x) ≤ g´(x) ≤ f(x)

Por el teorema del emparedado, g´(x) = f(x)

Ecuación Diferencial Homogénea

f´(x,y) es homogénea si f(λx, λy) = λⁿ f(x,y)

y´ = dy/dx = f(x,y)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

N(x,y)dy = -M(x,y)dx

dy/dx = -M(x,y)/N(x,y)

Como dy/dx = f(x,y), entonces f(x,y) = -M(x,y)/N(x,y)

Si f(x,y) es homogénea, f(λx, λy) = -M(λx, λy)/N(λx, λy) = -λⁿM(x,y) / λⁿN(x,y) = -λ^n-nM(x,y)/N(x,y) = -λ⁰M(x,y)/N(x,y) = -M(x,y)/N(x,y) = f(x,y)

f(x,y) es una función homogénea de grado 0.

Resulta que: f(λx, λy) = f(x,y)

f(1/x x, 1/x y) = f(x,y)

f(1, y/x) = f(x,y)

dy/dx = f(1, y/x)

u´x + u = f(1,u) (función que depende de u)

u´x = f(1,u) – u

Ahora u´ = du/dx

du/dx x = f(1,u) – u

∫du/(f(1,u)-u) = ∫dx/x

λ = 1/x, u = y/x, y = ux, y´ = u´x + u

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Tanto M(x,y) como N(x,y) son funciones que dependen solamente de x o solamente de y, o bien son producto de funciones que dependen solamente de x o de y.

Ecuación de Bernoulli

y´ + P(x)y = Q(x)yⁿ

y´/yⁿ + P(x)y/yⁿ = Q(x)yⁿ/yⁿ

y´/yⁿ + P(x)y/yⁿ = Q(x)

(u´/(1-n)) + P(x)u = Q(x)

u´ + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)

y = f(x), u = y/yⁿ, u = y^1-n, u´ = (1-n)y^(1-n)-1y´, u´ = (1-n)(1/yⁿ)y´, u´ = (1-n)y´/yⁿ

Curvatura

La curvatura de una curva que representa a una función vectorial es una medida de la rapidez de cambio de la dirección de dicha curva en un punto.

K(t) = ||dT/ds|| = ||(dT/dt)/(ds/dt)|| = ||T´(t)||/||ds/dt|| = ||T´(t)||/||r´(t)||

Vector Gradiente

Sea f: D ⊂ ℝ → ℝ ∧ (x₀,y₀) ∈ D

f es diferenciable en (x₀,y₀) si:

f(x₀+h₁,y₀+h₂) = f(x₀,y₀) + ∇f(x₀,y₀)(h₁,h₂) + ε(h₁,h₂)(h₁,h₂)

y lim_{(h1,h2)→(0,0)} ε(h₁,h₂) = (0,0)

Donde ∇f(x₀,y₀) es el vector gradiente definido por:

∇f(x₀,y₀) = (∂f/∂x(x₀,y₀), ∂f/∂y(x₀,y₀))

Deducción de la Expresión para Llegar a la Derivada Direccional como Vector

Definimos una función llamada g(h) = F(x₀ + hu₁, y₀ + hu₂)

g´(0) = lim_h→0 (F(x₀ + hu₁, y₀ + hu₂) – F(x₀,y₀))/h

g´(0) = D_uf(x₀,y₀)

Como g(h) = F(x,y), entonces x = x₀ + hu₁ ∧ y = y₀ + hu₂

Utilizando la regla de la cadena:

dg/dh = ∂f/∂x dx/dh + ∂f/∂y dy/dh = ∂F/∂x u₁ + ∂F/∂y u₂

g´(0) = ∂f/∂x(x₀,y₀)u₁ + ∂f/∂y(x₀,y₀)u₂ = D_uf(x₀,y₀)

D_uF(x₀,y₀) = ∂f/∂x(x₀,y₀)u₁ + ∂f/∂y(x₀,y₀)u₂

D_uf(x₀,y₀) = ∇f(x₀,y₀)u